專題11對數與對數函數

知考綱要求

識考點預測

梳常用結論

理方法技巧

題型一：對數的化簡與求值

題型二：對數函數的圖象及應用

題題型三：對數型復合函數的綜合問題

型題型四：比較指數式、對數式大小

歸題型五：解對數方程、不等式

類題型六：對數函數性質的綜合應用

訓練一：

培訓練二：

優訓練三：

訓訓練四：

練訓練五：

訓練六：

強單選題：共8題

化多選題：共4題

測填空題：共4題

試解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.理解對數的概念及運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數.

2.通過實例，了解對數函數的概念，能用描點法或借助計算工具畫具體對數函數的圖象，理解

對數函數的單調性與特殊點.

3.了解指數函數y=a1c與對數函數夕=logd（a>0,且aW1）互為反函數.

【考點預測】

1.對數的概念

如果c，=M">0，且aWl),那么數x叫做以a為底N的對數，記作x=log〃N,其中“叫做對

數的底數，N叫做真數.

2.對數的性質、運算性質與換底公式

⑴對數的性質：①。睢。"=乂②log，=b(a>0,且aWl).

(2)對數的運算性質

如果a>0且aWl,。0,N>0,那么

①=log“M+logaN；

②log?￥=log?〃-lOgaN；

③logaM1=eR).

(3)換底公式：logab=及域(a>0,且aWl,b>0,c>0,且cWl).

logca

3.對數函數及其性質

(1)概念：函數y=logax(a>0,且aWl)叫做對數函數，其中x是自變量，定義域是(0,+°°).

(2)對數函數的圖象與性質

a>\0<a<l

y

\『1）=l°g,AX=1

（））

圖象■,

oM（i,o）^o

1

y=iogrtx

定義域：(0,+8)

值域:R

當x=l時，y=0,即過定點(1,0)

性質

當x>l時，歹>0；當x>l時，y<0；

當0<%<1時，產0當0<x<l時，y>0

在(0,+8)上是增函數在(0,+8)上是減函數

4.反函數

指數函數歹=a(a>0,且aWl)與對數函數月典(心0,且aWl)互為反函數，它們的圖象關

于直線工對稱.它們的定義域和值域正好互換.

【常用結論】

1.換底公式的兩個重要結論

(l)log“b=--―(<2>0,且aWl；h>0,且bWl).

logftfl

（2）logm/>rt=—log?/）（<7>0,且a#l；b>0；m,”CR,且加WO）.

flm

2.對數函數的圖象與底數大小的比較

如圖，作直線丁=1,則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數.■>'[

故OVcVdVIVaVb.d^''x'y=X

由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大.潟]

【方法技巧】

1.在對數運算中，先利用賽的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數球的形式，使賽的底

數最簡，然后用對數運算法則化簡合并.

2.先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對

數真數的積、商、寐再運算.

3d=Ncb=kgaN（a>0,且aWl）是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互

化.

4.在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點（與坐標軸的交點、最

高點、最低點等）排除不符合要求的選項.

5.一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.

6.利用對數函數的性質，求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三

方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是

復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的.另外，解題時要注意數形結合、分

類討論、轉化與化歸思想的應用.

二、【題型歸類】

【題型一】對數的化簡與求值

【典例1】（1）計算log535+21og/—logs2—log514的值.

1

⑵計算（log2125+log425+log85Wog1258+Iog2s4+logs2）的值.

（3）設x,y,z均為大于1的實數，且z為x和y的等比中項，則髻+髻的最小值為

41gxIgy

as義so

【解析】（1）原式=log5—――F210g22=logs53—1=2.

1

2

31og25+log25+-log251,,13

b33JJ(log52+log2+log2)=ylog5X31og2=13.

(5525

(3)因為x,y,z均為大于1的實數，所以lgx>0,lgy>0,lgz>0,又由z為x和y的等比中項，

可得Z2=中.生+忠=聯X蚓蟲=L附義期位=(二+1二⑷.+聯)=

-41grIgy4lgxXlgy2-41gxXlgy81gxXlgy

4(Igva+SlgxXlgy+agya,gigyXigyMg故填2

81gxXIgy81grXlgy88

【典例2】⑴計算(Ig2>+lg2-lg50+lg25的值；

(2)計算(log32+log92)(log43+log83)的值;

(3)設函數力(x)=x,%(x)=log2oi5X,a,=2015^=1,2''20”),記人=族(。2)—4(切)|+麻(。3)

—fi(a2)\H-----1■依42015)-A(a2014)|，k=1,2,貝|J()

A.h<h

B.7I=；2

C.I\>h

D./l與/2的大小關系無法確定

【解析】⑴原式=Qg2)2+(l+lg5)lg2+lg52

=(lg2+lg5+l)lg2+21g5

=(1+I)lg2+21g5=2(lg2+lg5)=2.

=31g2)〈51g3=5

21g361g24'

(3)?"3+i)-/i3)='±l———=^—,

-7201520152015

???/|=%(。2)一力(。1)|+%(。3)一力(。2)|+…+忻(々2015)一力(。2014)|

=I2015X2014=^^.

I2015

-

V^(a,+1)—/2(ad=lOg20157^T7Iog2015—=log20i5^-^->0,

20152015i

?**h=1^(^2)~fl(a|)1+1/2(^3)―/2(^2)|H--H力52015)一力(〃2OI4)|

臼為…義鳴

=log20i5U22014j=log20i52015=l.

V/2.故選A.

【典例3］設2a=5b—m,.0.-+-=2,則m等于（）

ab

AA/IOB.10C.20D.100

【解析】2a=5b=m,

，log2"?=a,logs"?=b,

.*.-+7=-^---F——=log,”2+log?,5

ablog2/nlogs/M

=log,?10=2,

"產=10,

.?.〃?=o（舍用=-71o）.

故選A.

【題型二】對數函數的圖象及應用

【典例1】已知函數/（x）=log“（2x+6—1）0>0,且aWl）的圖象如圖所示，貝Ua,b滿足的關系

是（）

A.0<晨|<*1

C.Q<b“<1D.0<晨1<6r<1

【解析】由函數圖象可知，/（X）為增函數，故4>1.函數圖象與y軸的交點坐標為（0,log滴），由

函數圖象可知一l<log“b<0,解得1<X1.綜上有0<lxi.故選A.

aa

【典例2】若方程牛=皿在（°,:上有解，則實數。的取值范圍為.

【解析】

、（0,1]（0」、

若方程4'=logd在I2」上有解，則函數y=4工和函數夕=logox在I2」上有交點，

0<67<1,

由圖象知'logjw2,解得—吟

Jf

Iy-iog^

【典例3】已知Xi,X2分別是函數/3)=已1+》-2,g(x)=lnx+x—2的零點，則9+111X2的值

為()

A.e2+ln2B.e+ln2

C.2D.4

【解析】根據題意，已知xi,X2分別是函數7(x)=e'+x—2,g(x)=lnx+x—2的零點，

函數/(x)=er+x—2的零點為函數的圖象與y=2-x的圖象的交點的橫坐標，

則兩個函數圖象的交點為(xi,e』)，

函數g(x)=lnx+x—2的零點為函數y=lnx的圖象與y=2—x的圖象的交點的橫坐標，

則兩個函數圖象的交點為(X2,lnx2),

又由函數>=9］與函數y=lnx互為反函數，其圖象關于直線y=x對稱，

而直線y=2—x也關于直線夕=x對稱，則點(xi,e』)和(乃，lnx2)也關于直線歹=x對稱，則有

xi=lnx2,則有e*+lnx2=e*'+xi=2.

【題型三】對數型復合函數的綜合問題

【典例1］已知函數兀v)=log(X2—2ax+3).

1

(1)若_/U)的定義域為R,求實裝。的取值范圍；

(2)若函數/(x)的值域為R,求實數a的取值范圍；

(3)若函數/(x)在［-1,+8)內有意義，求實數a的取值范圍;

(4)若函數/U)的值域為(-8,-1］,求實數。的值.

【解析】(1)由/(X)的定義域為R,

知/一2"+3>0的解集為R,

則/=4/-12<0,解得一

.?.a的取值范圍為(一心，3).

22

(2)函數/(x)的值域為R等價于u=x—2ax+3取(0,+8)上的一切值，所以只要wmin=3—a

W0=aW—3或

所以實數a的取值范圍是(-8,S］U瓜+oo).

(3)由危)在［-1,+8)內有意義,

知u(x)=x2—2ax+3>0對1,+8)恒成立，

因為y=〃(x)圖象的對稱軸為x=a,

所以當aV—l時，w(x)min=w(-l)>0,

LV—1,

即，解得一2V〃V—1；

|2^+4>0,

當42一1時，〃(X)min=M(4)=3一即一所以一3.

綜上可知，a的取值范圍為(-2,回

(4)因為y=/(x)W—1,所以〃(x)=x2—2℃+3的值域為［2,4-°°),

又M(X)=(A—a)2+3-a2^3—a2,

貝U有M(X)min=3—fl2=2,

解得。=±L

【典例2】已知函數,/(x)=log4(ax2+2x+3).

(1)若<1)=1,求加)的單調區間;

(2)是否存在實數a,使火x)的最小值為0?若存在，求出。的值；若不存在，說明理由.

【解析】(1)：/(1)=1,

/.log4(a+5)=1,因此a+5=4,.\a=—1,

這時.危)=log4(—x2+2x+3).

由一x2+2x+3>0得—1Vx<3,

工函數作)的定義域為(一1,3).

令M(X)=—x2+2x+3.

則〃(x)在(一1,1)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，

又y=log4“在(0,+8)上單調遞增，

所以/(X)的單調遞增區間是(一1,1),單調遞減區間是(1,3).

(2)假設存在實數a,使火x)的最小值是0,

則//(x)=ar2+2x+3應有最小值1,顯然aWO,

4>0,

因此應有4“X3—22_3a—li解得a=L

------------------1，2

14〃a

故存在實數a=g使./(X)的最小值等于0.

【典例3】已知函數/(x)=log“^一吆是奇函數(a>0,aWl).

%—1

(1)求加的值；

(2)判斷危)在區間(1,+8)上的單調性；

(3)當a=g時，若對于［3,4］上的每一個x的值，不等式/(》)>吩+6恒成立，求實數6的取值

范圍.

【解析】(l)；/(x)是奇函數，

:小—X)=一火x)在其定義域內恒成立，

11+/HX11—mx

即lOga------=-log”------,

-X—1X—1

/.1—根2/=1—X2恒成立，

m=—\或〃?=1(舍去)，即m=~\.

x+1

(2)由(1)得/(x)=log,/---(a>0,1),

x—1

y-|-10

令“=---=H-----,則〃在(1,+8)上為減函數.

X-1x—1

...當時，./(X)在(1,+8)上是減函數；

當0<a<l時，危)在(1,+8)上是增函數.

(3)對于［3,4］上的每一個x的值，不等式卜+b恒成立=/^)一(}>6在［3,4］上恒成

立.

令g(x)=/(x)一吩，

由(2)知，g(x)在［3,4］上是單調遞增函數,

9

所以6Vg(X)min=g(3)=一&,

O

即人的取值范圍是卜j一j

【題型四】比較指數式、對數式大小

【典例1】設a=log3e,b=e'-5,c=logj,貝女)

34

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

【解析】c=log,-=log34>log3e=a.

34

又c=log34<log39=2,b—e'5>2,

/.a<c<h.

故選D.

【典例2】設a=log63,Z>=logi26,c=log2412,則()

A.h<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

【解析】因為m6,c都是正數，

所以'=log36=1+log32,

a

7=log612=l+log62,

b

-=logi224=1+logi22,

c

因為iog32=*q,

lg3

log62=$|,

lg6

1。臼22=蹤,且Ig3<lg6<lgl2,

lg12

所以Iog32>log62>log|22,

即

abc

所以a<6<c.故選C.

【典例3】設a=k)g412,b=log515,c=log618,則()

A.a>b>cB.b>c>a

C.d>c>bD.c>b>a

【解析】a=l+log43,&=l+log53,c=l+log63,

*.*Iog43>logs3>log63,a>b>c.

故選A.

【題型五】解對數方程'不等式

［典例1】方程log2（x_1）=2—log2（x+1）的解為.

【解析】原方程變形為1og2（x—D+log2（x+l）=log2（x2—1）=2,即1=4,解得x=±\'5,又

X>1,所以x=3.

【典例2】已知不等式log,(2x2+l)<logr(3x)<0成立，則實數X的取值范圍是

0<x<l,

【解析】原不等式。①

2x2+1>3X>1,

或②（x>l+,1<3兇

解不等式組①得卜不等式組②無解.

所以實數x的取值范圍為8,H

【典例3】若log“(a+l)<log〃(2^)<0(a>0,aWl),則實數。的取值范圍是

【解析】依題意log"(a+l)<log“(2U)<log"l,

.d>\,0<a<l,

a+l<2^/a<la+1>2\a>1,

解得

4

【題型六】對數函數性質的綜合應用

【典例1】設函數段)=ln|2x+l|Tn|2xT|,則於)()

A.是偶函數，且在匕’十弓上單調遞增

B.是奇函數,且在(一59上單調遞減

C.是偶函數,且在I一8'―3上單調遞增

D.是奇函數，且在(-8'—9上單調遞減

I?

【解析】/(x)=ln|2x+1|-ln|2x—1]的定義域為卜「2J.

又/(_x)=ln|-2x+1|

=ln|2x—1|-Ln|2x+1|=~/(x),

??JU)為奇函數，故排除A,C.

f-oo-1]

當'2J時，

—2x-1

/(x)=ln(-2x—1)-ln(l-2x)=ln-------

l—2x

,2x+lJ"產7]

=ln-----=lnl2x-1J,

2x—I

Vy=H"——在(一8'T上單調遞減，

2x-1

二由復合函數的單調性可得兀Q在1-8,―J上單調遞減.

【典例2】若?c)=lg(x2—2辦+1+0在區間(-8,1]上單調遞減，則。的取值范圍為()

A.[1,2)B.[1,2]

C.[1,+0°)D.[2,+8)

【解析】令函數g(x)=/—2ax+l+a=(x—a)2+l+a—a2,對稱軸為》=4,要使函數./(x)在

(-8,1]上單調遞減，則有占[即<解得lWa<2,即武口,2).

,a—])X*~-4—2。x^-1

【典例3]已知函數4)=?',"'若段)的值域為R,則實數。的取值范圍

.1+log2X,Q1,

是____________

【解析】當時，y(x)=l+log2X》l,當x<l時，,及r)=(a—l)x+4—2〃必須是增函數，且

a—1>0,

最大值大于或等于1才能滿足/(x)的值域為R,可得，

a—1+4—2心1,

解得「6(1,2].

三、【培優訓練】

【訓練一】已知k>g"(a+l)<log("+i)a(a>0且aWl),則a的取值范圍是.

【解析】log?(a+1)—log(a+1)a

_lg(a+l)Iga

Igalg(a+l)

^lg2(a+l)—lg2a

lgalg(a+l)

=[lg(a+1)—lga][lg(a+l)+lga]

lgdg(a+l)

當a>l時,lg(a+l)>lga>0,

...10go(a+l)>log(“+i混，不符合題意;

當0<a<l時，lga<0,lg(a+1)>0,

lg(a+l)—lga=lg竺H>lg1=0,

a

lg(a+l)+lga=lg[a(a+l)]

lo&(a+l)<log(a+1)a(0<<7<l)

即為igL

由于y=lgx(x>0)單調遞增,

4

又0<a<l,解得二<a<l,

12"

J

綜上有a的取值范圍是I2').

【訓練二】已知函數/(x)=10g2(2、+k)(keR).

(1)當％=—4時，解不等式_/(x)>2；

(2)若函數/(x)的圖象過點P(0,l),且關于x的方程/(x)=x—2〃?有實根，求實數m的取值范圍.

【解析】⑴當k=-4時，麻)=k>g2(2*-4).

由山)>2,

得log2(2A—4)>2,

得2*—4>4,

得2>8,

解得x>3.

故不等式/(x)>2的解集是(3,4-0°).

(2)因為函數兀口=log2(2'+女)(〃eR)的圖象過點尸(0,1),

所以/(0)=1,

即10g2(l+k)=1,

解得無=1.

所以/(x)=log2(2v+l).

因為關于X的方程/(x)=x—2”?有實根,

即log2(2*+1)=X—2〃7有實根.

所以方程一2〃?=log2(2x+1)—X有實根.

令g(x)=l。g2(2x+l)一x,

則g(x)=log2(2x+l)—X

=log2(2v+1)—log22v

=1噌*41+3

2X

因為logzl+zj>。,

2A

所以g(x)的值域為(0,+°°).

所以-2加>0,

解得加<0.

所以實數加的取值范圍是(一8,0).

V-1

【訓練三】已知函數兀0=1或1.

⑴計算：/(2020)+/(-2020)；

(2)對于xe[2,6],/(x)<lg——;恒成立，求實數〃?的取值范圍.

(x+1)(7—%)

1

【解析】(1)由一；一>0,得x>l或X<—1.

x+1

二函數的定義域為{沖>1或x<-1}.

p-x1+A1

又/(x)+7(_x)=lgll+x1—AJ=O,

.,貝x)為奇函數.

故/(2020)+/-2020)=0.

(2)當xe［2,6］時，,A%)<lg~;恒成立可化為三:二、恒成立.

(x+1)(7—x)1+x(x十1)(7—x)

即m>(x—1)(7—x)在［2,6］上恒成立.

又當xG［2,6］時，(x-l)(7-x)=-x2+8x-7=-(x-4)2+9.

.,.當X=4時，［(x-l)(7—x)］max=9,/.W>9.

即實數”的取值范圍是(9,+8).

【訓練四】設函數/⑴的定義域為。，若滿足:①/⑶在。內是單調增函數;②存在

使得/㈤在［加，山上的值域為阿，n］,那么就稱N=/(x)是定義域為。的“成功函數”.若函數

8(幻=108°(0+0(。>0且qWi)是定義域為R的“成功函數”，則/的取值范圍是()

AF3BFI

C卜8,JDLT

【解析】因為g(x)=l0go(a」+f)是定義在R上的“成功函數”，

所以鼠x)為增函數，且g(x)在［加，網上的值域為［"?,〃］,故g(加)="?,g(〃)=〃，

即g(x)=x有兩個不相同的實數根.

又loga(a2v+/)==x,即a2v—a*+/=0.

令s=a>5>0,

即s2-s+/=0有兩個不同的正數根，

［/>0,

可得

|j=l—4/>0.

解得0<Z<7.

4

【訓練五】已知/(x)=|lgx|一"一2,給出下列四個結論:

(1)若攵=0,則崖)有兩個零點;

(2)SK0,使得/(x)有一個零點；

(3月4<0,使得義x)有三個零點；

(4方人>0,使得/(X)有三個零點.

以上正確結論的序號是.

【解析】零點個數問題，轉化成兩個函數圖象的交點個數來分析.

令/(x)=|lgx|—Ax—2=0,

可轉化成兩個函數yi=|lgx|,yi—kx+2的圖象的交點個數問題.

對于(1),當％=0時，竺=2與川=|lgx|的圖象有兩個交點，(1)正確；

對于(2),存在上<0,使戶=履+2與yi=|lgx|的圖象相切，(2)正確；

對于(3),若Z<0,y=|lgx|與戶=依+2的圖象最多有2個交點，(3)錯誤；

對于(4),當A0時，過點(0,2)存在函數g(x)=lgx(x>l)圖象的切線，此時共有兩個交點，當

直線斜率稍微小于相切時的斜率時，就會有3個交點，故(4)正確.

【訓練六】已知函數y(x)=3—21ogzr,g(x)=log2X.

(1)當x￡[l,4]時,求函數/?(x)=[/(x)+1g(x)的值域；

(2)如果對任意的xW[l,4],不等式/(爐)：/(4)>左.g(x)恒成立，求實數左的取值范圍.

【解析】(l)//(x)=(4—21og2X)k)g2X

=2—2(log2X-I)2.

因為x￡[l,4],所以log2xW[0,2],

故函數6(x)的值域為[0,2].

(2)由^

得(3—41ogjx)(3—log2%)>A:log2X,

令f=log2X,因為x￡[l,4],

所以t=log2xe[0,2],

所以(3—4。(3kf對一切/e[0,2]恒成立，

①當1=0時，左右R；

②當fd(0,2]時，k<-—°~。—恒成立，即&<4/+?—15,

tt

因為4/+9212,當且僅當々=9,即f=3時取等號，

tt2

Q

所以4H----15的最小值為-3.

t

所以上<一3.

綜上，實數上的取值范圍為(一8,-3).

四、【強化測試】

【單選題】

1.已知4=log20.2,b=2°-2,c=0.2°3,則（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

03

【解析】Va=log20.2<0,b=2°2>l,c=0.2E(0,l),；.a<c<b.故選B.

2.若函數夕=/(x)是函數夕=倒4>0,且的反函數且./(2)=1,則/(x)等于()

A.log2rB.-C.log,xD.2X~2

2、5

【解析】函數尸心>0,且aWl)的反函數是./(x)=k)g“x,

又負2)=1,即log“2=l,

所以<7=2.

故_/(x)=log2X.故選A.

3.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足加2一如

=jigI1,其中星等為儂的星的亮度為&《=1,2).已知太陽的星等是一26.7,天狼星的星等

是一1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()

A.10101B.10.1C.1g10.1D.10~l0J

【解析】由題意可設太陽的星等為加2,太陽的亮度為良，天狼星的星等為"小天狼星的亮度

為Ei,則由W2-/Mi=|lg得一26.7+L45=[lg與，則21g—25.25,lg—10.1,

2Ei2石22￡2Ei

1g坨=10.1,.?.坨=KT。」.故選A.

EiEi

4.若函數/(x)=log“(x+b)的圖象如圖所示，其中a,b為常數，則函數g(x)=^+b的圖象大

致是()

【解析】由野)的圖象可知0<?<1,0<力<1,

.?.g(x)的圖象應為D.

5.設函數/)=10goix|在(一8,0)上單調遞增，則人。+1)與42)的大小關系是()

A.9+1)次2)B.加+1)42)

C.,/(a+l)=/(2)D.不能確定

【解析】由已知得所以又易知函數/(X)為偶函數，故可以判斷危)在(0,

+8)上單調遞減，所以/3+1)>/(2).故選A.

6.若函數y=k)g“(x2—依+1)有最小值，則a的取值范圍是()

A.B.0<a<2,aWl

C.l<a<2D.a22

【解析】當a>l時，y有最小值，則說明/一℃+1有最小值，故/一依+1=0中/<0,即序

一4<0,所以2>心1.

當0<。<1時，y有最小值，

則說明x2-ax+l有最大值，與二次函數性質相互矛盾，舍去.綜上可知，故選C.

7.已知函數｛X)=log3(9x+l)+/MX是偶函數，則不等式7(x)+4x<log32的解集為()

A.(0,+°°)B.(1,+8)

C.(—8,0)D.(—8,1)

【解析】由.信)=10醺3+1)+〃LV是偶函數，得/(—x)=/(x),即Iog3(9r+l)+〃7(—X)=log3(3

+1)+/MX,變形可得加=一1,

即Hx)=log3(9'+l)—x,設g(x)=/(x)+4x=log3(9'+l)+3x,易得g(x)在R上為增函數，且g(0)

=log3(90+1)=log32,則/(x)+4x<log320g(x)<g(0),則有x<0,即不等式的解集為(一8,。).故

選C.

2l~x,xWl

8.設函數/)=,'、’則滿足y(x)W2的X的取值范圍是()

,1—log2X?x>l,

A.[-1,2]B.[0,2]

C.[1,+0°)D.[0,+°0)

【解析】當xWl時，2LxW2,解得x20,所以OWxWl;當x>l時，1—log2%W2,解得

所以x>l.綜上可知x20.故選D.

【多選題】

9.已知a,b>0且aWl,bWl,若log°b>l,則()

A.(a—l)(a—Z))<0B.(a—l)(a—Z?)>0

C.(b—1)(6—a)<0D.(b—1)(6—a)>0

【解析】①當a>\時，log(J/?l=log?a,

Ab>ay/.b>a>\,

(a—l)(a—Z>)<0.

②當01時,\ogab>1=lo&a,「?b<a,

/.0<b<a<\,

:.b-l<0,h—a<09

：.(b-1)(b~a)>0,

故選AD.

10.已知函數/(x)=log2(l—|x|),則關于函數兀0有下列說法，其中正確的說法為()

A../(x)的圖象關于原點對稱

B./(x)的圖象關于y軸對稱

C.府)的最大值為0

D.於)在區間上單調遞增

【解析】/(X)=k)g2(l—⑼為偶函數，不是奇函數，

，A錯誤，B正確；

根據/(X)的圖象(圖略)可知D錯誤；

，/(x)Wlog2l=0,故C正確.

故選BC.

11.己知函數/(x)=ln(x—2)+ln(6—x),則()

A./(x)在(2,6)上單調遞增

B.於)在(2,6)上的最大值為21n2

C./(x)在(2,6)上單調遞減

D.y=/(x)的圖象關于直線x=4對稱

【解析】Hx)=ln(x-2)+ln(6—x)=ln[(x—2)(6—x)],定義域為(2,6).令/=。一2)(6一》)，則y

=lnt.因為二次函數r=(x—2)(6—x)的圖象的對稱軸為直線x=4,又/(x)的定義域為(2,6),

所以/(X)的圖象關于直線x=4對稱，且在(2,4)上單調遞增，在(4,6)上單調遞減，當x=4時，

/有最大值，所以./(x)max=ln(4—2)+ln(6-4)=21n2,故選BD.

12.在同一直角坐標系中,./(》)=丘+力與8(；0=1084的圖象如圖，則下列關系不正確的是()

A.k<0,0<b<\

B.k>0,b>\

C.y(z)g(l)>0(x>0)

D.x>1時，/(x)—g(x)>0

【解析】由直線方程可知，k>0,0<b<\,故A,B不正確；而g(l)=O,故C不正確；而當

x>l時，g(x)<0,./(%)>0,所以/(x)-g(x)>0.所以D正確.故選ABC.

【填空題】

13.設2"=5&="?,且!十1=2,則加=.

ab

【解析】因為2"=5"=加>0,所以a=log2加，b=log5加，

所以,=―1=log,”2+log?,5=log”10=2.所以加2=io,

ah10g2W10g57M

所以/?7=\10.

答案："To

14.已知函數產log〃(x+3)—：3>0,aWl)的圖象恒過定點Z,則點/的坐標為；若

點/也在函數/(》)=3'+6的圖象上，則/(log32)=.

【解析】令x+3=l可得x=-2,此時夕=log“l—；=—；,可知定點/的坐標為(2J

Q

點工也在函數人工)=3'+6的圖象上，故一;=3-2+力，解得6=-1.所以/(幻=3，一1,則火log32)

=310g32-l=2-l=l.

答案「嚼1

\nx+h?x>l?

15.已知函數/(%)=?,若/七)=一3/(0),則力=_________,函數/⑴的值域為

6^—2,xWl，

lnx+25x>l>

【解析】由/(e)=-3/(0)得1+力=-3X(-1),即人=2,即函數/(、)=?當x>l

①一2?xW1.

時，_y=lnx+2>2；當xWl時，y=e，-2e(-2,e-2].故函數人x)的值域為(-2,e-2]U(2,

+°°).

答案：2(—2,e-2]U(2,+<=°)

16.已知函數/)=-10g2X,則下列四個結論中正確的是.(填序號)

①函數/(|刈為偶函數；

②若/(a)=|/(b)|,其中a>0,h>0,aWb,貝ljab=l；

③函數/(一》2+2x)在(1,3)上單調遞增.

【解析】對于①，/(|x|)=T0g2|x|,X|-X|)=-10g2|-X\=-10g2|x|=X|x|),所以函數/(⑼為偶函

數，故①正確：對于②,若｛°)=火6)|,其中a>0,b>0,aHb,則/(a)=l/g)|=-/S)，即一log2a

=log2b,即log2a+log2b=log2“b=0,得到。方=1,故②正確：對于③，函數人一/+2%)=—log2(一

x2+2x),由一/+2*>0,解得0<x<2,所以函數./(一好+公)的定義域為(0,2),因此在(1,3)

上不具有單調性，故③錯誤.

答案：①②

【解答題】

17.已知函數/(x—3)=10須/-(4>0,aWl).

6—x

(1)求/(x)的解析式；

(2)判斷外)的奇偶性，并說明理由.

aI

【解析】(1)令x—3=〃，貝"x=〃+3,于是y(^)=k)ga----(a>0,a*1,—3<w<3),

3—〃

3+x

所以Xx)=log"--汽Q>0，a手1,-3<x<3).

3-x

(2)/)是奇函數，理由如下：

3—x3+x

因為/(—X)+y(X)=10g-4-lOgc,---=10g?1=0,

a3+x3—x

所以又定義域(一3,3)關于原點對稱.

所以./)是奇函數.

18.設段)=10耿(1+力+1。8(1(3—%)(。>0且4#1),且義1)=2.

(1)求實數a的值及大力的定義域；

L3~|

(2)求/(X)在區間_2」上的最大值.

【解析】(I)因為.70)=2,所以log"4=2(q>0,a*l),所以a=2.

1+x>0，

由，得一l<x<3,

3-x>0?

所以函數/(X)的定義域為(一1,3).

2

(2)/(x)=log2(l+x)+log2(3—x)=log2[(l+x)(3—x)]=log2[—(X—1)+4],

所以當xW(-l,1]時，/(x)是增函數；當xG(l,3)時，/(x)是減函數，

0，-

故函數./(X)在區間2上的最大值是y(l)=log24=2.

19.已知函數段)是定義在R上的偶函數，｛0)=0,當x>0時，大幻=10以.