專題4.5等差數列的前n項和公式（重難點題型精講）1．等差數列的前n項和公式等差數列的前n項和公式=(公式一).

=(公式二).2．等差數列的前n項和公式與二次函數的關系等差數列{}的前n項和==+(-)n，令=A，-=B，則=+Bn.

(1)當A=0，B=0(即d=0，=0)時，=0是常數函數，{}是各項為0的常數列.

(2)當A=0，B≠0(即d=0，≠0)時,=Bn是關于n的一次函數，{}是各項為非零的常數列.

(3)當A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)時，=+Bn是關于n的二次函數(常數項為0).3．等差數列前n項和的性質【題型1求等差數列的通項公式】【方法點撥】根據所給條件，利用等差數列的前n項和，求解等差數列的基本量，即可得解.【例1】（2022·全國·高二課時練習）記Sn為等差數列an的前n項和．若a2=18，S5=80，則數列A．2n+22 B．22?2nC．20?2n D．n【變式1-1】（2022·遼寧·高二階段練習）已知等差數列an前10項的和是310，前20項的和是1220，則數列的通項公式an為（A．an=6n+2 B．an=4n+2 C．【變式1-2】（2021·廣西·模擬預測（文））記Sn為等差數列an的前n項和，若a3=2,S4=7A．n?1 B．n+12 C．2n?4 D．【變式1-3】（2020·四川·高三期中（文））已知等差數列an的前n項和為Sn，若a12+a3A．an=3n?5 B．an=12【題型2等差數列前n項和的性質】【方法點撥】根據題目條件，結合等差數列前n項和的性質，進行轉化求解，即可得解.【例2】（2022·河南新鄉·一模（文））設等差數列an，bn的前n項和分別為Sn，Tn，若SnA．2528 B．3539 C．5558【變式2-1】（2021·全國·高二）設等差數列an與bn的前n項和分別為Sn和Tn，并且SnTnA．37 B．715 C．13【變式2-2】（2021·陜西·高二期中（理））已知等差數列an的前n項和為Sn，若S9S3A．717 B．310 C．314【變式2-3】（2022·江蘇省高二階段練習）已知Sn,Tn分別是等差數列an與bn的前n項和，且A．1120 B．4178 C．4382【題型3等差數列的前n項和與二次函數的關系】【方法點撥】根據題意，分析所給的等差數列的前n項和與二次函數的關系，轉化求解即可.【例3】（2022·全國·高二課時練習）在等差數列an中，首項a1>0，公差d<0，Sn為其前n項和，則點A． B．C． D．【變式3-1】（2021·福建省高二開學考試）等差數列an中，a1<0，公差d>0，Sn為其前n項和，對任意自然數n，若點A． B．C． D．【變式3-2】（2022·河北·高三階段練習）已知an是各項不全為零的等差數列，前n項和是Sn，且S20=S24，若A．20 B．19 C．18 D．17【變式3-3】（2021·江蘇·高二專題練習）在各項不全為零的等差數列an中，Sn是其前n項和，且S2011=S2014，A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【題型4求等差數列的前n項和】【方法點撥】根據條件，求出等差數列的基本量，得到首項和公差，利用等差數列的前n項和公式，進行求解即可.【例4】（2022·江蘇·高二期中）已知等差數列an，且3a3+aA．14 B．28 C．35 D．70【變式4-1】（2022·貴州·高三階段練習（理））已知數列an的前n項和為Sn，且an+2+an?2A．116 B．232 C．58 D．87【變式4-2】（2022·江蘇揚州·高二期中）設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝6，S4＝12，則S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【變式4-3】（2022·山東·高三期中）已知數列an成等差數列，其前n項和為Sn，若a1=5,SA．7 B．6 C．5 D．4【題型5等差數列前n項和的最值】【方法點撥】1.通項法若>0，d<0，則Sn必有最大值，其n可用不等式組來確定；若<0，d>0，則Sn必有最小值，其n可用不等式組來確定.2.二次函數法對于公差為非零的等差數列{an}，由于==+(-)n，所以可用求函數最值的方法來求前n項和Sn的最值.這里應由n及二次函數圖象對稱軸的位置來確定n的值.【例5】（2022·內蒙古·高一階段練習）已知等差數列an的前n項和為Sn，a2=?27，a6A．?225 B．?224 C．?226 D．?223【變式5-1】（2022·甘肅·高二期中）記Sn為等差數列an的前n項和，且a1=22,S7=A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【變式5-2】（2022·陜西·高二期中）設數列an為等差數列，Sn是其前n項和，且S5A．d<0 B．a7=0 C．S9>S5 D．【變式5-3】（2022·北京高三階段練習）等差數列an的前n項和為Sn.已知a1+2a3=?1A．?4 B．?3 C．?2 D．?1【題型6等差數列的實際應用】【方法點撥】對于等差數列有關的數學文化、實際問題，讀懂其中蘊含的數學語言，建立合適的等差數列，進行求解.【例6】（2022·全國·模擬預測（理））我國《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方，如圖所示，將1，2，3，…，9填入3×3的方格內，使得三行、三列、對角線的三個數之和都等于15，便得到一個3階幻方；一般地，將連續的正整數1，2，3，…，n2填入n×n個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數的和都相等，這個正方形叫作n階幻方．記n階幻方的數的和（即方格內的所有數的和）為Sn，如S3A．555 B．101 C．505 D．1010【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習）在中國古代詩詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數來言”．題意是把996斤綿分給8個兒子做盤纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【變式6-2】（2022·全國·高三專題練習）“蘇州碼子”發源于蘇州，作為一種民間的數字符號曾經流行一時，廣泛應用于各種商業場合．“蘇州碼子”0~9的寫法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．為了防止混淆，有時要將“〡”“〢”“〣”橫過來寫．已知某鐵路的里程碑所刻數字代表距離始發車站的里程，每隔2公里擺放一個里程碑，若在A點處里程碑上刻著“〣〤”，在B點處里程碑上刻著“〩〢”，則從A點到B點的所有里程碑上所刻數字之和為（

）A．1560 B．1890 C．1925 D．1340【變式6-3】（2022·江西上饒·高二期末（文））廣豐永和塔的前身為南潭古塔，建于明萬歷年間，清道光二十五年（1845）重修.磚石結構，塔高九層，沿塔內石階可層層攀登而上.塔身立于懸崖陡坡上，下臨豐溪河，氣勢峭拔.上個世界九十年代末，此塔重修，并更名為“永和塔”.每至夜色降臨，金燈齊明，塔身晶瑩剔透，遠望猶如仙境.某游客