/第十四章整式的乘法和因式分解14.3因式分解第一課時14.3.1提公因式法1教學目標1.1知識與技能：理解因式分解的概念,知道因式分解和整式的乘法是方向相反的變形。理解公因式的概念,會根據“三定法〞確定公因式。掌握因式分解中的提公因式法。1.2過程與方法：通過比照整式乘法,理解因式分解的概念,開展學生的逆向思維能力。通過類比數的結合律,抽象出因式分解中的提公因式方法。1.3情感態度與價值觀：在數學運算中培養學生細致嚴謹的精神素養。讓學生初步感受對立統一的辨證觀點以及實事求是的科學態度。2教學重點/難點/易考點2.1教學重點因式分解的概念及提公因式法。2.2教學難點正確找出多項式各項的公因式正確認識分解因式與整式乘法的區別和聯系。3專家建議學生剛剛學習過有關冪的運算,因此在教學設計中可以多適當安排一些有關冪的、應用提公因式法的分解因式題目。此外,因式分解屬于新概念,它和學生以往的運算認知是相反的,教師在教學過程中應該耐心面對學生的錯誤,并多舉出實例使學生區別整式乘法和因式分解。4教學方法觀察思考——概念介紹——補充講解——練習提高5教學用具多媒體。6教學過程6.1引入新課【師】同學們好。這節課開始,我們先來思考一個問題,630能被哪些數整除？【生】把630分解質因數,可以得到：630=2×32×5×7。【師】這個問題大家小學就知道了對吧,但現在我們在學習整式的乘法,所以我們可以想一下,一個數可以寫成假設干個因數乘積的形式,整式能不能這樣做呢？這就是這節課我們要學習的內容。【板書】第十四章整式的乘法和因式分解14.3因式分解14.3.1提公因式法6.2新知介紹因式分解的概念【師】大家看投影〔給出114頁探究〕,首先我們來完成這樣的一個任務：把以下多項式寫成整式的乘積的形式。根據整式的乘法,你能得到答案么？【生】〔完成題目,給出答案〕。【師】沒錯,那大家現在觀察上面的式子,大家發現了什么規律呢？【生】這個變形和我們以往的整式乘法不太一樣,似乎是倒著來的。【師】沒錯。剛剛我們把把一個多項式化成了幾個整式的積的形式,這種式子變形就叫做這個多項式的因式分解,也叫做把這個多項式分解因式〔板書給出定義〕。【板書/PPT】一、因式分解1. 概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種式子變形叫做這個多項式的因式分解。也叫做把這個多項式分解因式。【師】從剛剛的例子可以看出,因式分解和整式乘法是方向相反的變形,是互逆的運算。此外,因式分解前后,整式的形式發生了改變,但值的大小不變,因此因式分解是恒等的變形。【板書/PPT】2. 因式分解和整式乘法是方向相反的變形,是恒等變形。【師】這里老師要格外強調兩點,請大家看投影,一個是,因式分解必須分解到每個多項式的因式不能再分解為止,另一個是,因式分解的最后結果,必須是整式的乘積的形式。〔結合投影給出說明〕公因式【師】下面請看投影,仔細觀察下面的幾個多項式〔ab?ac,3x2+x,mb2+nb+b〕,大家能發現,它們有什么共同的特點嗎？【生】它們的每一項中都有相同的局部,第一個里面是a,第二個式子是x,第三個式子是b。【師】沒錯,上面的幾個多項式各項都含有的相同因式,我們把這些相同的因式,叫做這個多項式各項的公因式。【板書/PPT】二、提公因式法1. 公因式：多項式各項都含有的相同因式,叫做這個多項式各項的公因式。【師】光知道什么是公因式還缺乏夠,我們還需要會找一個多項式中的公因式。請大家看投影上給出的四個多項式,怎樣才能又快又準地找出公因式呢？大家可以思考并交流幾分鐘。【生】〔分組討論和交流〕。【師】大家得出答案了嗎？老師在這里給大家介紹一下確定公因式的方法。首先要確定公因式的系數,這個系數就是多項式各項系數的最大公約數。其次確定字母,也就是各項相同的字母因式。最后確定指數,找出各項相同字母因式中指數的最小值。【板書/PPT】2. 確定公因式的“三定法〞：〔1〕先定系數：最大公約系數〔2〕再定字母：相同字母〔3〕最后定指數：最小冪指數。【師】下面,誰能答復剛剛的問題呢？【生】〔答復以下問題,給出答案〕。【師】下面,根據老師剛剛給出的方法,我們來挑戰幾道有點難度的多項式,請大家找出這幾個多項式里面的公因式。〔投影給出多項式,引導學生完成問題,同時利用這幾道例題向學生強調：第一,公因式既可以是相同的字母,也可以是相同的多項式；第二,多項式首項是負號,一般先把負號一并提入公因式。〕提公因式法【師】看了那么多字母,現在我們換換口味,看一道算術題。速算7.6×201.5+4.3×201.5?1.9×201.5,有什么簡單的算法？【生】可以把201.5提出去,這樣可以簡算,得到答案2019。【師】剛剛我們看的是數的運算,那因式分解也可以這樣做嗎？大家想想看。【生】當然可以,這節課剛開始我們看到的例子就是這樣做的。【師】沒錯。如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提取出來,將多項式寫成公因式和其他因式的乘積的形式,這種方法叫做提公因式法。比方,pa+pb+pc這個多項式,里面都含有p這個公因式,我們就可以把p提出來,得到p(a+b+c),完成因式分解。實際上,提公因式法就是逆用了乘法分配律而已。【PPT/板書】3. 提公因式法：〔1〕原理：pa+pb+pc=p(a+b+c)。〔2〕實質：逆用了乘法分配律。【師】下面就請大家試一下,運用提公因式法,分解投影上給出的幾個多項式〔一共七個題,全都是剛剛在找公因式時的原題,即學即練,注意強調,當公因式出現負號,或者去括號前出現負號,提醒學生注意變號〕。【生】〔分解因式,給出答案〕。【師】好了,下面大家來看投影上給出的例子,這三個因式分解正確嗎？【生】都不正確。【師】都錯在哪里了呢？【生】第一個錯在公因式沒有提干凈,第二個錯在提完之后的多項式里面漏了一個1,這個1不是系數不能省略,第三個是錯在符號,公因式前后差一個符號的話沒有變號。【師】大家找的很準。老師給出這些例子的原因,就是希望大家在做題時不要犯這些錯誤。課堂小結〔投影,給出知識脈絡圖〕6.3復習總結和作業布置課堂練習以下式子中,哪些是正確的因式分解？2x(x?3y)=2x2?6xyx2?4y2=(x+2y)(x?2y)x2+4x+4=x(x+4)+4(a?3)(a+3)=a2?9x3?x=x(x2?1)2πR+2πr=2π(R+r)多項式6ab2+18a2b2?12a3b2c的公因式〔〕A.6ab2cB.ab2C.6ab2D.6a3b2假設多項式?6ab+18abx+24aby的一個因式是?6ab,那么另一個因式是〔〕A.1?3x+4yB.1+3x?4yC.?1?3x?4yD.1?3x?4y分解以下因式：12xyz?9x2y2=2a(y?z)?3b(z?y)=?16x4+32x3?56x2=p(a2+b2)?q(a2+b2)=作業布置1、完成配套課后練習題2、預習提綱：因式分解：公式法7板書設計第十四章整式的乘法和因式分解14.3因式分解14.3.1提公因式法一、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種式子變形叫做這個多項式的因式分