考點鞏固卷10三角函數的圖象及性質（十一大考點）考點01：三角函數的定義域、值域1．函數的定義域是__________.【答案】【分析】根據正切函數的定義域，即可求出結果.【詳解】由，解得，所以函數的定義域是.故答案為：.2．已知函數.(1)求的最小正周期和單調增區間；(2)求證：當時，恒有.【答案】(1)的最小正周期為，單調增區間為(2)證明見解析【分析】（1）利用兩角和與差的正弦公式將函數化簡，代入周期的計算公式即可求出周期，根據正弦函數的單調性即可求解函數的單調增區間；（2）根據自變量求出，然后利用正弦函數的圖像即可求證.【詳解】（1）函數，∴函數的最小正周期，令，得，∴函數的單調增區間為.（2）當時，∴即當時，恒成立，得證.3．函數的最小值是______．【答案】【分析】用代換，化簡函數解析式為，利用二次函數的性質即可得到函數的最小值.【詳解】函數，令，所以，因為函數的對稱軸為，所以函數在上為增函數，在上為減函數，所以當時，函數有最小值.故答案為：4．函數的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】列出使函數有意義的不等式組求解即可.【詳解】有意義滿足，即，，解得，故選：D5．函數，的值域是______.【答案】【分析】利用二倍角的余弦公式得出，由的范圍得出的范圍，再利用余弦函數的基本性質可得出答案.【詳解】，且，，，，因此函數在的值域是.故答案為：.6．函數的值域為______.【答案】【分析】變換，根據得到，得到值域.【詳解】，，則，，故.故答案為：考點02：由三角函數的值域（最值）求參數7．設函數，已知，當______時，的最小值為-2，此時______.【答案】【分析】根據二倍角公式以及輔助角公式化簡，即可由正弦型函數的性質求解最值.【詳解】.∵，∴，∴當，即時，取得最小值為，∴.故答案為：；8．已知函數在區間上存在最大值，則實數的取值范圍為________．【答案】【分析】化簡，得，轉化為在區間上存在最小值，根據余弦函數的性質可得結果.【詳解】，因為在區間上存在最大值，所以在區間上存在最小值，由，得，所以，即.故答案為：9．已知函數的部分圖象如圖所示，且在上恰有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是______.

【答案】【分析】由，推出，從而知，再由，求得的取值范圍，并結合正弦函數的圖象與性質，即可得解．【詳解】由圖知，所以，因為，所以，即，由，知，因為在上恰有一個最大值和一個最小值，所以，解得．故答案為：．10．函數的定義域為，值域為，則α的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由同角三角函數關系化簡后換元，得二次函數，利用二次函數單調性可知，即，據此結合余弦函數圖象與性質可得的范圍.【詳解】由，令，得：，二次函數開口向下，對稱軸為，因為，所以函數為遞增函數，因為當時，，當時，，所以，即時，，使函數的值域為，所以由余弦函數圖象與性質可知，，所以的取值范圍是：．故選：A11．已知函數在區間上的最大值為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據在取最大值，可判斷要么在的單調減區間上，要么滿足左端點到對稱軸不小于右端點，即可得，進而可求的最小值.【詳解】的周期為，的單調遞增區間為,單調遞減區間為，當取最大值，故可知，當時，即，,在單調遞減，顯然滿足最大值為，當時，要使是最大值，則需滿足，綜上可知當,時，在取最大值，在,單調遞減，故當時，取最小值，且最小值為，故選：D12．當時，函數的值域是，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：畫出函數的圖象，由的范圍求出的范圍，根據的值域可得答案；解法二：由的范圍求出的范圍，根據的圖象性質和的值域可得答案．【詳解】解法一：由題意，畫出函數的圖象，由，可知，因為且，要使的值域是，只要，即；解法二：由題，可知，由的圖象性質知，要使的值域是，則，解之得．故選：D.

考點03：求三角函數的周期性，奇偶性，單調性，對稱性13．函數的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦函數的倍角公式化簡題設函數，從而利用最小正周期公式即可得解.【詳解】因為，所以所求最小正周期為.故選：C.14．（多選）設函數，則（

）A．的最小正周期為B．的圖像關于直線對稱C．的一個零點為D．在單調遞減【答案】ABD【分析】根據正弦函數的性質求出函數的最小正周期，利用整體代換法或代入檢驗法可求出函數的對稱軸、對稱中心和單調區間．【詳解】函數，最小正周期為，A選項正確；由，解得圖像的對稱軸方程為，當時，，B選項正確；，不是的零點，C選項不正確；時，有，是正弦函數的單調遞減區間，所以在單調遞減，D選項正確.故選：ABD15．（多選）下列函數中，以為最小正周期，且在區間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依次判斷選項的周期和單調性即可得到答案.【詳解】對于A：的最小正周期，且在區間上單調遞增，故A符合題意；對于B：，將在x軸下方的圖象翻折到上方，可知最小正周期，在區間上單調遞減，故B不符合題意；對于C，的最小正周期，，則在區間上單調遞增，故C正確；對于D，，的最小正周期，，則在區間上有增有減，故D不正確.故選：AC.16．（多選）已知函數，則（

）A．的最小值為－2B．的單調增區間為，C．的對稱中心為，D．若為偶函數，則最小值是【答案】BD【分析】根據二倍角的正弦余弦公式和輔助角公式，利用三角函數的性質及誘導公式即可求解.【詳解】，可得的最小值為，故A錯誤；由，得，所以的單調增區間為，，故B正確；由，得，所以的對稱中心為，，故C錯誤；若為偶函數，即是偶函數，所以，解得，可得最小值是，故D正確.故選：BD.17．（多選）已知函數，則下列判斷正確的是（

）A．為偶函數 B．在上單調遞增C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱【答案】ACD【分析】化簡得到，計算為偶函數，關于直線對稱，關于點對稱，在上單調遞減，得到答案.【詳解】.對選項A：，，正確；對選項B：，，在上單調遞減，錯誤；對選項C：當，則，是的對稱軸，正確；對選項D：當時，，故的圖象關于點對稱，正確.故選：ACD18．已知向量，設函數，則下列關于函數的性質的描述正確的是（

）A．關于直線對稱 B．關于點對稱C．周期為 D．在上是增函數【答案】D【分析】先利用向量的數量積表示函數，再利用公式化簡，根據三角函數圖像和性質判斷.【詳解】因為向量,.所以.對于A，把代入得，沒有取得最值，所以不成立.對于B，把代入得，所以不成立.對于C，由于周期,所以不成立.對于D，因為，又，所以在上是增函數.故選：D.考點04：解三角不等式19．已知函數．(1)當時，求函數的值；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函數關系式化簡可得，代入求值可得答案；（2）利用（1）中結論，由不等式可得，結合正弦函數性質即可求得答案.【詳解】（1）由題意可得，故當時，；（2）由可得，即，故,故不等式的解集為.20．根據三角函數的圖象，寫出使下列不等式成立的的集合：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）結合的圖象求得正確答案.（2）結合的圖象求得正確答案.（3）結合的圖象求得正確答案.（4）結合的圖象求得正確答案.(1)畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，不等式的解集為.(2)畫出的圖象如下圖所示，，由圖可知，不等式的解集為.(3)畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，不等式的解集為.(4)畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，不等式的解集為.21．解不等式組【答案】．【分析】利用三角函數線求解可得.【詳解】由，得在直角坐標系中作單位圓，如圖所示，

由三角函數線可得：解集恰好為圖中陰影重疊的部分，故原不等式組的解集為．22．在中，是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】通過三角函數性質結合充分條件與必要條件的推導即可得出答案.【詳解】在中，，則或，故推不出，可推出，則在中，是的必要不充分條件，故選：B.23．求函數的定義域為_________．【答案】【分析】根據給定的函數有意義，列出不等式組，再利用正余弦函數的性質求解作答.【詳解】函數有意義，則，即，解，得，解，得，于是，所以所求定義域為.故答案為：考點05：根據單調求參數24．函數的最小正周期為________，若函數在區間上單調遞增，則的最大值為________.【答案】【分析】根據正弦函數的周期公式和單調遞增區間可求出結果.【詳解】函數的最小正周期.由，，得，，所以的單調遞增區間為，，若函數在區間上單調遞增，則，，則，則，即的最大值為.故答案為：；.25．（多選）已知函數的圖象關于點對稱，且在區間上是單調函數，則以下（

）可能是的值.A． B．4 C． D．【答案】ABC【分析】根據的對稱中心和單調性列不等式，求得的范圍，從而確定正確答案.【詳解】由于關于點對稱，所以，①.由于，且在區間上是單調函數，所以在上遞減，，所以②.由①②得，所以或或，所以，或，或.故選：ABC26．（多選）若函數在區間上單調，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】方法一：首先求得，由在上單調可構造不等式組，結合可確定所有可能的取值，由此可得的范圍，進而確定選項；方法二：利用誘導公式可化簡得到，得到，根據，可確定，結合正弦函數的單調性可構造不等式組求得的范圍，進而確定選項.【詳解】方法一：當時，，在區間上單調，或，或；由得：；又，；，又，，，又，；由得：；又，，，又，，，即；綜上所述：.方法二：，當時，；在上單調，，；由，知：或，解得：或，.故選：AC.27．函數在上是減函數，且在上恰好取得一次最小值，則的取值范圍是____________．【答案】【分析】根據的最值情況，即可得出.根據函數的單調性，結合求得的范圍，列出不等式組，求解即可得出答案.【詳解】因為，所以.因為在上恰好取得一次最小值，所以，所以.因為，所以.因為，在上是減函數，根據余弦函數的單調性可知，解得.所以，.故答案為：.28．已知函數在區間內單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析可知，函數在上為減函數，由可得出，根據余弦型函數的單調性可得出，可得出關于的不等式組，由此可得出正實數的取值范圍.【詳解】對任意的，恒成立，因為函數在區間內單調遞增，所以，函數在上為減函數，當時，因為，則，所以，，所以，，解得，所以，，解得，因為，則，所以，.故選：A.29．已知函數在上單調遞減，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得，再根據的單調區間，列出不等式組求解即可.【詳解】因為，，所以，又因為在上單調遞減，所以，,解得：，因為，故，而，故，故.故選：C考點06：根據對稱求參數30．若函數的圖像關于軸對稱，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知當時，取得最值，從而可得，進而可得答案.【詳解】因為函數的圖像關于軸對稱，所以當時，取得最值，所以，得，對于A，若，則，解得，不合題意，對于B，若，則，解得，不合題意，對于C，若，則，解得，題意，對于D，若，則，解得，不合題意，故選：C31．已知函數的圖象關于點對稱，那么的最小值為________．【答案】【分析】代入余弦函數的零點滿足的公式判斷即可.【詳解】的圖象關于點對稱，，即，令，可得的最小值為．故答案為：32．直線和是曲線的相鄰的兩條對稱軸，則_____【答案】2【分析】由題意可得，求出周期，再利用周期公式可求出的值.【詳解】因為直線和是曲線的相鄰的兩條對稱軸，所以，得周期，所以，得，故答案為：233．若函數在區間上恰有唯一對稱軸，則ω的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用輔助角公式化簡得到，再求出，結合對稱軸條數得到不等式，求出答案.【詳解】，因為，，所以，因為區間上恰有唯一對稱軸，故，解得.故選：D34．（多選）已知函數在上單調，且的圖象關于點對稱，則（

）A．的最小正周期為B．C．將的圖象向右平移個單位長度后對應的函數為偶函數D．函數在上有且僅有一個零點【答案】ACD【分析】根據函數的單調性和對稱性列式求出，再根據最小正周期公式可判斷A；根據解析式計算可判斷B；利用圖象變換和余弦函數的奇偶性可判斷C，利用余弦函數的圖象可判斷D.【詳解】因為函數在上單調，所以的最小正周期滿足，即，所以.因為的圖象關于點對稱，所以，，得，，由，得，因為，所以，.所以.對于A，的最小正周期為，故A正確；對于B，，，所以，故B不正確；對于C，將的圖象向右平移個單位長度后對應的函數為為偶函數，故C正確；對于D，，令，得，令，由，得，作出函數與直線的圖象如圖：

由圖可知，函數與直線的圖象有且只有一個交點，所以函數在上有且僅有一個零點，故D正確.故選：ACD35．（多選）已知函數圖象的一個對稱中心是，且，則以下結論正確的是（

）A．的最小正周期為 B．為偶函數C．在上的最小值為 D．若，則【答案】BC【分析】由條件結合正弦函數的對稱性可求，根據正弦型函數的周期公式求周期判斷A；根據三角函數的平移變換結合函數的奇偶性的定義可判斷B；求函數在上的最小值可判斷C；根據三角函數的單調性可判斷D.【詳解】因為點是函數的一個對稱中心，，解得，，又因為，所以，，對于A項：最小正周期為，故A錯；對于B項：因為，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，又，所以函數為偶函數，故B對；對于C項：當時，，所以，可得，所以的最小值為，故C對；對于D項：當時，所以，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故D錯，故選：BC．考點07：由圖象確定三角函數解析式36．（多選）如圖是函數的部分圖象，則下列結論正確的有（

）

A．的最小正周期為 B．的圖象關于直線對稱C． D．函數在上有2個零點【答案】ACD【分析】由函數的圖象，得到，得到，可判定A正確，B不正確；再由三角函數的性質，可判定C正確；由當時，得到，得到，可判定D正確.【詳解】由函數的圖象，可得，解得，所以，又由，可得，所以，解得，因為，所以，即，所以A正確，B不正確；又由，所以C正確；當時，可得，當時，即時，可得；當時，即時，可得，所以函數在上有2個零點，所以D正確.故選：ACD.37．（多選）若函數（，，）的圖象如圖，且，，則下列說法正確的是（

）A．函數的周期為5B．函數的對稱軸為，C．函數在內沒有單調性D．若將的圖象向左平移（）個單位長度，得到的函數圖象關于軸對稱，則的最小值為1【答案】BD【分析】根據給定的函數及圖象，結合“五點法”作圖，求出函數的解析式，再逐項分析、計算判斷作答.【詳解】觀察圖象知，，而，解得，又，則，因為，由“五點法”作圖知，，解得，于是，對于A，函數的周期，A錯誤；對于B，由，得，函數圖象的對稱軸為，B正確；對于C，當時，，因此函數在上單調遞增，C錯誤；對于D，將的圖象向左平移（）個單位長度，得到函數的圖象，依題意，，解得，因此，D正確.故選：BD38．（多選）已知是定義在閉區間上的偶函數，且在y軸右側的圖象是函數圖象的一部分(如圖所示)，則（

）A．的定義域為B．當時，取得最大值C．當時，的單調遞增區間為D．當時，有且只有兩個零點和【答案】BCD【分析】先利用待定系數法求出，再根據原點右側的第二個零點為，即可判斷A；求出的值即可判斷B；求出當時的減區間，結合函數為偶函數即可判斷C；求出當時的零點，結合函數為偶函數即可判斷D.【詳解】由圖得，且位于增區間上，所以，又因為，所以，，則，得，所以，所以，由圖可知，原點右側的第二個零點為，所以的定義域為，故A錯誤；當時，，因為為最大值，則當時，取得最大值，故B正確；當時，令，則，又因為，所以當時，的減區間為，因為函數為偶函數，所以當時，的單調遞增區間為，故C正確；當時，，令，得或，則或，因為函數為偶函數，所以當時，有且只有兩個零點和，故D正確.故選：BCD.39．（2023年新課標全國Ⅱ卷）已知函數，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則______．

【答案】【分析】設，依題可得，，結合的解可得，，從而得到的值，再根據以及，即可得，進而求得．【詳解】設，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因為，所以，即，．所以，所以或，又因為，所以，．故答案為：．【點睛】本題主要考查根據圖象求出以及函數的表達式，從而解出，熟練掌握三角函數的有關性質，以及特殊角的三角函數值是解題關鍵．40．已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．B．C．不等式的解集為D．將的圖象向右平移個單位長度后所得函數的圖象在上單調遞增【答案】C【分析】由圖象求出的表達式后逐一驗證選項即可.【詳解】由函數圖象可知，最小正周期為，所以，將點代入，得，又，所以，故，故A錯誤；所以，故B錯誤；令，則，所以，，解得，，所以不等式的解集為，故C正確；將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，令，，解得，，令得，因為，故D錯誤.故選：C.41．已知函數的部分圖象如圖所示，其中，圖中函數的圖象與坐標軸的交點分別為，則下列代數式中為定值的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據圖象，由求出，再由M，N點的坐標求出為定值.【詳解】由圖象可得，，且，所以，令，則，所以，則.故選：D考點08：描述三角函數的變換過程42．怎樣由函數的圖像變換得到的圖像【答案】答案見解析【分析】根據函數圖像變換的規則.【詳解】現將向右平移個單位，得到，然后使得縱坐標不變，橫坐標變為原來的即可.43．已知函數的部分圖象如下所示，其中，為了得到的圖象，需將（

）A．函數的圖象的橫坐標伸長為原來的倍后，再向左平移個單位長度B．函數的圖象的橫坐標縮短為原來的后，再向右平移個單位長度C．函數的圖象向左平移個單位長度后，再將橫坐標伸長為原來的倍D．函數的圖象向右平移個單位長度后，再將橫坐標伸長為原來的倍【答案】D【分析】根據已知條件可知，，即可求得，再代入點的坐標，根據已知條件的來確定解析式，最后根據伸縮平移法則即可求得.【詳解】依題意，，解得，故，則，而2，故，而，故.將函數的圖象向右平移個單位長度后，得到，再將橫坐標伸長為原來的倍，得到.故選：D.44．（多選）為了得到函數的圖象，只需把函數圖象上所有點（

）A．向左平移個單位長度，再將橫坐標縮短到原來的倍B．向右平移個單位長度，再將橫坐標縮短到原來的倍C．橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位長度D．橫坐標縮短到原來的倍，再向左平移個單位長度【答案】ABD【分析】利用誘導公式將化簡，再根據三角函數的變換規則一一判斷即可.【詳解】因為，所以將向左平移個單位長度得到，再將橫坐標縮短到原來的倍得到，故A正確；將向右平移個單位長度得到，再將橫坐標縮短到原來的倍得到，故B正確；將橫坐標伸長到原來的倍得到，再將向左平移個單位長度得到，故C錯誤；將橫坐標縮短到原來的倍得到，再將向左平移個單位長度得到，故D正確；故選：ABD45．（多選）已知函數，下列說法正確的是（

）A．函數圖象可由函數的圖象向右平移個單位得到B．函數圖象可由函數的圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的2倍得到C．函數圖象可由函數的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的3倍得到D．函數圖象的對稱軸為，【答案】BC【分析】利用三角函數圖象變換分別分析并判斷選項A，B，C；求出函數圖象的對稱軸判斷D作答.【詳解】對于A，函數的圖象向右平移個單位得到：函數的圖象，A錯誤；對于B，函數的圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的2倍得到：函數的圖象，B正確；對于C，函數的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的3倍得到：函數的圖象，C正確；對于D，由，得，即函數圖象的對稱軸為，D錯誤.故選：BC46．為了得到函數的圖象，需將函數的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【分析】由三角函數的平移變換即可得出答案.【詳解】易知，，因為，所以函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象.故選：D．47．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（

）A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】A【分析】根據三角函數的平移變換法則（左加右減）即可求解.【詳解】由于函數，所以要得到函數的圖象，只需將函數的圖象向右平移個單位長度.故選：A.考點09：求圖象變換前（后）的函數解析式48．將函數的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的，然后再將整個圖像沿x軸向右平移個單位長度，得到的曲線與的圖像相同，則的函數解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據正弦函數圖像變化規律，反向變化即可.【詳解】先將的圖像向左平移個單位長度，得到，再將圖像上所有點的橫坐標變到原來的2倍，得到.故選：B49．已知函數的最小正周期為T．若，把的圖象向右平移個單位長度，得到偶函數的圖象，則（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據余弦型函數的圖象變換、奇偶性、周期性進行求解.【詳解】由題知，把函數的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象．因為為偶函數，所以，即．又，所以．因為的最小正周期為，所以，即，解得．所以，所以．故選：A．50．函數的最小正周期為，將的圖象向右平移個單位長度后，得到一個偶函數的圖象，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據最小正周期求出，寫出平移后的解析式，根據其為偶函數得到，，根據的范圍即可得到答案.【詳解】由題得最小正周期，可得，所以.的圖象向右平移個單位長度后為偶函數的圖象，故，，，．，，故選：D．51．已知函數的部分圖象如圖．

(1)求的表達式；(2)將函數的圖象向左平移個單位長度得到曲線，把上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的倍得到函數的圖象．若關于方程在上有兩個不同的實數解，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由圖可知，求出周期，再利用周期公式求出，然后將代入函數中可求出的值，從而可求出的表達式；（2）先由三角函數圖象變換規律求出的解析式，令，，則將問題轉化為與的圖象在有兩個不同的公共點，作出函數圖象，利用圖象求解即可.【詳解】（1）函數的周期為，由圖象可得，得所以，所以，因為的圖象經過點，所以，解得，得，因為，所以，所以，（2）將函數的圖象向左平移個單位長度得到曲線：，因為再把上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的倍得到函數的圖象，所以，因為關于的方程在上有兩個不同的實數解，所以在上有兩個不同的實數解，令，則，因為，所以，所以，所以，所以只需與的圖象在有兩個不同的公共點，作出在上的簡圖如下，

由圖可知當或時，與的圖象有兩個不同的公共點，所以實數的取值范圍為52．（多選）將函數的圖像的橫坐標伸長為原來的2倍后，再向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則（

）A．的周期為 B．C． D．在上單調遞減【答案】BC【分析】利用函數的圖像變換規律得到的解析式，再根據正弦函數的性質得出結論.【詳解】由題意得，，則，故A錯誤；，故B正確；∵，∴是圖像的一條對稱軸，,故C正確；∵，∴，∴在上單調遞增，故D錯誤.故選：BC.53．已知函數的圖象上相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，將函數的圖象向左平移個單位后可得到一個偶函數的圖象，則函數在區間（

）上單調遞增．A． B．C． D．【答案】A【分析】兩個對稱中心之間的距離為半個周期，可得T和ω，由圖像平移的知識點可得平移后函數解析式，由偶函數的性質列方程求，得出，然后求出單調遞增區間即可得到結果.【詳解】函數的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，則T＝π，所以ω＝2，將函數f(x)的圖象向左平移后所得圖象的函數解析式為，由已知是偶函數，故，解得，由于，所以當k＝0時，．所以，令，解得，當時，單調遞增區間為，當時，單調遞增區間為，由于，故選：A.考點10：三角函數圖象與性質的綜合應用54．已知函數，，(1)求的單調遞減區間；(2)求在閉區間上的最大值和最小值；(3)將函數的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，求函數在上所有零點之和．【答案】(1)(2)最小值為，最大值為(3)【分析】（1）先將函數化簡成一個三角函數，再根據單調區間公式求得即可；（2）先由求出整體角的取值范圍，再求得的最大值和最小值；（3）先根據圖形變換求出，在求其零點得出結果.【詳解】（1）函數.令解得，所以函數的單調遞減區間為，（2）由（1）得，由于，所以，所以，故，當時，函數的取最小值，最小值為，當時，函數的取最大值，最大值為.（3）將函數的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，令，，即，整理得，即或，當時，或，即，；當時，，；當時，；故所有零點之和為．55．已知函數的圖像相鄰對稱軸之間的距離是，______；①若將的圖像向右平移個單位，所得函數為奇函數．②若將的圖像向左平移個單位，所得函數為偶函數，在①，②兩個條件中選擇一個補充在______并作答(1)若，求的取值范圍；(2)設函數的零點為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦函數圖像的性質得出，選①：由正余弦函數的奇偶性得出，進而由二次函數的性質求解即可；選②：由正余弦函數的奇偶性得出，進而由二次函數的性質求解即可；（2）由得出，再由誘導公式結合倍角公式求解即可.【詳解】（1）因為函數的圖像相鄰對稱軸之間的距離是，所以，解得，所以，

選①：當將的圖像向右平移個單位，得到函數，因為為奇函數，所以，即，因為，所以，則則，因為，所以，則，所以.選②：的圖像向左平移個單位，得到函數，因為函數為偶函數，所以，即.因為，所以，則則，因為，所以，則，所以.（2）因為函數的零點為，所以，則，

所以，.56．（多選）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的部分圖象如圖所示，有下列四個結論：①；②在上有兩個零點；③的圖象關于直線對稱；④在區間上單調遞減，其中所有正確的結論是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】BD【分析】根據平移后的函數圖象，結合函數周期以及特殊點求得參數，可得解析式，由此計算判斷①，求出在上的零點，判斷②，將代入函數解析式驗證，判斷③，根據正弦函數的單調性可判斷④，即得答案.【詳解】將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象對應的函數解析式為：，由圖像知,將點代入表達式中，得，即，因為，所以，則；故，故①錯誤；即，由得，故或，即或，即在上有兩個零點，②正確；將代入，得，即的圖象不關于直線對稱，③錯誤；當時，，由于正弦函數在上單調遞減，故在區間上單調遞減，④正確，故選：BD57．（多選）已知函數，若，且直線與函數的交點之間的最短距離為，則（

）A．的最小正周期為B．在上單調遞減C．的圖象關于直線對稱D．的圖象向右平移個單位長度后得到的函數為偶函數【答案】AB【分析】根據正弦函數的圖象和性質逐項進行檢驗即可求解.【詳解】由題知直線與函數的交點之間的最短距離為，所以，故A正確；由A可知，，所以，又由可知的圖象關于點對稱，所以，即，，又因為，所以當時，，所以，時，，ü，故B正確；因為，故C錯誤；函數的圖象向右平移個單位長度后得到的函數為奇函數，故D錯誤．故選：AB．58．（多選）（2023·山東濰坊·三模）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若是的一個單調遞增區間，則（

）A．的最小正周期為 B．在上單調遞增C．函數的最大值為 D．方程在上有5個實數根【答案】ACD【分析】根據函數平移規則得出解析式，根據單調區間代入特殊點即可求出，即可得出和解析式，根據三角函數性質即可選出答案.【詳解】函數的圖象向右平移個單位長度后得到，所以的最小正周期為，則是的半個最小正周期，又是的一個單調遞增區間，所以，即，，解得，，因為，所以，故，的最小正周期，故A正確；令，，解得，，即的遞增區間為，，所以在上單調遞增，故B錯誤；，所以，所以函數的最大值為，故C正確；當時，令，則、、、、，即方程在上有5個實數根，故D正確.故選：ACD.59．（多選）函數的部分圖象如圖所示，則下列關于函數的說法正確的是（

）

A．的最小正周期為B．的圖象關于中心對稱C．在上單調遞減D．把的圖像向右平移個單位長度，得到一個奇函數的圖象【答案】AD【分析】由圖象可得函數周期，可得，由在處取最大值，可確定.A選項，由圖象可得函數周期；BC選項，由A分析，可得.由在處取最大值，可確定，后由正弦函數對稱性，單調性可判斷選項正誤；D選項，判斷平移后所得函數的奇偶性即可判斷選項.【詳解】A選項，由圖可得，的半個最小正周期為，則的最小正周期為，故A正確；BC選項，，由在處取最大值，則，.則，取，則.即.將代入，得，則不是對稱中心；，，因在上遞減，在上遞增，則不是的單調遞減區間，故BC錯誤；D選項，由BC選項分析可知，，向右平移個單位長度后，得，為奇函數，故D正確.故選：AD考點11：三角函數在生活中的應用60．筒車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據史料記載，筒車發明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷