3.3方差和標準差學習目標能熟練計算一組數據的方差和標準差；1我們要理解方差的計算公式，并會用它來比較兩組數據的波動大小解決一些實際問題；3我們要明白方差的意義，學會如何刻畫一組數據波動的大小；2探索方差產生的過程，發展合情推理的能力.4第一次第二次第三次第四次第五次甲命中環數78889乙命中環數1061068012234546810甲，乙兩名射擊手的測試成績統計如下：成績（環）射擊次序⑴請分別計算兩名射手的平均成績；⑵請根據這兩名射擊手的成績在下圖中畫出折線統計圖；誰的穩定性好？應以什么數據來衡量？甲射擊成績與平均成績的偏差的和：乙射擊成績與平均成績的偏差的和：（7-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（9-8）=（10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）=（10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2=？（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2=？00怎么辦？甲射擊成績與平均成績的偏差的平方和：乙射擊成績與平均成績的偏差的平方和：找到啦！有區別了！216上述各偏差的平方和的大小還與什么有關？——與射擊次數有關！所以要進一步用各偏差平方的平均數來衡量數據的穩定性想一想計算公式：n表示樣本容量；X表示樣本平均數來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差.方差用來衡量一批數據的波動大小(即這批數據偏離平均數的大小).計算方差的步驟可概括為“先平均，后求差，平方后，再平均”.方差越大,說明數據的波動越大,越不穩定.方差越小,說明數據的波動越小,越穩定.方差的適用條件：當兩組數據的平均數相等或相近時，才利用方差來判斷它們的波動情況．例:

為了考察甲、乙兩種小麥的長勢,分別從中抽出10株苗，測得苗高如下(單位:cm):

甲:12131415101613111511

乙:111617141319681016

問哪種小麥長得比較整齊?思考：求數據方差的一般步驟是什么？1、求數據的平均數；2、利用方差公式求方差。解110X甲=(12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)=13(cm);110X乙=(11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)=13(cm);s甲2=110(10-13)2+(14-13)2+(15-13)2+(16-13)2+[(12-13)2+(13-13)2+(11-13)2]=3.6(cm2);s甲2=110(13-13)2+(11-13)2+(15-13)2+S乙2=110(13-13)2+(17-13)2+(14-13)2+(19-13)2+(6-13)2+[(11-13)2+(16-13)2+(8-13)2+(10-13)2+(16-13)2]=15.8(cm2).因為S2甲＜S2乙,所以甲種小麥長得比較整齊.方差的單位和數據的單位是一致嗎?為使單位一致,怎么辦?用方差的算術平方根:

并把它叫做標準差(standarddeviation)

觀察和探究。（1）觀察下列各組數據并填空

A.1、2、3、4、5

B.11、12、13、14、15

C.10、20、30、40、50

D.3、5、7、9、11（2）分別比較A與B、A與C、A與D的計算結果，你能發現什么規律？方差的性質xA=

SA2=

.xB=

SB2=

.xC=

SC2=

.xD=

SD2=

.321323020078B比A的平均數大10，兩者的方差相等；C是A的10倍，所以平均數也是十倍，方差是一百倍；A中相鄰兩數相差1，D中相鄰兩數相差2。歸納1.

如果一組數據X1X2X3……

Xn的平均數是x，方差是S2，

那么，X1±a,

X2±a

……

Xn±a

的平均數是x±a,方差是S2

；2.如果一組數據X1X2X3……

Xn

的平均數是x，方差是S2，

那么，bX1,bX2

……bXn

,的平均數是bx,方差是b2S2請你用發現的結論來解決以下的問題：已知數據a1，a2，a3，…，an的平均數為X，方差為Y,則①數據a1+3，a2+

3，a3+3

，…，an+3的平均數為-————-------，方差為-------；

②數據a1-3，a2-3，a3-3

，…，an-3的平均數為----------，方差為--------；

③數據3a1，3a2，3a3，…，3an的平均數為-----------，方差為----------.

④數據2a1-3，2a2-3，2a3-3

，…，2an-3的平均數為----------，方差為---------.

X+3YX-3Y3X9Y2X-34Y練一練舉一反三1、已知某樣本的方差是4，則這個樣本的標準差是———。2、已知一個樣本1、3、2、x、5，其平均數是3，則這個樣本的標準差是

。3、甲、乙兩名戰士在射擊訓練中，打靶的次數相同

，且射擊成績的平均數x甲

=x乙，如果甲的射擊成績比較穩定，那么方差的大小關系是S2甲————S2乙。＜2

鞏固提升B1.有一組數據如下：3、a、4、6、7，它們的平均數是5，那么這組數據的方差是A.10B.C.2D.2.甲、乙兩臺機床同時生產一種零件.在10天中，兩臺機床每天出次品的數量如下表.甲0102203124乙2311021101(1)分別計算兩組數據的平均數和方差；(2)從計算結果看，在10天中，哪臺機床出次品的平均數較小？哪臺機床出次品的波動較小？解:（1）；；（2）從計算結果看，在這10天中，乙機床出次品的平均數較小，由于，所以乙機床出次品的波動較小．3.甲、乙兩臺包裝機同時包裝糖果.從中各抽出10袋，測得它們的實際質量（單位：g）如下表.甲501506508508497508506508507499乙505507505498505506505505506506(1)分別計算兩組數據的平均數和方差；(2)哪臺包裝機包裝的10袋糖果的質量比較穩定？解：（1）甲、乙兩臺包裝機包裝的糖果的平均質量分別為：

甲、乙兩臺包裝機包裝的糖果的方差分別為．（2）由于，，所以乙包裝機包裝的10袋糖果的質量比較穩定.4.為了從甲、乙兩名學生中選擇一人去參加電腦知識競賽，在相同條件下對他們的電腦知識進行10次測驗，成績（單位：分）如下：甲的成績76849084818788818584乙的成績82868790798193907478（1）填寫下表：同學平均成績中位數眾數方差85分以上的頻率甲84840.3乙84843484900.514.4（2）利用以上信息，請從不同的角度對甲、乙兩名同學的成績進行評價。（2）利用以上信息，請從不同的角度對甲、乙兩名同學的成績進行評價從眾數看，甲成績的眾數為84分，乙成績的眾數是90分，乙的成績比甲好；從方差看，s甲2=14.4，s乙2=34，甲的成績比乙相對穩定；從甲、乙的中位數、平均數看，中位數、平均數都是84分，兩人成績一樣好；從頻率看，甲85分以上的次數比乙少，乙的成績比甲好。方差意義（判斷數據