第二章平面設(shè)計2.1概述2.2直線2.3汽車行駛的橫向穩(wěn)定性與圓曲線2.4緩和曲線2.5道路平面設(shè)計成果需進一步研究的問題3/23/20241南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院第四節(jié)緩和曲線一、緩和曲線的作用與性質(zhì)二、回旋線作為緩和曲線三、其他形式的緩和曲線四、緩和曲線的長度及參數(shù)3/23/20242南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院一、緩和曲線的作用與性質(zhì)（一）緩和曲線的作用

1．曲率連續(xù)變化，便于車輛行駛2．離心加速度逐漸變化，旅客感覺舒適

3．超高橫坡度逐漸變化，行車更加平穩(wěn)

4．與圓曲線配合得當(dāng)，增加線形美觀3/23/20243南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院3/23/20244南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院φ汽車等速行駛，司機勻速轉(zhuǎn)動方向盤時，汽車的行駛軌跡：當(dāng)方向盤轉(zhuǎn)動角度為

時，前輪相應(yīng)轉(zhuǎn)動角度為

，它們之間的關(guān)系為：

=k

；（二）緩和曲線的性質(zhì)其中，

是在t時間后方向盤轉(zhuǎn)動的角度，

=

t；

汽車前輪的轉(zhuǎn)向角為

=kωt(rad)軌跡曲率半徑：3/23/20245南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院設(shè)汽車前后輪軸距為d，前輪轉(zhuǎn)動

后，汽車的行駛軌跡曲線半徑為汽車以v（m／s）等速行駛，經(jīng)時間t以后，其行駛距離（弧長）為l：

l=vt(m)汽車勻速從直線進入圓曲線（或相反）其行駛軌跡的弧長與曲線的曲率半徑之乘積為一常數(shù)，這一性質(zhì)與數(shù)學(xué)上的回旋線正好相符。

BACK3/23/20246南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院二、回旋線作為緩和曲線

（一）回旋線的數(shù)學(xué)表達式回旋線是公路路線設(shè)計中最常用的一種緩和曲線。我國《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定緩和曲線采用回旋線。回旋線的基本公式為：

rl=A2(rl=C)——極坐標(biāo)方程式式中：r——回旋線上某點的曲率半徑（m）；

l——回旋線上某點到原點的曲線長（m）；

A——回旋線的參數(shù)。A表征回旋線曲率變化的緩急程度。3/23/20247南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院1.回旋線的參數(shù)值A(chǔ)的確定：回旋線的應(yīng)用范圍：ORLsYX緩和曲線起點：回旋線的起點，l=0，r=∞；緩和曲線終點：回旋線某一點，l＝Ls，r＝R。則RLs=A2，即回旋線的參數(shù)值為：3/23/20248南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院直線直線圓曲線緩和曲線緩和曲線1.回旋線的參數(shù)值A(chǔ)的確定：回旋線的應(yīng)用范圍：緩和曲線起點：回旋線的起點，l=0，r=∞；緩和曲線終點：回旋線某一點，l＝Ls，r＝R。則RLs=A2，即回旋線的參數(shù)值為：緩和曲線的曲率變化：3/23/20249南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院回旋線起點切線o由微分方程推導(dǎo)回旋線的直角坐標(biāo)方程：以rl=A2代入得：回旋線微分方程為：

dl=r·d

dx=dl·cos

dy=dl·sin

或l·dl=A2·dβ2.回旋線的數(shù)學(xué)表達式：3/23/202410南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院當(dāng)l=0時，

=0。對l·dl=A2·d

積分得：式中：

——回旋線上任一點的半徑方向與Y軸的夾角。對回旋線微分方程組中的dx、dy積分時，可把cos

、sin

用泰勒級數(shù)展開，然后用代入β表達式，再進行積分。3/23/202411南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院dx，dy的展開：3/23/202412南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院對dx、dy分別進行積分：

3/23/202413南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院在回旋線終點處，l=Ls，r=R，A2=RLs

回旋線終點坐標(biāo)計算公式：回旋線終點的半徑方向與Y軸夾角β0計算公式：3/23/202414南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院1.各要素的計算公式基本公式：r·l=A2，

（二）回旋線的幾何要素任意點P處的曲率半徑：

P點的回旋線長度：P點的半徑方向與Y軸的夾角

3/23/202415南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院

p=y+rcosβ-rP點曲率圓圓心M點的坐標(biāo)：xm=x–rsinβym=r+pP點的弦長：

P點曲率圓的內(nèi)移值：

P點弦偏角：

pr(1-cosβ)3/23/202416南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院道路平面線形三要素的基本組成是：直線-回旋線-圓曲線-回旋線-直線。(1)幾何元素的計算公式：2．有緩和曲線的道路平曲線幾何元素：回旋線終點處內(nèi)移值：回旋線終點處曲率圓圓心x坐標(biāo)：回旋線終點處半徑方向與Y軸的夾角：3/23/202417南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院(1)幾何元素的計算公式：切線長：曲線長：外距：校正值：J=2T-L3/23/202418南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院(2)主點里程樁號計算方法：以交點里程樁號為起算點：ZH=JD–THY=ZH+LsQZ=ZH+L/2YH=HZ–LsHZ=ZH+L3/23/202419南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院①用切線支距法敷設(shè)回旋線公式：

l——回旋線上任意點m至緩和曲線終點的弧長（m）。（3）切線支距法敷設(shè)曲線計算方法：

3/23/202420南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院00②切線支距法敷設(shè)帶有回旋線的圓曲線公式：

x=q+Rsin

m(m)y=p+R(1-cos

m)(m)式中：

lm——圓曲線上任意點m至緩和曲線終點的弧長（m）；

αm——lm所對應(yīng)的圓心角（rad）。3/23/202421南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院（三）回旋線的相似性回旋線的曲率是連續(xù)變化的，而且其曲率的變化與曲線長度的變化呈線性關(guān)系。可以認(rèn)為回旋線的形狀只有一種，只需改變參數(shù)A就能得到不同大小的回旋曲線。A相當(dāng)于回旋線的放大系數(shù)，回旋線的這種相似性對于簡化其幾何要素的計算和編制曲線表很有用處。

3/23/202422南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院例題已知平原區(qū)某二級公路有一彎道，偏角α右=15°28′30″，半徑R=600m，緩和曲線長度Ls=70m，JD=K2+536.48。要求：（1）計算曲線主點里程樁號；（2）計算曲線上每隔25m整樁號切線支距值。3/23/202423南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院例題：已知平原區(qū)某二級公路有一彎道，偏角α右=15°28′30″，半徑R=600m，緩和曲線長度Ls=70mJD=K2+536.48。要求：（1）計算曲線主點里程樁號；（2）計算曲線上每隔25m整樁號切線支距值。解：（1）曲線要素計算：3/23/202424南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院J=2T-L=2×116.565-232.054=1.077（1）曲線要素計算：3/23/202425南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院（2）主點里程樁號計算：以交點里程樁號為起算點：JD=K2+536.48ZH=JD–T=K2+536.48-116.565=K2+419.915HY=ZH+Ls=K2+419.915+70=K2+489.915QZ=ZH+L/2=K2+419.915+232.054/2=K2+535.942HZ=ZH+L=K2+419.915+232.054=K2+651.969YH=HZ–Ls=K2+651.97–70=K2+581.9693/23/202426南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院（3）計算曲線上每隔25m整樁號的切線支距值：

列表計算曲線25m整樁號：ZH=K2+419.915K2+425K2+450K2+475K2+500…

平曲線切線支距計算表

樁號計算切線支距l(xiāng)緩和曲線圓曲線xSySφm(°)xCyCZH+419.915000

K2+4255.0855.0850.000

K2+45030.08530.0850.108

……

HY+489.9157069.9761.361

K2+50010.085

4.305380.0382.033K2+52535.085

6.6926104.9224.428……

3/23/202427南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院計算切線支距值：（1）LCZ=K2+425（緩和曲線段），ZH=K2+419.915l=2425-2419.915=5.085（2）LCZ=K2+500，HY=K2+489.915（圓曲線段）

lm=2500-2489.915=10.085

x=q+Rsin

m=34.996+250sin4.3053=80.038(m)y=p+R(1-cos

m)=0.34+250（1-cos4.3053）=2.033(m)3/23/202428南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院作業(yè)：1．用級數(shù)展開法計算p、q的表達式。2．已知平原區(qū)某一級公路（計算行車速度100km/h）有一彎道，偏角α左=16°36′42″，半徑R=1000m，JD=K7+153.63。要求（1）試確定緩和曲線長度；（2）計算曲線主點里程樁號；

（3）計算曲線上每隔25m整樁號的切線支距值（列表計算）。BACK3/23/202429南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院切線支距法切線支距法又稱直角坐標(biāo)法，是以曲線的起點ZY或終點YZ為坐標(biāo)原點，以切線為X軸，經(jīng)過原點的半徑為Y軸，按曲線上各點坐標(biāo)x、y設(shè)置曲線上各點的位置。如圖，設(shè)Pi為曲線上欲測設(shè)的點位，該點至ZY點或YZ點的弧長為li，φi為li所對的圓心角，R為圓曲線半徑，則Pi的坐標(biāo)可按下式計算：

xi=Rsinφi

yi=R(1-cosφi)=xtan(φi/2)式中：

φi=li/R(rad)BACK3/23/202430南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院三、其它形式的緩和曲線

（一）三次拋物線三次拋物線的方程式：三次拋物線上各點的直角坐標(biāo)方程式：

x=l3/23/202431南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院三、其它形式的緩和曲線（二）雙紐線雙紐線方程式：

雙紐線的極角為45°時，曲線半徑最小。此后半徑增大至原點，全程轉(zhuǎn)角達到270°。3/23/202432南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院回旋曲線、三次拋物線和雙紐線線形比較：回旋曲線、三次拋物線和雙紐線在極角較小（5°～6°）時，幾乎沒有差別。隨著極角的增加，三次拋物線的長度比雙紐線的長度增加的較快，而雙紐線的長度又比回旋線的長度增加得快些。回旋線的半徑減小得最快，而三次拋物線則減小的最慢。從保證汽車平順過渡的角度看，三種曲線都可以作為緩和曲線。此外，也有使用n次（n≥3）拋物線、正弦形曲線、多圓弧曲線作為緩和曲線的。但世界各國使用回旋曲線居多，我國《標(biāo)準(zhǔn)》推薦的緩和曲線也是回旋線。

BACK3/23/202433南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院四、緩和曲線的長度及參數(shù)

（一）緩和曲線的最小長度:1．旅客感覺舒適:汽車行駛在緩和曲線上，其離心加速度將隨著緩和曲線曲率的變化而變化，若變化過快，將會使旅客有不舒適的感覺。離心加速度的變化率as：在等速行駛的情況下：

3/23/202434南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院滿足乘車舒適感的緩和曲線最小長度：我國公路計算規(guī)范一般建議as≤0.6

3/23/202435南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院2．超高漸變率適中由于緩和曲線上設(shè)有超高緩和段，如果緩和段太短，則會因路面急劇地由雙坡變?yōu)閱纹露纬梢环N扭曲的面，對行車和路容均不利。《規(guī)范》規(guī)定了適中的超高漸變率，由此可導(dǎo)出計算緩和段最小長度的公式：

式中：B——旋轉(zhuǎn)軸至行車道（設(shè)路緣帶時為路緣帶）外側(cè)邊緣的寬度；

Δi——超高坡度與路拱坡度代數(shù)差（%）；

p——超高漸變率，即旋轉(zhuǎn)軸線與行車道外側(cè)邊緣線之間的相對坡度。

3/23/202436南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院3．行駛時間不過短緩和曲線不管其參數(shù)如何，都不可使車輛在緩和曲線上的行駛時間過短而使司機駕駛操縱過于匆忙。一般認(rèn)為汽車在緩和曲線上的行駛時間至少應(yīng)有3s《標(biāo)準(zhǔn)》按行駛時間不小于3s的要求制定了各級公路緩和曲線最小長度。《城規(guī)》制定了城市道路的最小緩和曲線長度，如表2-6。3/23/202437南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院（二）回旋曲線參數(shù)的確定在一般情況下，特別是當(dāng)圓曲線半徑較大時，車速較高時，應(yīng)該使用更長的緩和曲線。回旋線參數(shù)表達式：A2=R·Ls從視覺條件要求確定A：考察司機的視覺，當(dāng)回旋曲線很短，其回旋線切線角（或稱緩和曲線角）β在3°左右時，曲線極不明顯，在視覺上容易被忽略。回旋線過長β大于29°時，圓曲線與回旋線不能很好協(xié)調(diào)。適宜的緩和曲線角是:β=3°～29°。

3/23/202438南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院由β0=3°～29°推導(dǎo)出合適的A值：

將β0=3°和β0=29°分別代入上式，則A的取值范圍為：3/23/202439南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院回旋線參數(shù)A的確定：經(jīng)驗證明，當(dāng)R在100m左右時，通常取A＝R；如果R小于100m，則選擇A≥R。在圓曲線半徑較大時，R≥3000m，A<R/3。

3/23/202440南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院（三）緩和曲線的省略

在直線和圓曲線間設(shè)置緩和曲線后，圓曲線產(chǎn)生了內(nèi)移，其位移值為p，在Ls一定的情況下，p與圓曲線半徑成反比，當(dāng)R大到一定程度時，p值將會很小。這時緩和曲線的設(shè)置與否，線形上已經(jīng)沒有多大差異。一般認(rèn)為當(dāng)p≤0.10時，即可忽略緩和曲線。如按3s行程計算緩和曲線長度時，若取p=0.10，則不設(shè)緩和曲線的臨界半徑為：3/23/202441南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院（三）緩和曲線的省略由上表可知，設(shè)緩和曲線的臨界半徑比不設(shè)超高的最小半徑小。考慮到緩和曲線還有完成超高和加寬的作用，應(yīng)按超高控制。《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：當(dāng)公路的平曲線半徑小于不設(shè)超高的最小半徑時，應(yīng)設(shè)緩和曲線。四級公路可不設(shè)緩和曲線。3/23/202442南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院《規(guī)范》規(guī)定可不設(shè)緩和曲線的情況：（1）在直線和圓曲線間，當(dāng)圓曲線半徑大于或等于《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的“不設(shè)超高的最小半徑”時；（2）半徑不同的同向圓曲線間，當(dāng)小圓半徑大于或等于“不設(shè)超高的最小半徑”時；（3）小圓半徑大于表7.4.2中所列半徑，且符合下列條件之一時：3/23/202443南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院《規(guī)范》規(guī)定可不設(shè)緩和曲線的情況：②計算行車速度≥80km/h時，大圓半徑（R1）與小圓半徑(R2)之比小于1.5。③計算行車速度<80km/h時，大圓半徑（R1）與小圓半徑(R2)之比小于2。（1）在直線和圓曲線間，當(dāng)圓曲線半徑大于或等于《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的“不設(shè)超高的最小半徑”時；（2）半徑不同的同向圓曲線間，當(dāng)小圓半徑大于或等于“不設(shè)超高的最小半徑”時；（3）小圓半徑大于表7.2.4中所列半徑，且符合下列條件之一時：①小圓曲線按規(guī)定設(shè)置相當(dāng)于最小回旋線長的回旋線時，其大圓與小圓的內(nèi)移值之差不超過0.10m。3/23/202444南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院作業(yè)題：已知平原區(qū)某二級公路有一彎道，偏角α右=13°38′42″，半徑R=800m，JD=K5+136.53。計算確定緩和曲線長度及曲線主點里程樁號。

BACK3/23/202445南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院1.設(shè)計圖：路線平面設(shè)計圖道路平面布置圖2.設(shè)計表：直線、曲線及轉(zhuǎn)角表

逐樁坐標(biāo)表路線固定表總里程及斷鏈樁表等。第五節(jié)路線平面設(shè)計成果

3/23/202446南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院《直線、曲線及轉(zhuǎn)角表》全面地反映了路線的平面位置和路線平面線形的各項指標(biāo)，它是道路設(shè)計的主要成果之一。

平面線形設(shè)計成果：路線各交點樁號JD

半徑R

緩和曲線長度Ls

公路偏角α

交點坐標(biāo)（X，Y）等。一、直線、曲線及轉(zhuǎn)角表3/23/202447南京工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院二、逐樁坐標(biāo)表

（一）坐標(biāo)系統(tǒng)的采用：

1．采用統(tǒng)一的高斯正投影3°