§1.2

數列和函數的極限

CONTENT1

數列的極限2收斂數列的性質目錄3函數的極限4函數極限的性質引言

祖沖之(429年－500年),南北朝時期著名的數學家、天文學家,范陽郡遒縣(今河北省淶水縣)人,出生于丹陽郡建康縣(今江蘇省南京市),首次將“圓周率”精算到小數第七位,即在3.1415926和3.1415927之間,簡化為3.1415926,被默認為是中國的“圓周率鼻祖”.引言

祖沖之(429年－500年),南北朝時期著名的數學家、天文學家,范陽郡遒縣(今河北省淶水縣)人,出生于丹陽郡建康縣(今江蘇省南京市),首次將“圓周率”精算到小數第七位,即在3.1415926和3.1415927之間,簡化為3.1415926,被默認為是中國的“圓周率鼻祖”.引言

2009年,美國眾議院正式通過一項無約束力決議,將每年的3月14日設定為“圓周率日”,

2011年,國際數學協會正式宣布,將每年的3月14日設為國際數學節,來源則是中國古代數學家祖沖之的圓周率.引言

劉徽(約225年—約295年),魏晉時期著名數學家,山東省濱州鄒平市人,是我國古代歷史上第一位精確計算圓周率的數學家,他利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法:割圓術,就是極限思想在幾何學上的應用.引言

劉徽在數學上的主要成就之一就是為《九章算術》做注解,創立割圓術來計算圓周率的方法,含有極限觀念,他正確地計算出圓內接正192邊形的面積,得出圓周率的近似值為3.14.在此基礎上,他又進一步算出圓內接正3072邊形的面積,得到圓周率的近似值為3.1416,等于現在通常計算中所規定的π值.引言

2019年3月14日,谷歌宣布日裔前谷歌工程師愛瑪(EmmaHarukaIwao)在谷歌云平臺的幫助下,計算到圓周率小數點后31.4萬億位,即3.1415926535897,打破世界紀錄！以往人們都是用超級計算機計算π,愛瑪是第一個運用云計算進行計算的人.引言

2021年8月17日,美國趣味科學網站報道,瑞士研究人員使用一臺超級計算機,歷時108天,將著名數學常數圓周率π計算到小數點后62.8萬億位,創下該常數迄今最精確值記錄.引言割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——劉徽播放引言正六邊形面積正十二邊形面積……正邊形面積數列的極限Chapter1數列:第一部分：數列的概念自變量為正整數的函數其函數值按自變量n由小到大排列成的一列數稱為數列,簡記為其中稱為數列的通項或一般項.

由于一個數列完全由其一般項所確定,故也把數列簡稱為數列例11第二部分：數列的極限(1)(2)(3)(4)第二部分：數列的極限當n無限增大時,數列(1)的一般項無限接近于0;當n無限增大時,數列(2)的一般項無限接近于1;當n無限增大時,數列(3)的一般項

不是1,就是-1,

不接近于任何確定的常數;當n無限增大時,數列(4)的一般項無限增大,也不

接近于任何確定的常數.觀察數列當時的變化趨勢.第二部分：數列的極限播放觀察數列當時的變化趨勢.實驗表明:當n無限增大時,上述數列無限接近于1.思考:“無限接近”意味著什么？第二部分：數列的極限第二部分：數列的極限定義10如果當n無限增大時,數列an無限接近于一個確定的常數A,那么A就叫做數列an的極限或說數列an收斂于A,記為

如果數列an沒有極限,就稱數列an發散.

讀作“當n趨于無窮大時,數列an的極限等于A或an趨于A”.例11或第二部分：數列的極限數列極限的嚴格數學定義定義11*

設有數列{xn}與常數a,若對于任意給定的正數(不論它多么小),總存在正整數N,使得對于n>N時的一切xn,不等式都成立,則稱常數a為數列{xn}的極限,或稱數列{xn}收斂于a,記為說明：(1)正數

是任意給定的(既是任意的,又是給定的).用來刻畫“xn無限趨近于a”的程度,越小,xn越接近于a；

(2)正整數N是隨

而定的,即N與

有關,用來刻畫“n無限增大”的程度.數列極限的嚴格數學定義幾何意義：若,則對于任給的>0,無論它多么小,都存在正整數N,在{xn}中,從第N+1項開始以后所有各項全部落在a的

鄰域中,在這個鄰域之外,最多只有{xn}的有限項.第二部分：數列的極限例12證明證

對任意給定的,要使不等式

成立,只需.因此,若取

時,有,從而有

由定義可知,收斂數列的性質Chapter2*第一部分：收斂數列的性質定理1*(唯一性)

若數列{xn}收斂,則其極限是唯一的.定理2*(有界性)

收斂數列是有界的.注:

定理2的逆命題不成立,即有界數列未必收斂.如

是有界數列,但它沒有極限.第一部分：收斂數列的性質定理3*(保號性)

若,且

a>0(或a<0),則必存在正整數N,當n>N時,恒有xn>0(或xn<0).推論*若數列{xn}從某項起有xn>0(或xn<0),且若,則

定理4*(收斂數列與其子數列間的關系)

若數列{xn}收斂于a,

則它的任一子數列也收斂于a.函數的極限Chapter3第一部分：時函數的極限定義12如果當x的絕對值無限增大(即

時),函數f(x)的值無限接近于一個確定的常數A,那么A就叫做函數f(x)當

時的極限,記為注:

自變量x的絕對值無限增大指的是：x既可以取正值,也可以取負值,但其絕對值無限增大.第一部分：時函數的極限定義13’

當(或)時,函數

f(x)趨近于常數A,則稱常數A為(或)時的極限,記為注：第二部分：時函數極限的嚴格數學定義定義4*設函數f(x)在(M為正的常數)時有定義,A為常數,若對任意給定的正數(不論多么小),總存在正數X,使當

時,恒有則稱常數A為

時函數f(x)的極限,記為第二部分：時函數極限的嚴格數學定義幾何意義：

表示作直線

和,則總存在一個正數X,使得當

時,函數

y=f(x)的圖形位于這兩條直線之間

練習例13用定義證明

證

對任意給定的,要使

只需,因此,取,則當

時,必有

于是由定義4知,

練習例14討論極限

是否存在.

解

由函數

的圖形可知,

由于故

不存在.

第三部分：水平漸近線水平漸近線：若,則稱直線

y=C為函數

y=f(x)圖形的水平漸近線.例如,例13中直線

y=0為

的水平漸近線;例14中直線

及

均為

的水平漸近線.第四部分：時函數的極限考察函數當x分別從左側和右側趨于0.5時的變化趨勢見下表.x00.10.30.40.49…0.5…0.510.60.91f(x)11.21.61.81.98…2…2.022.22.83由表可知,當x無限接近于0.5時,f(x)趨于常數2.我們稱當時,函數f(x)的極限為2.則當時,函數f(x)的極限為2.令第四部分：時函數的極限定義14如果當x無限接近于定值

x0,即當

時(在

x0處可以無定義),函數

f(x)無限接近于一個確定的常數A,那么A就叫做函數

f(x)當

時的極限,記為

特例：

第五部分：時函數極限的嚴格數學定義定義15*設函數

f(x)在

x0的某去心鄰域內有定義,A為常數.若對任意給定的(無論

多么小),總存在,使當

時,恒有則稱常數A為函數

f(x)當

時的極限,記為說明：

(1)函數極限與

f(x)在點

x0處是否有定義無關；(2)與任意給定的正數

有關；第五部分：時函數極限的嚴格數學定義說明：(3)的幾何解釋:任意給定一正數,作平行于x軸的兩條直線

和.根據定義,對于給定的,存在點

x0的一個

去心鄰域,當

y=f(x)的圖形上的點的橫坐標

x落在該鄰域內時,這些點對應的縱坐標落在帶形區域

內.第六部分：左、右極限左極限：當

時,函數

f(x)趨于常數A,則稱A為

f(x)在點

x0處的左極限,記為,簡記為右極限：當

時,函數

f(x)趨于常數A,則稱A為

f(x)在點

x0處的右極限,記為,簡記為注：

練習例15用定義證明.

證

當

時,任意給定,要使只要取,則當

故由定義6知

練習例16設,討論

是否存在.

解

因為所以

不存在.

練習例17設,求.

解

因為所以

練習例18設,求.

解

因為所以

不存在.函數極限的性質Chapter4第一部分：函數極限的性質定理5*

(1)(唯一性)若

存在,則其極限值唯一；

(2)(局部有界性)若

存在,則函數

f(x)在

x0的某去心鄰域內有界；

(3)(局部保號性)若,且

A>0(或

A<0),則在

x0的某去心鄰域內恒有(4)若,且在

x0的某去心鄰域內

f(x)>0(或

f(x)<0),則有小結1.

數列極限的概念2.

收斂數列的性質

收斂:

數列沒有極限.

發散:小結3.

函數極限的概念4.

函數左、右極限的概念5.

極限存在與左、右極限之間的關系時函數的極限:時函數的極限:或或或謝謝！

引言1.割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——劉徽引言1.割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——劉徽引言1.割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——劉徽引言1.割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與