實(shí)數(shù)

練習(xí)題

溫故而知新：

1.算術(shù)平方根與平方根：

算術(shù)平方根：一般地'如果一個(gè)正數(shù)X的一平方一等干a，即=x2_=a一，那么這個(gè)正數(shù)X

叫做a的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0.

平方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)的—平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根〔或二次方根〕，

這就是說，如果X2=a，那么x叫做a的平方根，記為土、石

平方根的性質(zhì)：〔1〕正數(shù)有二兩一個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)—；〔2〕0的平方根是0；

〔3〕—負(fù)數(shù)—沒有平方根.

2.立方根：

立方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等干a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根.

這就是說，如果X3=a，那么x叫做a的立方根.

立方根的性質(zhì)：〔1〕正數(shù)的立方根是正數(shù)；〔2〕角數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)方3〕

0的立方根是0，即水i=0

3.實(shí)數(shù)的概念與分類：

'「正整數(shù)、

—整數(shù)Jo

「有理數(shù)負(fù)整數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

(分?jǐn)?shù)一r正分?jǐn)?shù)

實(shí)數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

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正無理數(shù)

1無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

例1一個(gè)正數(shù)x的平方根分別是a+1與a-3，那么a的值為〔〕.

A.2B.-1C.1D.0

解析：

一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).〔下〕

〔a+1〕+〔a-3〕=0，解得a=l.

答案：C

小結(jié)：

〔1〕一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；〔2〕一個(gè)正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù).

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例2m是戊3的整數(shù)局部，n是Ji3的小數(shù)局部，求m,n..

先估算JT3的值的圍，再確定其整數(shù)局部，余下的即為小數(shù)局部

解析：先估算而的值的圍，再確定其整數(shù)局部，余下的即為小數(shù)局部。

答案：解：

即3<>/15<4

的整數(shù)局部m=3,的小數(shù)局部n=、/B-3

小結(jié)：

確定一個(gè)無理數(shù)的整數(shù)局部，一般采用估算法〔估算到個(gè)位〕；確定小數(shù)局部的方法是：首先

確定其整數(shù)局部，然后用這個(gè)數(shù)減去整數(shù)局部即得小數(shù)局部.

例3求以下各式中的x:〔1〕X2-144=O;〔2〕25x2-16=0；〔3〕〔x-3》=25.

解析：

先通過移項(xiàng)、系數(shù)化為1，將原式變形為x2=a(a20)的形式，再根據(jù)平方根的定義求出未知數(shù)

x的值.

答案：

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解：〔1〕X2-144=0

x2=144

x=+12；〔下〕

〔2〕25x2-16=0

16

X2=—

25

x=±?；〔下〕

〔3〕〔X-3〕2=25

x-3=+5

x=8或x=-2

小結(jié)：

解這類題目要根據(jù)平方根的意義求解，所以先將方程轉(zhuǎn)化為“X2=a〃的形式，再用開平方法求

解，這里要注意：當(dāng)a>0時(shí)，其平方根有兩個(gè)，所以方程有兩個(gè)解.

例4計(jì)算以下各式的值：〔1〕<0+-^^0125+〔2〕〔2、/爹+喬〕-

〔3+行〕

解析：

先算乘方與開方，再算乘除，最后算加減

答案：

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解：〔1〕原式=0-3-白〔-0.5〕+J1

228

7

中下〕

〔2〕原式=2a+的-&一行

=〔2&-&〕+［有-、片］

垃

小結(jié)：

〔1〕有理數(shù)的運(yùn)算法那么與運(yùn)算律在實(shí)數(shù)中仍然適用；〔2〕對(duì)于含有根號(hào)的計(jì)算，其結(jié)果不

一定是無理數(shù).

例5?如圖3-1所示，一個(gè)瓶子的容積為1升，瓶裝著一些溶液,當(dāng)瓶子正放時(shí)1瓶溶液的

高度為20cm，倒放時(shí)，空余局部的高度為5cm，現(xiàn)把瓶的溶液全部倒在一個(gè)圓柱形的杯子里，

杯的溶液的高度為10cm，求：

(1〕瓶溶液的體積；

〔2〕圓柱形杯子的底面半徑〔n-3.14,結(jié)果準(zhǔn)確到0.1cm〕.

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解析：

該瓶的容積相當(dāng)于底面與瓶底面一樣，高為25cm的圓柱體的體積.

答案：

解：lL=1000cm3，由題意得瓶子的底面積為詈=40〔cnu〕

(1)瓶溶液的體積是40x20=800〔cm?〕

(2)設(shè)圓柱形杯子的底面半徑為r，那么

產(chǎn)1x10=800，

180、

..r=,一心5c.0n〔rcm〕

\Tt

小結(jié)：

解此類等積變形問題的關(guān)鍵是根據(jù)體積不變確定數(shù)量關(guān)系或建立等量關(guān)系

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例6規(guī)律探究：觀察

〔2〕寫出符合這一規(guī)律的一般等式.

解析：從給出的運(yùn)算過程中找出規(guī)律，然后依規(guī)律計(jì)算

（n為大于0的自然數(shù)）.

小結(jié)：

此類規(guī)律型問題的特點(diǎn)是給定一列數(shù)或等式或圖形，要求適當(dāng)?shù)赜?jì)算，必要的觀察，猜測(cè)，

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歸納，驗(yàn)證，利用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，分析特點(diǎn)，探索規(guī)律，總結(jié)結(jié)論.

舉一反三：

a2。9

1.某正數(shù)的平方根為三和與二，那么這個(gè)數(shù)為〔〕.

A.IB.2C.4D,9

a2。一9

解析：由平方根定義知1與一--互為相反數(shù)，

,a2a-9

所以一+------=0n,

33

解得a=3,

所以這個(gè)數(shù)的平方根為±1,

所以這個(gè)數(shù)為1.選A.

2.如圖3-3，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為-1和舊，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，那

么點(diǎn)C所表示的數(shù)為〔〕.

.C..4..B,,,r

-4-i-2-10I234

圖3-3

A.-2->/3B,-1-V3C,-2+、夕D.1+6

角軍析：TABuJ5+l,

「.C點(diǎn)表示的數(shù)為T-〔召+l)=-2-的.選A

3.(1)1的平方根是；立方根為；算術(shù)平方根為?

(2)平方根是它本身的數(shù)是?

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(3)立方根是其本身的數(shù)是?

(4)算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是.

解析：思考平方根和立方根的含義，注意特殊的數(shù)字。

答案：〔