《第二十四章

圓》單元復習知識點一知識點二知識點一圓的定義在一個平面內,線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周,另一個端點A所形成的圖形叫做圓.其固定的端點O叫做圓心,線段OA叫做半徑.名師解讀:(1)圓也可以看作“平面內到一定點的距離等于定長的所有點組成的圖形,這個定點叫做圓心.定長叫做半徑”.(2)由圓的定義可知:圓是一條封閉的曲線,不是圓面.確定圓的兩個條件是圓心和半徑,其中圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小.24.1圓的有關性質知識點一知識點二例1

下列條件中,能確定圓的是(

)A.以點O為圓心B.以2cm長為半徑C.以點O為圓心,以5cm長為半徑D.經過已知點A解析:根據圓的定義對各選項進行判斷:A,點O為圓心,半徑不確定,則不能確定圓;B,2

cm長為半徑,圓心不確定,則不能確定圓;C,以點O為圓心,以5

cm長為半徑可確定圓;D,經過點A,則圓心和半徑都不能確定,則不能確定圓.答案:C知識點一知識點二理解圓的定義并且明確確定圓的兩個條件缺一不可是解答的關鍵.

知識點一知識點二知識點二圓的相關概念(1)弦和直徑:連接圓上任意兩點間的線段叫做弦,經過圓心的弦叫做直徑.(2)弧:圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧.(3)半圓:圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧,每一條弧都叫做半圓.大于半圓的弧叫做優弧,小于半圓的弧叫做劣弧.(4)等圓:能夠重合的圓叫做等圓.(5)等弧:在同圓或等圓中,能夠互相重合的弧叫做等弧.名師解讀:理解這些與圓相關的概念時,要注意數形結合,對比理解,同時注意“線”的“曲”和“直”及是否為全等形.知識點一知識點二例2

如圖,點A,O,D以及點B,O,C分別在一條直線上,則圓中弦的條數是(

)A.2 B.3C.4 D.5解析:將圖形中的線段根據弦的概念逐個進行分析,從而得到圖中的弦有AB,BC,CE共三條.答案:B知識點一知識點二抓住“弦是端點在圓上的線段”是解決本題的關鍵.

知識點一知識點二例3

如圖,在☉O中,半徑有

,直徑有

,弦有

,劣弧有

,優弧有

.

解析:根據半徑、直徑、弦、劣弧和優弧的定義分別求解.知識點一知識點二解答這類問題,要注意按照一定的次序分別依次列出,避免漏解或重復.

拓展點拓展點利用圓的周長和面積解決實際問題例題

某校計劃在校園內修建一座周長為12米的花壇,同學們設計出正三角形、正方形和圓共三種圖案,其中使花壇面積最大的圖案是(

)A.正三角形 B.正方形C.圓 D.不能確定拓展點拓展點解答這類問題,需要熟練地運用面積公式進行計算,同時需要記憶由此題驗證的一個結論“在周長相等的所有平面圖形中,圓的面積最大”.

知識點一知識點二知識點一圓的軸對稱性

圓是軸對稱圖形,任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.名師解讀:不能錯誤地說成“圓的任何一條直徑都是圓的對稱軸”,因為對稱軸一定是直線,而圓的直徑是線段.例1

下列交通標志中,是軸對稱圖形的是(

)24.1.2垂直于弦的直徑知識點一知識點二解析:這些標志都是由圓和其他圖形組成的,由于圓是軸對稱圖形,且對稱軸是過圓心的直線,所以,只要與圓組合的圖形是軸對稱圖形并且對稱軸也過圓心即可,依次判斷:A,不是軸對稱圖形,故本選項錯誤;B,是軸對稱圖形,故本選項正確;C,不是軸對稱圖形,故本選項錯誤;D,不是軸對稱圖形,故本選項錯誤.答案:B知識點一知識點二解答這類問題,既可以采取折疊的方法判斷,也可以根據圓和與其組合圖形是否有共同的對稱軸進行判斷.

知識點一知識點二知識點二垂徑定理及其推論垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧;平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.名師解讀:理解垂徑定理可以從以下幾個方面:(1)這類的垂“徑”,可以是直徑、半徑或過圓心的直線或線段,其本質只要過圓心即可;(2)垂徑定理中的“弦”可以是直徑,是直徑時,結論仍然成立;(3)垂徑定理是證明線段相等、弧相等的重要依據,也是計算圓中求線段的長度、求圓的半徑、求角的度數的重要依據;(4)結合圓的對稱性可以得出,弦的垂直平分線經過圓心,這也是找圓的圓心的重要方法.知識點一知識點二例2

如圖,CD是☉O的直徑,弦AB⊥CD于點E,∠BCD=30°,下列結論:①AE=BE;②OE=DE;③AB=BC;④BE=DE.其中正確的是(

)A.① B.①②③ C.①③ D.①②③④知識點一知識點二解析:根據垂徑定理以及等邊三角形的性質和判定定理即可作出判斷.∵CD是☉O的直徑,AB⊥CD,∴AE=BE,故①正確.∵∠BCD=30°,∴∠BOD=60°.又∵OB=OD,∴△OBD是等邊三角形.∵AB⊥CD,∴OE=DE,BE=DE,故②④正確.∵∠ACB=2∠BCD=60°,又∵AC=BC,∴△ABC是等邊三角形.∴AB=BC,故③正確.答案:D知識點一知識點二解答這類問題,首先要利用垂徑定理得出相關結論,然后在結論的基礎上進行推理,在進一步得出更多結論后,分別判斷各個結論是否正確.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一垂徑定理的實際應用例1

如圖,有一拱橋呈圓弧形,它的跨度(所對弦長AB)為60m,拱高18m,當水面漲至其跨度只有30m時,就要采取緊急措施.某次洪水來到時,拱頂離水面只有4m,問:是否要采取緊急措施?并說明理由.拓展點一拓展點二拓展點三分析:如圖,設圓的半徑是R

m,則ON=(R-4)m,OM=(R-18)m.根據垂徑定理求得AM的長,在Rt△AOM中,根據勾股定理求得R的值,在Rt△A'ON中,根據勾股定理求得A'N的值,再根據垂徑定理求得A'B'的長,從而作出判斷.解:如圖,設圓的半徑是R

m,則ON=(R-4)m,OM=(R-18)m.根據垂徑定理,得AM=AB=30

m,在Rt△AOM中,AO2=OM2+AM2,即R2=(R-18)2+900,解得R=34.在Rt△A'ON中,根據勾股定理得

,根據垂徑定理,得A'B'=2A'N=32>30.∴不用采取緊急措施.拓展點一拓展點二拓展點三解答這類實際問題,首先弄懂題意,把實際問題轉化為數學問題,然后利用垂徑定理和勾股定理相結合,構造出直角三角形,進而可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二利用垂徑定理確定圓心的坐標例2

如圖所示,半徑為5的☉P與y軸相交于M(0,-4),N(0,-10)兩點,則圓心P的坐標為(

)A.(5,-4)B.(4,-5)C.(4,-7)D.(5,-7)拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三解答這類找圓心的問題,注意數形結合,綜合運用垂徑定理,勾股定理等知識進行分析計算,明確弦的垂直平分線經過圓心是關鍵.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三與垂徑定理有關的綜合題例3

在☉O中,☉O的直徑為26,弦AB∥弦CD,AB=10,CD=24,求AB與CD間的距離.拓展點一拓展點二拓展點三分析:作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,連接OA,OC,由垂徑定理得

,由于AB∥CD,易得E,O,F三點共線,在Rt△AOE和Rt△OCF中,利用勾股定理分別計算出OE與OF,然后分類討論:當圓心O在弦AB與CD之間時,AB與CD的距離=OE+OF;當圓心O在弦A'B'與CD的外部時,AB與CD的距離=OE-OF.拓展點一拓展點二拓展點三解:如圖,作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,連接OA,OC,OA=OC=13,則∵AB∥CD,∴E,O,F三點共線,當圓心O在弦AB與CD之間時,AB與CD間的距離=OE+OF=12+5=17;當圓心O在弦A'B'與CD的外部時,A'B'與CD間的距離=OE-OF=12-5=7.所以AB與CD間的距離是17或7.拓展點一拓展點二拓展點三解答圓的有關問題,當圓心或弦之間的位置關系沒有明確時,注意要分類討論,以免漏解.

知識點一知識點二知識點三知識點一圓的旋轉對稱性

旋轉對稱圖形:把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后,與原圖形重合的圖形.圓是中心對稱圖形,對稱中心是圓心.不僅如此,把圓繞圓心旋轉任意角度,所得的圖形都與原圖形重合(旋轉對稱性).名師解讀:由前面所學知識可知圓的對稱性包括軸對稱性、中心對稱性和旋轉對稱性,圓的很多性質都是由它們得出的,其中旋轉對稱性也是車輪做成圓形的原因.24.1.3弧、弦、圓心角知識點一知識點二知識點三例1

下列圖形中既是軸對稱圖形,又是旋轉對稱圖形的是(

)A.①② B.①②③C.②③④ D.①②③④解析:先根據圖形確定是否為軸對稱圖形,在是軸對稱圖形的基礎上再看是否繞中心旋轉任意角度能與原圖形重合:①不是軸對稱圖形,是旋轉對稱圖形;②是軸對稱圖形,是旋轉對稱圖形;③是軸對稱圖形,是旋轉對稱圖形;④是軸對稱圖形,是旋轉對稱圖形.答案:C知識點一知識點二知識點三解答這類問題,可以簡單地認為是“找對稱軸”和“旋轉中心”,先確定是其中一種具有特質的圖形,再看是否具備另一種圖形的特質.

知識點一知識點二知識點三知識點二圓心角的定義頂點在圓心的角叫做圓心角.名師解讀:理解圓心角時注意:(1)只要角的頂點在圓心,這樣的角就是圓心角.(2)由于圓周的

所對的圓心角為1°,圓周的

叫做1°的弧,所以圓心角的度數等于它所對的弧的度數.知識點一知識點二知識點三知識點一知識點二知識點三解答這類問題,本質就是根據分數乘法的意義求周角的幾分之幾.

知識點一知識點二知識點三知識點三弧、弦、圓心角之間的關系在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等.在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的弦相等;在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的優弧和劣弧分別相等.定理可表示為:知識點一知識點二知識點三知識點一知識點二知識點三名師解讀:(1)圓心角、弧、弦三者關系理解為:①圓心角相等,②所對的弧相等,③所對的弦相等,即三項“知一推二”,一項相等,其余兩項皆相等.其正確性源于圓的旋轉不變性.即:圓繞其圓心旋轉任意角度,所得圖形與原圖形完全重合.(2)注意應用此關系的前提條件是在同圓或等圓中,沒有前提條件,所得的結論不一定成立.(3)注意應用此關系可以證明角相等,線段相等,弧相等.知識點一知識點二知識點三知識點一知識點二知識點三在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.所以解答這類問題,只要說明其中一組量相等即可.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一弧、弦、圓心角之間的關系的靈活運用例1

如圖,弦CD=EF,請至少找出圖中5對具有相等關系的量.分析:根據圓心角、弧、弦的關系進行推理,逐步得到所需答案.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二與弧、弦、圓心角之間的關系有關的計算題例2

如圖,在△AOB中,AO=AB,以點O為圓心,OB為半徑的圓交AB于點D,交AO于點E,AD=OB.試說明,并求∠A的度數.拓展點一拓展點二拓展點三解:連接OD,如圖所示,設∠A=x,∵AD=OB,∴DO=DA,∴∠DOA=x,∴∠BDO=2x,∴∠B=2x,又∵AO=AB,∴∠BOE=∠B=2x,∴∠BOD=2x-x=x=∠DOE,∴

.在△OBD中,x+2x+2x=180°,∴x=36°,即∠A=36°.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三與弧、弦、圓心角之間的關系有關的證明題例3

如圖,已知BD,CE是☉O的兩條弦,OA平分∠DAE.求證:AB=AC.分析:作OM⊥BD于M,ON⊥CE于N,根據角平分線的性質得到OM=ON,根據圓心角、弧、弦之間的關系得到BD=CE,證明△AMO≌△ANO,得到AM=AN,得到答案.拓展點一拓展點二拓展點三證明:作OM⊥BD于M,ON⊥CE于N,∵OA平分∠DAE,∴OM=ON,∴BD=CE.∵OM⊥BD,ON⊥CE,∴△AMO≌△ANO,∴AM=AN,∴AB=AC.拓展點一拓展點二拓展點三在圓中證明兩條弦相等,一般通過證明兩條弦所對應的弧相等來證明.

知識點一知識點二知識點三知識點四知識點一圓周角的定義

頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交,我們把這樣的角叫做圓周角.名師解讀:理解此概念應注意兩個方面:一是注意與圓心角的區別,圓心角是頂點在圓心,而圓周角是頂點在圓上;二是它的兩邊必須與圓相交(兩邊在圓內形成兩條弦).如果除頂點外,其他的部分都在圓外,這樣的角也不是圓周角.24.1.4圓周角知識點一知識點二知識點三知識點四例1

下面圖形中的角,是圓周角的是(

)解析:根據圓周角的定義用排除法即可.選項A的角頂點不在圓上,選項C,D中的角在圓內沒有形成兩條弦,故選B.答案:B知識點一知識點二知識點三知識點四注意圓周角必須滿足兩個條件:①頂點在圓上;②角的兩條邊都與圓相交.二者缺一不可.

知識點一知識點二知識點三知識點四知識點二圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.名師解讀:(1)定理的要求是同一條弧所對的圓周角和圓心角,從數值大小上來看,圓周角是圓心角的一半;(2)不能忽略“同一條弧”這個前提條件,不能簡單表述成“圓周角等于圓心角的一半.知識點一知識點二知識點三知識點四例2

如圖所示,OA,OB,OC都是☉O的半徑,∠ACB=45°,∠BOC=30°,求∠BAC與∠AOB的度數.分析:根據同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半得出∠BAC=∠BOC=15°,∠AOB=2∠ACB=90°.解:∵OA,OB,OC都是☉O的半徑,∠ACB=45°,∠BOC=30°,∴∠BAC=∠BOC=15°,∠AOB=2∠ACB=90°.知識點一知識點二知識點三知識點四求圖形中圓周角的度數時,一般考慮先求它所對的弧所對的圓心角的度數,利用圓周角定理進行求解,若無法直接求出,則考慮進行轉化.

知識點一知識點二知識點三知識點四知識點三圓周角定理的推論同弧或等弧所對的圓周角相等;半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑.名師解讀:運用此推論可參考如下:(1)①利用此結論,可以幫助我們證明兩個圓周角相等或者兩條弧相等;②“相等的圓周角所對的弧相等的條件是在同圓或等圓中,如果失去了這個前提條件,結論就不一定正確.(2)解答圖形中有圓的直徑的問題時,通常把直徑所對的直角表示出來,再結合其他知識進行解答,簡稱“遇直徑,出直角”;當圖中有直角而沒有直徑時,也常常把直角所對的直徑作出,簡稱“見直角,作直徑”.知識點一知識點二知識點三知識點四例3

如圖所示,自☉O上一點C向弦AB作垂線段CD,求證:∠ACD=∠BCO.分析:延長CO交☉O于E點,連接BE.根據同弧所對的圓周角相等得出∠CAB=∠CEB,由CE為☉O的直徑,根據直徑所對的圓周角是直角得出∠CBE=90°,那么∠ADC=∠CBE=90°.然后根據三角形內角和定理得到∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°,∠CEB+∠CBE+∠BCO=180°,利用等式的性質即可得出∠ACD=∠BCO.知識點一知識點二知識點三知識點四證明:延長CO交☉O于E點,連接BE.則∠CAB=∠CEB.∵CE為☉O的直徑,∴∠CBE=90°,∴∠ADC=∠CBE=90°.∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°,∠CEB+∠CBE+∠BCO=180°,∴∠ACD=∠BCO.知識點一知識點二知識點三知識點四解答這類問題,作出輔助線是解題的關鍵.

知識點一知識點二知識點三知識點四知識點四圓內接四邊形的概念及性質1.概念:如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上,這個多邊形叫做圓內接多邊形,這個圓叫做這個多邊形的外接圓.如果四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,☉O就是四邊形ABCD的外接圓.2.性質:圓內接四邊形的對角互補.名師解讀:利用圓的內接四邊形的性質“對角互補”可以方便求圓內角的度數和說明角之間的關系.知識點一知識點二知識點三知識點四例4

如圖所示,四邊形ABCD內接于☉O,如果它的一個外角∠DCE=64°,那么∠BOD=(

)A.128°

B.100°C.64° D.32°解析:∵四邊形ABCD內接于☉O,∴∠A+∠BCD=180°,又∠BCD+∠DCE=180°,∴∠A=∠DCE=64°,∴∠BOD=2∠A=128°.答案:A知識點一知識點二知識點三知識點四在圓中求圓心角的度數,一般借助于圓心角所對的弧所對的圓周角或圓心角所對的弦來解決問題.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一利用圓周角定理及其推論求角的度數或線段的長度例1

如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的☉O分別交BC,AC于點D,E,若AE=BE,則∠EBC的度數是(

)A.15° B.30°C.22.5° D.45°拓展點一拓展點二拓展點三解析:∵AB為圓O的直徑,∴∠AEB=90°.又AE=BE,∴△ABE為等腰直角三角形,∴∠A=∠ABE=45°,∵AB=AC,則∠EBC=∠ABC-∠ABE=22.5°.答案:C拓展點一拓展點二拓展點三此題的方法不唯一,也可以連接AD,利用等腰三角形的性質得出∠BAD的度數,然后利用∠EBC=∠BAD得出結果,熟練掌握圓周角定理及其推論是解本題的關鍵.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二利用圓周角定理及其推論證明線段相等或角相等例2

如圖,AB,CD是☉O的直徑,DF,BE是弦,且DF=BE,求證:∠D=∠B.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三利用“在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等”是證明弧相等的重要方法之一,解答此類問題的方法往往也不唯一.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三與圓周角定理有關的綜合題例3

如圖,△ABC是☉O的內接三角形,點C是優弧

上一點(點C與A,B不重合),設∠OAB=α,∠C=β.(1)當α=36°時,求β的度數;(2)猜想α與β之間的關系,并給予證明.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三此題主要考查圓周角、圓心角關系定理.主要證法有三種:

(1)連接OB,構建圓周角;

(2)連接OB,并作AB的垂線段OD,利用等腰三角形三線合一的性質、圓周角與圓心角的關系求解;

(3)延長AO交☉O于E,連接BE,利用圓周角定理,把α與β放在同一個直角三角形中.

知識點一知識點二知識點三知識點一點與圓的位置關系點與圓有三種位置關系:點在圓內、點在圓上、點在圓外.名師解讀:確定點與圓的位置關系的方法有兩種:一是可用圖形上的位置來判斷:如圖所示,24.2.1點和圓的位置關系知識點一知識點二知識點三設圓O的半徑為r,則有:(1)若點A在圓O的內部,則OA<r;(2)若點B在圓O上,則OB=r;(3)若C在圓O的外部,則OC>r.反之:(1)若OA<r,則點A在圓O的內部;(2)若OB=r,則點B在圓O上;(3)若OC>r,則點C在圓O的外部.二是利用數量關系來判斷:一般地,如果P是圓所在平面內的一點,d表示點P到圓心O的距離,r表示圓的半徑,則有:①點P在☉O上?d=r;②點P在☉O內?d<r;③點P在☉O外?d>r.知識點一知識點二知識點三例1

如圖,以點O'(1,1)為圓心,OO'為半徑畫圓,判斷點P(-1,1),點Q(1,0),點R(2,2)和☉O'的位置關系.知識點一知識點二知識點三要確定點與圓的位置關系,主要確定點與圓心的距離(d)與半徑(r)的大小關系;根據它們之間的對應關系確定即可.

知識點一知識點二知識點三知識點二不在同一條直線上的三點確定圓不在同一條直線上的三點確定一個圓.經過三角形的三個頂點可以作一個圓,這個圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點,叫做這個三角形的外心.名師解讀:(1)一個三角形有且只有一個外接圓,而一個圓可以有無數多個內接三角形.(2)三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等,都等于三角形外接圓的半徑.知識點一知識點二知識點三例2

三角形外心具有的性質是(

)A.到三個頂點距離相等B.到三邊距離相等C.外心必在三角形外D.到頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍解析:∵三角形的外心是任意兩邊垂直平分線的交點,線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等,∴外心到三個頂點距離相等.答案:A知識點一知識點二知識點三理解三角形的外心是任意兩邊垂直平分線的交點是解答的關鍵.

知識點一知識點二知識點三知識點三反證法假設命題的結論不成立,由此經過推理得出矛盾,由矛盾斷定所作假設不正確,從而得到原命題成立.這種方法叫做反證法.名師解讀:用反證法證明命題的一般步驟:(1)否定結論——假設命題的結論不成立;(2)推出矛盾——從假設出發,根據已知條件,經過推理論證,得出一個與命題的條件或已知的定義、基本事實、定理等相矛盾的結果;(3)肯定結論——由矛盾判定假設不正確,從而肯定命題的結論正確.知識點一知識點二知識點三例3

用反證法證明命題“在直角三角形中,至少有一個銳角不大于45°”時,應先假設(

)A.有一個銳角小于45°B.每一個銳角都小于45°C.有一個銳角大于45°D.每一個銳角都大于45°答案:D知識點一知識點二知識點三(1)使用反證法的前提是直接證法比較“困難”.

(2)解答問題的關鍵是第一步“假設”,在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況,如:“都是”的否定是“不都是”,大于的否定是“不大于”即“小于等于”等等.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一圓的存在性與點和圓的位置關系例1

A,B,C是平面內的三點,AB=3,BC=3,AC=6,下列說法正確的是(

)A.可以畫一個圓,使A,B,C都在圓上B.可以畫一個圓,使A,B在圓上,C在圓外C.可以畫一個圓,使A,C在圓上,B在圓外D.可以畫一個圓,使B,C在圓上,A在圓內解析:∵A,B,C是平面內的三點,AB=3,BC=3,AC=6,∴AB+BC=AC,則B是線段AC的中點,∴可以畫一個圓,使A,B在圓上,C在圓外.答案:B拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二幾何圖形上的點與圓的位置關系例2

在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,☉A的半徑為r,若B,D在☉A內,C在☉A外,則r的取值范圍是(

)A.3<r<4 B.3<r<5C.4<r<5 D.r>4拓展點一拓展點二拓展點三解析:如圖所示,要想矩形的頂點B,D在☉A內,C在☉A外,r必須大于AD,且小于AC,而AD=4,AC==5,所以r的范圍為4<r<5.答案:C拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題抓住點到圓心的距離與圓半徑的大小關系,數形結合,根據已知得出r與各邊長的關系是解題關鍵.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三與外接圓有關的綜合題例3

在等腰△ABC中,AB=AC=13cm,BC=10cm,求等腰△ABC外接圓的半徑.分析:設O為△ABC外接圓的圓心,連接AO,并延長AO交BC于D,連接OB,OC,得出AD⊥BC,BD=DC,根據勾股定理求出AD,設出等腰△ABC外接圓的半徑,在Rt△OBD中,由勾股定理得出OB2=OD2+BD2,代入求出即可.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題,關鍵是通過作輔助線,利用外接圓的性質和等腰三角形的性質進行分析.由于是等腰三角形,容易想到過A作AD垂直于BC交于點D,此時需要說明圓心O在AD上,否則錯誤.

知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點一直線與圓的位置關系

直線和圓有兩個公共點,這時我們就說這條直線和圓相交,這條直線叫做圓的割線.直線和圓只有一個公共點,這時我們就說這條直線和圓相切,這條直線叫做圓的切線.直線和圓沒有公共點,這時我們說這條直線和圓相離.設☉O的半徑為r,點O到直線l的距離為d,則直線l和☉O相交?d<r;直線l和☉O相切?d=r;直線l和☉O相離?d>r.24.2.2直線和圓的位置關系知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五名師解讀:直線和圓的位置關系,還可用下表表示:判定一條直線與圓的位置關系時,既可以用直線與圓的公共點的個數來判定它們的位置關系,也可以用圓心到直線的距離與半徑的大小關系來判定它們的位置關系.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五例1

如圖,△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AO=x,O在AB上,且☉O的半徑為1.問當x在什么范圍內取值時AC與☉O相離、相切、相交?分析:由三角形的內角和定理可求出∠A的大小,根據含30°角的直角三角形的性質即可得到OD和AO的關系,(1)若圓O與AC相離,則有OD大于r,列出關于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范圍;(2)若圓O與AC相切,則有OD=r,求出x的值即可;(3)若圓O與AC相交,則有OD小于r,列出關于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范圍.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五解答這類問題時,可以先畫出草圖,利用直線與圓的位置關系由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系來判斷.

知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點二切線的判定經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.名師解讀:切線的判定方法可以歸納為兩種:(1)定義法:和圓有唯一公共點的直線是圓的切線或到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線;(2)切線的判定定理.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五例2

如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,O為AB上一點,以O為圓心,OB長為半徑的圓交BC于D,DE⊥AC交AC于E.求證:DE是☉O的切線.分析:連接OD,由OB=OD,AB=AC,可得到∠ODB=∠C,即OD∥AC,而DE⊥AC,即可得到OD⊥DE,從而得到DE是☉O的切線.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五證明:如圖所示,連接OD,則OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.又∵AB=AC,∴∠OBD=∠C.∴∠ODB=∠C.∴OD∥AC.又∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.∴DE是☉O的切線.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五當已知直線過圓上一點,要證明它是圓的切線,則要連接圓心和這個點,證明這個連線與已知直線垂直即可.

知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點三切線的性質圓的切線垂直于過切點的半徑.名師解讀:切線的性質定理與判定定理互為逆定理,切線的判定定理是由“垂直得切線”;而性質定理是由“切線得垂直”.當已知條件中有切線,而圖形中沒有經過切點的半徑(或直徑)時,通常作出經過切點的半徑,這是解答這類問題的常規輔助線.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五例3

如圖,P是☉O外一點,PA是☉O的切線,A為切點,PO與☉O相交于B點,已知∠P=28°,C為☉O上一點,連接CA,CB,則∠C的度數為(

)

A.28° B.62° C.31° D.56°知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五當題目中有圓的切點,而過切點的半徑又沒有時,一般作出這條半徑,再利用切線的性質定理結合圓周角等其他知識來求解.

知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點四切線長及其定理切線長:經過圓外一點的圓的切線上,這點和切點之間線段的長,叫做這點到圓的切線長.定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等.這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.名師解讀:理解“切線長”時可以類比“兩點間的距離”,切線長是數量,而不是圖形.運用切線長定理可以得出角相等和線段相等,因此,在解答與兩條切線有關的問題時,常常運用此定理找相等的角或線段.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五例4

如圖,PA,PB分別切☉O于A,B,PA=10cm,C是劣弧

上的點(不與點A,B重合),過點C的切線分別交PA,PB于點E,F.則△PEF的周長為(

)A.10cm B.15cm C.20cm D.25cm知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五解析:由于△PEF的三邊都是變化的,而圖形中有三條圓的切線,故易考慮到使用切線長定理進行轉化.∵PA,PB分別切☉O于A,B,∴PB=PA=10

cm.∵EA與EC為☉O的切線,∴EA=EC,同理得到FC=FB,∴△PEF的周長=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=10+10=20(cm).答案:C知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五解答本題關鍵是運用切線長定理得出EC=AE,CF=FB,最后把三角形的周長轉化成兩條切線長的和.

知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點五內切圓及內心內切圓:與三角形的三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.內心:內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的內心.名師解讀:(1)一個三角形有且只有一個內切圓,而一個圓的外切三角形有無數多個.(2)三角形的內心是三角形三個內角的平分線的交點,這點到三角形三邊的距離相等,一定在三角形的內部.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五例5

如圖,☉O是Rt△ABC的內切圓,D,E,F分別為切點,∠ACB=90°,則∠EDF的度數為(

)A.25° B.30°C.45° D.60°知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五解析:由于∠EDF是圓周角,所以考慮構造出所對的弧所對的圓心角,又有切點,所以想到連接OE,OF.∵☉O是Rt△ABC的內切圓,D,E,F分別為切點,∴OE⊥BC,OF⊥AC.∴∠OEC=∠OFC=90°.∵∠C=90°,由四邊形的內角和得∠EOF=90°.∴∠EDF=∠EOF=45°.答案:C知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五解答這類問題的關鍵是構造出∠EDF所對應的圓心角.

拓展點一拓展點二拓展點一直線與圓的位置關系的靈活運用例1

如圖所示,正方形的邊長為4,☉O的半徑為1,正方形中心O1與圓心O在直線l上,☉O與CD邊相切,☉O以1cm/s的速度向左邊運動.(1)當運動時間t在何數值范圍時☉O與CD相交?(2)當t為何值時,☉O與AB相切?拓展點一拓展點二分析:(1)由t=0或t=2時,☉O與CD邊相切,得出當0<t<2時,☉O與CD相交;(2)由t=4或6時,O到AB的距離d=1,得出☉O與AB相切.解:(1)根據題意得,當t=0或t=2時,☉O與CD邊相切,故當0<t<2時,O到CD的距離d<1,☉O與CD相交.(2)根據題意得,當t=4時,O到AB的距離d=1,☉O與AB相切;當t=6時,O到AB的距離d=1,☉O與AB相切.綜上所述,當t=4或6時,☉O與AB相切.拓展點一拓展點二解答這類問題,仔細觀察圖形,由題意得出圓心到直線的距離d與半徑r的數量關系是解決問題的關鍵.

拓展點一拓展點二拓展點二證明圓的切線的常用方法例2

如圖,已知AB為☉O的直徑,過點B作☉O的切線BC,連接OC,弦AD∥OC.求證:CD是☉O的切線.拓展點一拓展點二分析:本題中既有圓的切線是已知條件,又證明另一條直線是圓的切線.也就是既要注意運用圓的切線的性質定理,又要運用圓的切線的判定定理.欲證明CD是☉O的切線,只要證明∠ODC=90°即可,而易發現圖形中的∠ABC是直角,只要設法證明∠CDO=∠ABC即可.拓展點一拓展點二證明:連接OD.∵OC∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4.∵OA=OD,∴∠1=∠2.∴∠3=∠4.又∵OB=OD,OC=OC,∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC=∠ODC.∵BC是☉O的切線,∴∠OBC=90°.∴∠ODC=90°.∴DC是☉O的切線.拓展點一拓展點二解答這類既有圓的切線,又要求證明圓的切線的問題,可以從切線的性質出發,結合其他條件,數形結合進行分析,逐步探求出證明的思路.

知識點一知識點二知識點一正多邊形的相關概念

把一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心,外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑,正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角,中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.名師解讀:由正多邊形的相關概念可以發現都是與這個正多邊形的外接圓有關的.因此解答正多邊形的問題時,特別要注意:(1)任何一個圓都存在著內接正n邊形和外切正n邊形;(2)任何一個正n邊形都有一個外接圓和一個內切圓,而且它們是同心圓.這種關系是研究正多邊形的畫法和有關計算的基礎.(3)正n邊形一定是軸對稱圖形,有n條對稱軸,但是不一定是中心對稱圖形,當邊數是偶數時,是中心對稱圖形,對稱中心是各條對稱軸的交點;當邊數是奇數時,不是中心對稱圖形.24.3正多邊形和圓知識點一知識點二知識點一知識點二知識點一知識點二求解正多邊有關的計算問題,關鍵是把握被半徑和邊心距分割成的直角三角形,將正多邊形的計算問題轉化為解直角三角形的問題.

知識點一知識點二知識點二正多邊形的畫法由于同圓中相等的圓心角所對的弧相等,因此作相等的圓心角就可以等分圓周,從而得到相應的正多邊形.具體如下:畫一個圓,記為☉O.用量角器畫一個

的圓心角∠A1OA2,再以點A2為圓心,以弦A2A1為半徑在☉O上截得點A3.然后以點A3為圓心,以弦A2A1為半徑在☉O上截得點A4,…這樣下去,就可以把☉O分成n等份.順次連接這n個分點,就得到一個正n邊形.名師解讀:這種方法適合于作任意邊數的正多邊形,但是作具體的正多邊形時,可根據正多邊形的邊數和自身的特點選擇其他方法.知識點一知識點二例2

已知半徑為R的☉O,用多種工具、多種方法作出圓內接正三角形.分析:根據正三角形的特點,即中心角為120°,邊長與半徑相等,邊心距等于半徑的一半,結合圓的性質可以有多種作法.解:方法一:(1)用量角器依次畫圓心角∠AOB=120°,∠BOC=120°;(2)連接AB,BC,CA,則△ABC為圓內接正三角形.方法二:(1)用量角器畫圓心角∠BOC=120°;(2)在☉O上用圓規截取

;(3)連接AC,BC,AB,則△ABC為圓內接正三角形.方法三:(1)作直徑AD;(2)以D為圓心,以OA長為半徑畫弧,交☉O于B,C;(3)連接AB,BC,CA,則△ABC為圓內接正三角形.知識點一知識點二方法四:(1)作直徑AE;(2)分別以A,E為圓心,OA長為半徑畫弧與☉O分別交于點D,F,B,C;(3)連接AB,BC,CA(或連接EF,ED,DF),則△ABC(或△EFD)為圓內接正三角形.知識點一知識點二解答作正多邊形的作圖問題時,先根據正多邊形的邊數分析其特點,結合圓的性質及基本的尺規作圖,然后選擇作法,最后作出圖形,這種問題的答案不唯一.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一正多邊形的計算例1

正三角形的內切圓半徑r,外接圓半徑R與邊上的高h的比為(

)拓展點一拓展點二拓展點三解析:畫出圖形,連接OB,連接AO并延長交BC于點D,得到直角三角形BOD,利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,得到R=2r,然后求出h與r的關系,計算r,R與h的比.如圖所示,在直角三角形BOD中,∠OBD=30°,∴R=2r,AD是BC邊上的高h,OA=OB,∴h=R+r=3r.∴r∶R∶h=r∶2r∶3r=1∶2∶3.答案:A拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題,構造出含有所有線段的圖形,然后數形結合,把所有線段用同一線段分別表示即可求出結論.本題考查的是正多邊形,此題幾個量之間的數量關系可當做結論加以牢記,有利于今后提高解題的速度.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二正多邊形的對稱性

例2

如圖,求中心點為原點,頂點A,D在x軸上,邊長為2cm的正六邊形ABCDEF的各個頂點的坐標.分析:先連接OE,由于正六邊形是軸對稱圖形,并設EF交y軸于G,那么∠GOE=30°.在Rt△GOE中,GE=1,OG=,則E的坐標為(1,),與E關于y軸對稱的點F的坐標是(-1,),其他點的坐標類似可求出.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三正多邊形的計算,一般是過中心作邊的垂線,把內切圓半徑、外接圓半徑、中心角之間的計算轉化為解直角三角形問題解答.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三與正多邊形有關的綜合題例3

正六邊形的中心角∠MON(60°)繞中心O旋轉.試證:無論中心角旋轉到何種位置,陰影部分的面積總等于這個正六邊形面積的

.分析:連接OB,OA,根據正多邊形內角和定理求出∠OAM=∠OBN,再由全等三角形的判定定理即可得出△OAM≌△OBN即可得出結論.拓展點一拓展點二拓展點三證明:連接OB,OA.∵∠AOM+∠AON=60°,∠AON+∠NOB=60°,∴∠AOM=∠NOB.∵∠OAM+∠OAB=120°,∠OBA+∠OAB=120°,∴∠OAM=∠OBN.∵OA=OB,∴△OAM≌△OBN(ASA).∴S陰影=S△OAB=S六邊形ABCDEF.拓展點一拓展點二拓展點三解答此類問題時,一般先畫出圖形,數形結合進行解答.解答本題的關鍵是熟知正六邊形的性質及全等三角形的判定定理.

知識點一知識點二知識點三24.4弧長和扇形面積知識點一知識點二知識點三例1

一圓弧所對的圓心角為150°,它所對的弧長等于半徑為5cm的圓的周長,則該弧所在圓的半徑為(

)A.24cm B.12cm C.6cm D.30cm解析:先用弧長公式表示出弧長,代入相關數據求出r的值即可.由題意得,l=2π×5=10π,則10π=,解得r=12.答案:B知識點一知識點二知識點三解答這類問題時,一般根據弧長公式直接求解或根據公式變形求解.

知識點一知識點二知識點三

知識點二扇形的面積公式

半徑為r的圓中,圓心角為n°的扇形的面積為名師解讀:根據扇形的面積公式和弧長公式,已知S扇形,l,n,r四個量中的任意兩個,都可以求出另外的兩個量.知識點一知識點二知識點三例2

如果扇形所含的圓心角為150°,弧長為5π,那么扇形的面積是(

)A.5π B.10π C.15π

D.30π答案:C知識點一知識點二知識點三在計算扇形的面積時,要根據情況選用合適的公式,當已知扇形的半徑和圓心角時,選用公式S扇形=;當已知扇形的弧長和半徑時,選用公式S扇形=lr.

知識點一知識點二知識點三知識點三圓錐的母線、側面積和全面積圓錐的母線:連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線.圓錐的側面展開圖:圓錐的側面展開圖是一個扇形.設圓錐的母線長為l,底面圓的半徑為r,那么這個扇形的半徑為l,扇形的弧長為2πr,因此,圓錐的側面積為πrl,圓錐的全面積為πr(r+l).名師解讀:圓錐的全面積也稱圓錐的表面積,計算時分別求出側面積和底面積,然后相加即可.知識點一知識點二知識點三例3

已知圓錐的高為4,底面半徑為2,求:(1)圓錐的全面積;(2)圓錐側面展開圖的圓心角.分析:(1)首先求得底面周長,即側面展開圖的扇形弧長,然后根據扇形的面積公式即可求得側面積,即圓錐的側面積,再求得圓錐的底面積,側面積與底面積的和就是全面積.(2)利用弧長公式可得圓錐側面展開圖圓心角的角度,把相關數值代入即可求解.知識點一知識點二知識點三知識點一知識點二知識點三已知圓錐的母線長、底面圓的半徑、圓錐側面展開圖的圓心角中的任何兩個,都可以求出第三個量,并且可以求圓錐的全面積.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一扇形面積公式的靈活運用例1

如圖,以四邊形ABCD各頂點為圓心,以1為半徑畫圓,則圖形中扇形(陰影)部分的面積之和是

(

)拓展點一拓展點二拓展點三解析:由于四邊形內角和為360°,因此圖中陰影部分的面積剛好為一個完整的圓的面積.如圖所示,∵四邊形ABCD中,∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∴S陰影=π×12=π.答案:B拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題的關鍵是把幾個扇形拼成一個完整的圖形(圓),然后直接利用圓的面積公式來求,本題也可以利用四個扇形的面積和求解.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二與圓錐側面積有關的問題例2

如圖,已知扇形OAB的圓心角為90°,半徑為4厘米,用這個扇形卷成圓錐的側面,求該圓錐的側面積及圓錐的高.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系:(1)圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑;(2)圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長.正確記憶這兩個關系是解題的關鍵.

拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三利用弧長公式求運動路線的長例3

將邊長為8的正方形ABCD的四邊沿直線l向右滾動(不滑動),當正方形滾動兩周時,正方形的頂點A所經過的路線的長是(

)拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三正確確定A所經過的路線是解題的關鍵.

章末專題整合專題一專題二專題三專題四專題一圓的有關性質

例1

如圖,AB是☉O的直徑,C是☉O上的點,AC=6cm,BC=8cm,∠ACB的平分線交☉O于點D,求AB和BD的長.分析:在Rt△ABC中,利用勾股定理可以求得AB的長度;由角平分線的性質得到圓周角∠ACD=∠BCD,則

,所以AD=BD,故易證△ABD是等腰直角三角形,通過勾股定理來求BD的長度.專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四解答圖形中有直徑的問題,要把直徑作為突破口,充分發揮直徑的作用,結合勾股定理以及直角三角形等知識進行推理或運算.使問題得以解決.本題根據圓周角、弧、弦的關系證得△ABD是等腰直角三角形是解題的關鍵.

專題一專題二專題三專題四專題二直線與圓的位置關系例2