20202021學年廣東省汕尾市高二（下）期末教學質量測試數學試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，則A∩B＝（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}2．在等差數列{an}中，已知a3+a5+a7＝15，則該數列前9項和S9＝（）A．18 B．27 C．36 D．453．已知直線x+y＝0與圓（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2相切，則b＝（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．4．已知函數，下面結論錯誤的是（）A．函數f（x）的最小正周期為2π B．函數（x）在區間上是增函數 C．函數f（x）的圖象關于直線x＝0對稱 D．函數f（x）是偶函數5．某校高三年級1班有45名學生，經初步計算，今年廣東一模數學考試全班平均分為70分，標準差為s，后來發現甲、乙兩名同學的成績錄入有誤，甲實際為60分，被誤錄入為50分，乙實際為40分，被誤錄入為50分更正后重新計算，得到全班數學成績的標準差為s1，則s與s2的大小關系為（）A．s＜s1 B．s＞s1 C．s＝s1 D．不能確定6．若直線y＝x+1與曲線相切，則a的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．27．如圖所示，為平行四邊形對角線上一點，，若，則（）A. B. C. D.8.已知雙曲線左?右焦點分別為，過點作直線交雙曲線的右支于兩點，其中點在第一象限，且.若，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.4二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知復數z＝i（2+i），則（）A．＝﹣1﹣2i B．|z|＝5 C．z對應的點位于第二象限 D．z虛部為2i10．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，則下列結論正確的有（）A．拋物線C上一點M到焦點F的距離為4，則點M的橫坐標為3 B．過焦點F的直線被拋物線所截的弦長最短為4 C．過點（0，2）與拋物線C有且只有一個公共點的直線有2條 D．過點（2，0）的直線1與拋物線c交于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2＝﹣811.已知函數，則（）A.函數的增區間為B.函數的極小值為C.若方程有三個互不相等的實數根，則D.函數圖像關于點對稱12.下列命題中，正確的是（）A.已知隨機變量服從正態分布，若，則B.已知隨機變量的分布列為，則C.用表示次獨立重復試驗中事件發生的次數，為每次試驗中事件發生的概率，若，則D.已知某家系有甲和乙兩種遺傳病，該家系成員患甲病的概率為，患乙病的概率為，甲乙兩種病都不患的概率為.則家系成員在患甲病的條件下，患乙病的概率為三、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題：“?x∈N，x3＞x2”的否定是、14．已知的展開式中各項的二項式系數的和為128，則這個展開式中x3項的系數是．15．某中學舉行“唱響紅色主旋律，不忘初心跟黨走”的文藝活動．活動共有9個節目，其中高中部有4個參演節目，初中部有5個參演節目．根據節目內容，第一個節目一定是初中部的，且高中部的4個參演節目均不相鄰演出，則共有種不同的演出順序．（用數字回答）16．如圖，一個圓錐形物體的母線長為6，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為．則該圓錐形物體的底面半徑等于．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b＝2，c＝4．（1）若acosB＝（2c﹣b）?cosA，求△ABC的面積；（2）若A＝2B，求邊a．18．已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2n+1﹣2（n∈N+）．（1）求an；（2）已知_____，求數列{bn}的前n項和Tn．從下列三個條件中任選一個，補充在上面問題的橫線中，然后對第（2）問進行解答．條件：①bn＝（2n+1）an（n∈N+）；②；③bn＝（﹣1）n?log2a2n+1（n∈N+）．19．汕尾市陸河縣因盛產青梅，被譽為“中國青梅之鄉”．該縣某企業旗下的青梅產品深受廣大消費者的青睞．該企業產品分正品和次品兩種，每箱產品有200件，每件產品為次品的概率為0.1，且是否為次品相互獨立．近期該企業舉辦了“青梅節”抽獎活動和促銷活動．（1）“青梅節”抽獎活動，共有10張獎券，其中一等獎1張，每張價值500元；二等獎3張，每張價值100元；其余6張沒有獎勵、顧客A從10張獎券中隨機抽出2張．求顧客A獲獎的總價值X（單位：元）的分布列；（2）“青梅節”促銷活動，每箱產品交付給顧客前都要進行檢驗，每件產品的檢驗費為2元．若檢驗出次品，則要更換為正品（更換的產品無需再付檢驗費）．若因沒有檢驗導致次品流入顧客手中，每件流入顧客手中的次品，企業要向顧客支付25元的賠償費．現有以下兩種方案，請你以檢驗費與賠償費之和的期望值為決策依據，幫助企業決定應該選擇那種方案？方案一：從每箱200件產品中隨機抽查檢驗20件產品；方案二：對每箱200件產品進行逐一檢驗．20．如圖1所示，在凸四邊形ABCD中，，AB＝4，點E為AB的中點，M為線段AC上的一點，且ME⊥AB，沿著AC將△DAC折起來，使得平面DAC⊥平面BAC，如圖2所示．（1）證明：BC⊥AD；（2）求平面MDE與平面DEB所成銳二面角的余弦值．21．李華找了一條長度為8的細繩，把它的兩端固定于平面上兩點F1，F2處，|F1F2|＜8，套上鉛筆，拉緊細繩，移動筆尖一周，這時筆尖在平面上留下了軌跡C，當筆尖運動到點M處時，經測量此時，且△F1MF2的面積為4．（1）以F1，F2所在直線為x軸，以F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，求李華筆尖留下的軌跡C的方程（鉛筆大小忽略不計）；（2）若直線1與軌跡C交于A，B兩點，且弦AB的中點為N（2，1），求△OAB的面積．22．已知函數．（1）若函數f（x）在定義域上單調遞增，求實數a的取值范圍；（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，且，證明：|f（x1）﹣f（x2）|≤10ln2﹣6．參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．設集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，則A∩B＝（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{1，2}．故選：A．2．在等差數列{an}中，已知a3+a5+a7＝15，則該數列前9項和S9＝（）A．18 B．27 C．36 D．45解：由等差數列的性質可得：a3+a5+a7＝15＝3a5，解得a5＝5．則該數列的前9項和＝＝9a5＝45．故選：D．3．已知直線x+y＝0與圓（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2相切，則b＝（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．解：圓（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2的圓心坐標為（1，b），半徑為．由圓心到切線的距離等于半徑，得，∴|1+b|＝2，解得b＝1或b＝﹣3．故選：C．4．已知函數（x）＝sin（x+）（x∈R），下面結論錯誤的是（）A．函數f（x）的最小正周期為2π B．函數（x）在區間[0，]上是增函數 C．函數f（x）的圖象關于直線x＝0對稱 D．函數f（x）是偶函數解：對于函數（x）＝sin（x+）＝cosx（x∈R），它的最小正周期為2π，故A正確；顯然，函數（x）在區間[0，]上是減函數，故B錯誤；由于f（x）為偶函數，故它的圖象關于直線x＝0對稱，故C、D正確，故選：B．5．某校高三年級1班有45名學生，經初步計算，今年廣東一模數學考試全班平均分為70分，標準差為s，后來發現甲、乙兩名同學的成績錄入有誤，甲實際為60分，被誤錄入為50分，乙實際為40分，被誤錄入為50分更正后重新計算，得到全班數學成績的標準差為s1，則s與s2的大小關系為（）A．s＜s1 B．s＞s1 C．s＝s1 D．不能確定解：由題意可知，改動前后的平均分不變，還是70分，但是計算方差的時候，因為（50﹣70）2+（50﹣70）2＜（60﹣70）2+（40﹣70）2，所以s＜s1．故選：A．6．若直線y＝x+1與曲線y＝+a相切，則a的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2解：∵直線y＝x+1與曲線y＝f（x）＝+a相切，設切點為P（x0，y0），∴f′（x）＝（）＝＝1，∴lnx0＝1﹣，∴x0＝1，∴y0＝+a＝a＝x0+1＝2，故選：D．7．如圖所示，F為平行四邊形ABCD對角線BD上一點，＝，若＝x+y，則xy＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．解：∵＝，∴＝由圖可得：＝＝+＝+（）＝，則x＝，y＝，所以xy＝，故選：C．8．已知雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2作直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點，其中點A在第一象限，且|AF2|＝3|BF2|．若|AB|＝|AF1|，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．4解：設|BF2|＝x，因為|AF2|＝3|BF2|，則|AF2|＝3x，由雙曲線的定義可得|AF1|＝2a+3x，|BF1|＝2a+x，因為|AB|＝|AF1|?4x＝2a+3x?x＝2a，所以|BF2|＝2a，|AF2|＝6a，|AF1|＝8a，|BF1|＝4a，因為∠F1F2B+∠F1F2A＝π，所以cos∠F1F2B+cos∠F1F2A＝0，由余弦定理可得，即，解得．故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知復數z＝i（2+i），則（）A．＝﹣1﹣2i B．|z|＝5 C．z對應的點位于第二象限 D．z虛部為2i解：∵z＝i（2+i）＝﹣1+2i，∴＝﹣1﹣2i，∴||＝＝，∴A對B錯；復數z對應點坐標為（﹣1，2）在第二象限，∴C對；z的虛部為2，∴D錯．故選：AC．10．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，則下列結論正確的有（）A．拋物線C上一點M到焦點F的距離為4，則點M的橫坐標為3 B．過焦點F的直線被拋物線所截的弦長最短為4 C．過點（0，2）與拋物線C有且只有一個公共點的直線有2條 D．過點（2，0）的直線1與拋物線c交于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2＝﹣8解：拋物線C：y2＝4x的焦點為F（1，0），準線方程為x＝﹣1，對于A，設M的橫坐標為x0，則由拋物線的定義可得，MF＝x0+1＝4，解得x0＝3，故選項A正確；對于B，過焦點F的直線被拋物線所截的弦長最短為通徑長，又通徑長為2p＝4，故選項B正確；對于C，當直線的斜率不存在時，直線為x＝0，與拋物線有一個公共點；當直線與拋物線的對稱軸平行，即直線為y＝2時，與拋物線有一個公共點；當直線斜率存在且不為0時，設直線的方程為y＝kx+2，聯立方程組，可得k2x2+4（k﹣1）x+4＝0，則△＝16（k﹣1）2﹣16k2＝0，解得，此時直線方程為，與拋物線有一個公共點．綜上所述，過點（0，2）與拋物線C有且只有一個公共點的直線有3條，故選項C錯誤；設過點（2，0）的直線方程為x＝my+2，聯立方程組，可得y2﹣4my﹣8＝0，則y1y2＝﹣8，故選項D正確．故選：ABD．11．已知函數f（x）＝3x3﹣x+1，則（）A．函數f（x）的增區間為（﹣∞，﹣）∪（，+∞） B．函數f（x）的極小值為 C．若方程f（x）＝a有三個互不相等的實數根，則≤a≤ D．函數f（x）的圖像關于點（0，1）對稱解：f（x）＝3x3﹣x+1，f′（x）＝9x2﹣1，令f′（x）＞0，得x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0，得﹣＜x＜，所以f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，﹣），（，+∞），單調遞減區間為（﹣，），故A錯誤；f（x）極小值＝f（）＝3×（）3﹣+1＝，故B正確；f（x）極大值＝f（﹣）＝3×（﹣）3+＝1＝，作出f（x）的圖象：由圖可知f（x）＝a有三個互不相等的實數根，所以＜a＜，故C錯誤；f（0﹣x）＝f（﹣x）＝3（﹣x）3﹣（﹣x）+1＝﹣3x3+x+1，f（0+x）＝f（x）＝x3﹣x+1，所以f（0﹣x）+f（0+x）＝2，所以f（x）的圖象關于點（0，1）對稱，故D正確．故選：BD．12．下列命題中，正確的是（）A．已知隨機變量X服從正態分布N（1，σ2），若P（X≤0）＝0.2，則P（X＜2）＝0.8 B．已知隨機變量X的分布列為P（X＝i）＝（i＝1，2，3，?，100），則a＝ C．用X表示n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，P為每次試驗中事件A發生的概率，若E（X）＝50，D（X）＝30，則P＝ D．已知某家系有甲和乙兩種遺傳病，該家系成員A患甲病的概率為，患乙病的概率為，甲乙兩種病都不患的概率為．則家系成員A在患甲病的條件下，患乙病的概率為解：對于A：隨機變量X服從正太分布N（1，δ2），所以P（X≤0）＝0.2，所以P（0≤X≤1）＝0.5﹣0.2＝0.3，所以P（1≤X≤2）＝P（0≤X≤1）＝0.3，所以P（X＜2）＝0.5+0.3＝0.8，故A正確；對于B：由于已知隨機變量X的分布列為P（X＝i）＝（i＝1，2，3，?，100），所以P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）+...+P（X＝100）＝1，所以+++...+＝1，所以a[（1﹣）+（﹣）+...+（﹣）]＝1，所以a（1﹣）＝1，所以a＝，故B錯誤；對于C：因為隨機變量服從二項分布B（n，p），E（X）＝50，D（X）＝30，所以np＝50，np（1﹣p）＝30，解得p＝，故C正確；對于D：設甲乙兩種病都患的概率為p，﹣p+﹣p+p+＝1，解得p＝，所以家系成員A在患甲病的條件下，患乙病的概率為＝，故D正確，故選：ACD．三、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題：“?x∈N，x3＞x2”的否定是?x∈N，x3≤x2、解：由一個命題的否定的定義可知：改變相應的量詞，然后否定結論．故答案是?x∈N，x3≤x214．已知（2x﹣）n的展開式中各項的二項式系數的和為128，則這個展開式中x3項的系數是672．解：∵2n＝128，∴n＝7．∴（2x﹣）7的展開式的通項Tr+1＝??（2x）7﹣r＝27﹣r?（﹣1）r??x7﹣2r，令7﹣2r＝3，得r＝2，∴T3＝25?x3＝32×21＝672，故答案為：672．15．某中學舉行“唱響紅色主旋律，不忘初心跟黨走”的文藝活動．活動共有9個節目，其中高中部有4個參演節目，初中部有5個參演節目．根據節目內容，第一個節目一定是初中部的，且高中部的4個參演節目均不相鄰演出，則共有14400種不同的演出順序．（用數字回答）解：根據題意，分2步進行分析：①將初中部的5個節目全排列，有＝120種安排方法，②排好后，除去前端空位不可用，有5個空位可用，在其中任選4個，安排高中部的4個節目，有＝120種安排方法，則有120×120＝14400種安排方法，故答案為：14400．16．如圖，一個圓錐形物體的母線長為6，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為6．則該圓錐形物體的底面半徑等于．解：根據圓錐的側面展開圖：得知OA＝OB＝6，AB＝6，所以OA2+OB2＝AB2，所以∠AOB＝，設圓錐的底面半徑為r，所以6×＝2πr，解得r＝，故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b＝2，c＝4．（1）若acosB＝（2c﹣b）?cosA，求△ABC的面積；（2）若A＝2B，求邊a．解：（1）∵acosB＝（2c﹣b）?cosA，∴acosB+bcosA＝2ccosA，即sinAcosB+cosAsinB＝2sinCcosA，則sin（A+B）＝2sinCcosA，∵sin（A+B）＝sinC≠0，∴cosA＝，又∵A∈（0，π），∴A＝，則S△ABC＝bcsinA＝＝2．（2）∵A＝2B，∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB，即有a＝2bcosB，又∵cosB＝，∴＝，整理可得8a2＝4（a2+12），即a2＝12，解得a＝2．18．已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2n+1﹣2（n∈N+）．（1）求an；（2）已知_____，求數列{bn}的前n項和Tn．從下列三個條件中任選一個，補充在上面問題的橫線中，然后對第（2）問進行解答．條件：①bn＝（2n+1）an（n∈N+）；②bn＝（n∈N+）；③bn＝（﹣1）n?log2a2n+1（n∈N+）．解：（1）根據題意，當n＝1時，有a1＝22﹣2＝2；當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣（2n﹣2）＝2n，又a1＝2滿足上式，所以an＝2n；（2）若選擇條件①：由（1）可知an＝2n；所以bn＝（2n+1）?an＝（2n+1）?2n，所以Tn＝b1+b2+…+bn＝3×21+5×22+…+（2n+1）×2n；2Tn＝3×22+5×23+…+（2n+1）×2n+1，兩式相減得﹣Tn＝6+2（21+22+…+2n）﹣（2n+1）?2n+1＝6+2×﹣（2n+1）?2n+1，即﹣Tn＝6﹣2×（4﹣2n+1）﹣（2n+1）?2n+1＝﹣2﹣（2n﹣1）?2n+1，所以Tn＝（2n﹣1）?2n+1+2；若選擇條件②：由（1）可知an＝2n；所以bn＝＝＝﹣（n∈N+），所以Tn＝b1+b2+…+bn＝（﹣）+（﹣）++（﹣）＝1﹣；若選擇條件③：由（1）可知an＝2n；所以bn＝（﹣1）n?log2a2n+1＝（﹣1）n?（2n+1），所以當n為偶數時，Tn＝（b1+b2）+（b3+b4）+…+（bn﹣1+bn），即Tn＝（﹣3+5）+（﹣7+9）+…+[﹣（2n﹣1）+（2n+1）]＝2×＝n；當n為奇數時，Tn＝b1+（b2+b3）+（b4+b5）+…+（bn﹣1+bn），即Tn＝（﹣3）+（﹣2）+（﹣2）++（﹣2）＝3+（﹣2）×＝﹣n﹣2，綜上所述，Tn＝（n∈N+）．19．汕尾市陸河縣因盛產青梅，被譽為“中國青梅之鄉”．該縣某企業旗下的青梅產品深受廣大消費者的青睞．該企業產品分正品和次品兩種，每箱產品有200件，每件產品為次品的概率為0.1，且是否為次品相互獨立．近期該企業舉辦了“青梅節”抽獎活動和促銷活動．（1）“青梅節”抽獎活動，共有10張獎券，其中一等獎1張，每張價值500元；二等獎3張，每張價值100元；其余6張沒有獎勵、顧客A從10張獎券中隨機抽出2張．求顧客A獲獎的總價值X（單位：元）的分布列；（2）“青梅節”促銷活動，每箱產品交付給顧客前都要進行檢驗，每件產品的檢驗費為2元．若檢驗出次品，則要更換為正品（更換的產品無需再付檢驗費）．若因沒有檢驗導致次品流入顧客手中，每件流入顧客手中的次品，企業要向顧客支付25元的賠償費．現有以下兩種方案，請你以檢驗費與賠償費之和的期望值為決策依據，幫助企業決定應該選擇那種方案？方案一：從每箱200件產品中隨機抽查檢驗20件產品；方案二：對每箱200件產品進行逐一檢驗．解：（1）X的所有可能值為0，100，200，500，600，，，，，，∴獎品總價值X的分布列為X0100200500600P（2）設檢驗費用與賠償費用之和為W，當選擇方案一時，設剩下的180件產品中，次品數為ξ，由題意可得，ξ～B（180，0.1），∴E（ξ）＝180×0.1＝18，∴W＝40+25×18＝490，當選項方案二時，W＝2×200＝400，由于400＜490，故選方案二．20．如圖1所示，在凸四邊形ABCD中，∠ACB＝∠ADC＝，∠DAC＝∠CAB＝，AB＝4，點E為AB的中點，M為線段AC上的一點，且ME⊥AB，沿著AC將△DAC折起來，使得平面DAC⊥平面BAC，如圖2所示．（1）證明：BC⊥AD；（2）求平面MDE與平面DEB所成銳二面角的余弦值．【解答】（1）證明：如圖，∵平面DAC⊥平面BAC，且平面DAC∩平面BAC＝AC，BC?平面BAC，且BC⊥AC，∴BC⊥平面DAC，而AD?平面DAC，∴BC⊥AD；（2）解：以C為原點，分別以CA、CB所在直線為x、y軸建立空間直角坐標系，在圖1中，∵∠ACB＝∠ADC＝，∠DAC＝∠CAB＝，AB＝4，∴BC＝2，AC＝，CD＝，CM＝AC﹣AM＝，∴M（，0，0），E（，1，0），B（0，2，0），D（，0，），∴，，．設平面MDE的一個法向量為，由，取z1＝1，可得；設平面DEB的法向量為，由，取x2＝1，得．設平面MDE與平面DEB所成銳二面角為θ，則cosθ＝．故平面MDE與平面DEB所成銳二面角的余弦值為．21．李華找了一條長度為8的細繩，把它的兩端固定于平面上兩點F1，F2處，|F1F2|＜8，套上鉛筆，拉緊細繩，移動筆尖一周，這時筆尖在平面上留下了軌跡C，當筆尖運動到點M處時，經測量此時∠F1MF2＝，且△F1MF2的面積為4．（1）以F1，F2所在直線為x軸，以F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，求李華筆尖留下的軌跡C的方程（鉛筆大小忽略不計）；（2）若直線1與軌跡C交于A，B兩點，且弦AB的中點為N（2，1），求△OAB的面積．解：（1）設橢圓的標準方程為，由橢圓的定義知2a＝8，故a2＝16．∵在Rt△F1MF2中，|F1F2|＝2c，假設|MF1|＝x，|MF2|＝y（x，y＞0），又∵△F1MF2的面積為4cm2，，故4c2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝48，∴c2＝12，b2＝a2﹣c2＝4，∴橢圓