拋物線知識精講一、知識提要：1.拋物線的定義：平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫拋物線的焦點，直線l叫拋物線的準線。2.拋物線的標準方程：〔1〕頂點在原點，焦點在x軸正半軸上：y2=2px，〔p>0〕。〔2〕頂點在原點，焦點在x軸負半軸上：y2=－2px，〔p>0〕。〔3〕頂點在原點，焦點在y軸的正半軸上：x2=2py，〔p>0〕。〔4〕頂點在原點，焦點在y軸負半軸上，x2=－2py，〔p>0〕。3.拋物線的幾何性質：〔1〕焦點在x軸正半軸上的拋物線y2=2px，〔p>0〕的幾何性質：①范圍：x≥0，y∈R。②對稱性：圖形關于x軸對稱。③頂點：0〔0，0〕。④離心率：e=1。說明：其實從圖形上就可以反映前三條性質，下面列表給出四種形式的性質：二、典型例題分析例1.選擇題：〔1〕.拋物線y=ax2〔a≠0〕的焦點坐標是〔〕解：可知拋物線的焦點在y軸上。∴，∴選C.〔2〕.經過點P〔4，－2〕的拋物線的標準方程為〔〕解：∵點P〔4，－2〕在第四象限。∴拋物線的標準方程為：y2=2px，〔p>0〕或x2=－2py，〔p>0〕將點P〔4，－2〕代入方程。〔－2〕2=8p1或42=4p2∴所求拋物線的標準方程為：y2=x或x2=－8y∴選C。總結:經過一點的拋物線標準方程有兩種情況，要注意分類求解。〔3〕.過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，如果x1+x2=6，那么|AB|的值為〔〕A.10 B.8 解：∵y2=4x∴2p=4，p=2。∴由拋物線定義知：|AF|=x1+1，|BF|=x2+1∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6+2=8∴選B。總結：設稱HyxOHyxOBAPF這是拋物線的焦半徑公式。設當，這是拋物線的焦點弦公式；當，所以，這是拋物線的通徑公式。〔4〕.過點A〔0，p〕且與拋物線y2=2px(p>0)只有一個公共點的直線會有〔〕A.1條 B.2條 C.3條 D.無數條解：①當直線的斜率不存在時，那么過點A〔0，p〕的直線恰為y軸，此時拋物線與直線只有一個公共點。②當過A〔0，p〕的直線斜率存在時，設方程為y=kx+p∴選C。總結：直線與拋物線只有一個公共點有兩種情況，一種是直線與拋物線相交，此時，直線與拋物線對稱軸平行：另一種是直線與拋物線相切，些時，判別式等于零。例2、填空題〔1〕.(2010年天津)雙曲線方程，它的一個焦點與拋物線的焦點相同，那么雙曲線的方程為。解析：由可得因為拋物線的焦點為所以，所以所求雙曲線方程為。-1HHPFO〔4〕.〔2009年四川高考〕直線-1HHPFO解析：直線為拋物線的準線，所以動點P到的距離可轉化為動點P到點F〔1，0〕的距離，如圖：所求距離之和為當P,F,H三點在一直線上時，最小，最小值為例3．x2x21OQKP-2Ay如圖，設動圓P的半徑為，作PK垂直于直線，垂足為K，PQ垂直于直線垂足為Q，那么故點P到圓心A(-2,0)的距離和到定直線的距離相等，所以點P的軌跡為拋物線，為8x.例4.直線l：y=kx+1，拋物線C：y2=4x，當k為何值時，l與C相切、相交、相離。解：〔1〕當Δ=0時，即k=1時，l與C相切。〔2〕當Δ>0時，即k<1時，l與C相交。〔3〕當Δ<0時，即k>1時，l與C相離。當k=0時，l：y=1與y2=4x相交。注：直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要但不充分條件。例5.頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線被直線x－2y－1=0截得的弦長為解：依題意設拋物線方程為：x2=ay〔a≠0〕，∵直線與拋物線有兩個交點。設直線與拋物線的兩個交點坐標為A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕∴所求拋物線方程為x2=－4y或x2=12y。例6.在拋物線y2=2x上求一點P，使P到焦點F與到點A〔3，2〕的距離和最小。解：由拋物線定義知：|PF|=|PQ|∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|顯然當P、Q、A三點共線時，|PQ|+|PA|最小。∵A〔3，2〕，∴設P〔x0，2〕代入y2=2x得x0=2，∴P〔2，2〕。例7.在拋物線y=4x2上求一點，使這點到直線y=4x－5的距離最短。解法一：設拋物線上任意一點坐標為P〔x，4x2〕，那么點P到直線y=4x－5的距離是：解法二：由數形結合可知，所求點應為與直線y=4x－5平行且與拋物線y=4x2相切時的切點。設平行于直線y=4x－5的切線為y=4x+b。∵直線與拋物線相切，例8.某遂道橫斷面由拋物線及矩形的三邊組成，尺寸如下圖。某卡車空車時通過，現載一集裝箱，箱寬3米，車與箱高共4.5米，此車能否通過遂道？并說明理由。解：取隧道橫斷面拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系。方程：x2=－2py，〔p>0〕。依題意A〔3，－3〕在拋物線上，∴9=－2p·〔－3〕又∵車與箱共高4.5米，∴過頂部且平行x軸的直線方程為∴這時卡車不能通過遂道。例9．〔2010年福建高考〕拋物線〔1〕求拋物線C的方程，并求其準線方程。〔2〕是否存在平行于OA〔O為坐標原點〕的直線，且直線與的距離等于，假設存在，求出直線的方程，假設不存在說明理由。解：〔1〕將〔1，2〕代入故所求雙曲線方程為。〔2〕假設存在符合條件的直線，其方程為，由得，解得。另一方面，由直線。例10．〔2009江蘇高考〕如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C的頂點在原點，經過點A〔2，2〕其焦點F在x軸上。〔1〕求其拋物線的方程。〔2〕過點F且與OA垂直的直線方程。〔3〕設過點M〔m,0〕(m>0)的直線與拋物線C相交于D，E兩點，解：〔1〕由題意可設拋物線C的方程為，因為點A〔2，2〕在拋物線C上，所以，所為拋物線C的標準方程為。〔2〕由〔1〕可得點F的坐標是，又直線OA的斜率為，故直線OA垂直的直線的斜率為-1，因此所求直線方程為。11EE11EEOMDA所以，于是。例11．拋物線上有三點，且，假設線段AB，BC在x軸上的射影長相等，求證：A，B，C三點到焦點的距離順次成等差數列。證明：依題意有,即成等差數列，由焦半徑公式得，，，，，，。所以成等差數列。例12．拋物線，求證：證明：由可得焦點F的坐標為〔1，0〕，設直線AB的方程為令，又因為，，所以。例13．三角形ABC的兩個頂點A〔-2，0〕，B〔0，-2〕，第三個頂點在拋物線。解：設，由重心坐標公式得，，，即。所以所求的軌跡是以。為的14．拋物線求AB中點M的軌跡方程。解：設，那么，兩式相減得，,;當適合上式。綜上所述，AB中點M的軌跡方程為。例15．拋物線求解：設y=,,,,所以的取值范圍是。三、模擬試題。1.頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線截直線y=2x－4所得的弦長|AB|，求此拋物線的方程。2.在拋物線y2=x上求一點，使它到直線x－2y+4=0的距離最小。3.假設點F是拋物線y2=2x的焦點，點A〔2，1〕，點P在拋物線上動，當|PA|+|PF|最小時，求點P的坐標。4.〔2001年高考題〕設拋物線y2=2px，〔p>0〕的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸，求證：直線AC經過原點O。CC試題答案1.分析：研究直線與拋物線的弦長問題，通常不求弦的端點坐標。而是由方程組一元二次方程有兩個實根，再由韋達定理解答，弦長公式：解：設所求拋物線方程為：y2=ax〔a≠0〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕由又∵∴∴a=4或a=－36。∴所求拋物線方程為：。