/合作探究探究點(diǎn)1弧長(zhǎng)公式

知識(shí)講解

如果弧長(zhǎng)為l,圓心角度數(shù)為n°,Z圓的半徑為R,那么

在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中,n是表示10的圓心角的倍數(shù),n和180都不要帶單位.

(2)假設(shè)圓心角的單位不全是度,那么需先化為度后再計(jì)算弧長(zhǎng).(3)題設(shè)未標(biāo)明精確度的,可以將弧長(zhǎng)用π表示.(4)正確區(qū)分弧、弧的度數(shù).弧長(zhǎng)三個(gè)概念,度數(shù)相等的弧,弧長(zhǎng)不定相等,弧長(zhǎng)相等的弧不定是等弧,只有在同圓或等圓中,才有等弧的概念,才是三者的統(tǒng)一.典例剖析例1如右圖所示為一彎形管道,其中心線是一段圓弧.

半徑OA=60cm,∠AOB=1080,那么管道的長(zhǎng)度(即的長(zhǎng))為多少?

(結(jié)果保存π)

解析直接運(yùn)用弧長(zhǎng)公式求解.答案設(shè)的長(zhǎng)為lcm,∵R=60cm,n=1080,∴∴管道的長(zhǎng)度為.類題突破1如下列圖.Rt△ABC中,∠ACB=90°∠B=300.AC=1,假設(shè)以A為圓心、AC為半徑的弧交斜邊AB于點(diǎn)D.那么的長(zhǎng)為A.B.C.D.

答案B

點(diǎn)撥直接利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算.

探究點(diǎn)2(高頻考點(diǎn))扇形及其面積公式知識(shí)講解

(1)扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形。

(2)扇形的面積公式:

設(shè)圓的半徑為R,圓心角是n0的扇形面積為S扇形.那么

(其中l(wèi)為扇形的孤長(zhǎng))典例剖析

例2如圖,兩個(gè)同心圓被兩條半輕截得的的長(zhǎng)為5,的長(zhǎng)為7π,AC=4.求陰影局部的面積。解析陰影局部的面積等于兩個(gè)扇形的面積之差.

答案設(shè)圓心角為n0,大圓與小的半徑分別是為R1,R2那么即陰影局部的面積為24.類題突破2如圖,扇形OAB的圓心角為900,分別以O(shè)A,OB為直徑在扇形內(nèi)作半圓,P和Q分別表示兩個(gè)陰影局部的面積,那么P和Q的大小哦關(guān)系怎樣？答案設(shè)兩個(gè)半圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C,如圖,扇形OAB的半徑為R,那么P=S扇形OAB-2S平面OCA+Q=∴P和Q相等.

點(diǎn)撥假設(shè)出扇形的半徑,再表示出半圓面積和扇形的面積,即可找到兩局部面積間的關(guān)系.探究3〔高頻考點(diǎn)〕圓錐的側(cè)面積和全面積知識(shí)講解

(1)連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓維的母線,連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫做圓錐的高.

(2)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng),扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)。

(3)圓錐的全面職=圓錐的側(cè)面積+底面積.

注意(1圓錐的母線長(zhǎng)與展開后所得扇形的半徑相等。圓錐的底面周長(zhǎng)與展開后所得扇形的弧長(zhǎng)相等。典例剖析

例3有一直徑為m的圓形紙片,要從中剪出一個(gè)最大的圓心角是900的扇形ABC(如圖).

(1)求被剪掉的陰影局部的面積.

(2)用所留的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐,該圓錐的底面圓的半徑是多少?

(3)求圓錐的全面積.

解析陰影局部的面積是圓的面積減去一個(gè)圓心角為900的扇形的面積,解題關(guān)鍵是要求出扇形的半徑。由弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)可求出半徑,

答案(1)如圖。連接BC.

∵∠A=90°.∴BC為⊙0的直徑.

在Rt△ABC中,AB=AC.且AB2+AC2=,∴AB=AC=1.

⊙.

(2)設(shè)圓錐的底面半徑為r.那么BC的長(zhǎng)為2r.∴

(3)類題突破3

如圖,一個(gè)圓錐形糧倉(cāng)頂蓋,底面半徑為5m,圓錐高為5m,要用鐵皮做糧倉(cāng)頂蓋,需用多少鐵皮?

答案根據(jù)題意,得0C=5,AC=5,在Rt△OCA中,

又圓錐底面周長(zhǎng)為2π·5=10π(m),即扇形OAB的弧長(zhǎng)為10πm.

∴S扇形=.答:需要鐵皮50πm2.

點(diǎn)撥

首先求出圓錐的母線長(zhǎng),再利用圓錐的側(cè)面積公式求出即可.重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)1

弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用

(1)在半徑是R的圓中,因?yàn)?600的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng)C=2R.所以10的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是,即,所以n0的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為.

(2)在弧長(zhǎng)公式中,n表示10的圓心角的倍數(shù),n和180都不帶單位“0〞,例如：圓的半徑為20cm,計(jì)算300的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)時(shí),不要錯(cuò)寫成.

(3)圓心角的單位假設(shè)不全是“0〞,那么一定要先化為“0〞,例如:35015,必須化成,,再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算.

(4)對(duì)于公式中出現(xiàn)的三個(gè)量l.n,R.只要知道其中的兩個(gè)量,就能求出第三個(gè)量,

例1(1)如下列圖,在△ABC中,∠ACB=90°∠B=15°,以C為圓心、CA長(zhǎng)為半徑的圓交AB于點(diǎn)D.假設(shè)AC=6.求的長(zhǎng)；

(2)一圓弧的圓心角為3000,它所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑為6cm的圓的周長(zhǎng),求該弧所在的圓的半徑。

解析(1)要求弧長(zhǎng),必須知道半徑和該弧所對(duì)的圓心角的度數(shù),由題意知,只需求出∠ACD的度數(shù)即可,

(2)此題考查弧長(zhǎng)公式的靈活達(dá)用,n=300,l=26,將弧長(zhǎng)公式變形求半徑R即可.

答案(1)如圖,連接CD.

∵∠B=15°,∠ACB=90°,∴∠A=750.又∵CA-=CD.∴∠CDA=∠A=750.∴∠DCA=180°-2∠A=300,∴的長(zhǎng)=.

(2)設(shè)該弧所在的圓的半徑為R,

由題意得.

∴R=7.2(cm).規(guī)律總結(jié)

(1)在進(jìn)行弧長(zhǎng)的有關(guān)計(jì)算時(shí),常作出該弧所對(duì)的圓心角。

(2)弧長(zhǎng)公式中的三個(gè)量l,n.R,知道其中任意兩個(gè)量,就可以求出第三個(gè)量。注意n參與計(jì)算時(shí)不帶單位,1與R單位要一致.類題實(shí)破1如圖,⊙O1分別與⊙0的、半徑OA,OB相切于點(diǎn)E,C,D,∠AOB=600,的長(zhǎng)為4π,求的長(zhǎng),答案如圖,連接O1C.O1D.OE.∵OA.OB分別切⊙01于C.D.∴01C⊥OA.O1D⊥OB.

∴∠C01D=3600-∠01CO-∠01DO-∠AOB=3600-900-900-600=1200.∴所對(duì)的圓心角為2400.

又OE經(jīng)過點(diǎn)O1.且OE平分∠AOB,設(shè)⊙O的半徑為R.⊙O1的半徑為r.

在Rt△O1OC中.∠010C=300.∴001=201C.∴OE=301C,即R=3r.由弧長(zhǎng)公式得,解得R=12,∴r=4,∴的長(zhǎng)為.

點(diǎn)撥要計(jì)算的長(zhǎng),必須先求出它所對(duì)的圓心角的度數(shù)及⊙01的半徑.規(guī)律總結(jié)

(1)連接圓心和切點(diǎn)構(gòu)造直角三角形。能把未知量和量聯(lián)系起來(lái).

(2)連接兩圓的連心線是常見的輔助線.重難點(diǎn)2利用扇形面積公式求陰影圖形面積問題注意與弧長(zhǎng)公式加以區(qū)別和聯(lián)系.扇形面積公式與弧長(zhǎng)公式可以由聯(lián)系在一起.

(2)-些求陰影面積問題,常常用割補(bǔ)法,把不規(guī)那么圓形轉(zhuǎn)化為規(guī)那么的圓形來(lái)求面積.

例2沈陽(yáng)市某中學(xué)舉辦校園文化藝術(shù)節(jié),小穎設(shè)計(jì)了同學(xué)們喜歡的圖案“我的寶貝〞如下列圖所示,圖案的一局部是以斜邊長(zhǎng)為12cm的等腰直角三角形的各邊為直徑作半圓,那么圖中陰影局部的面積為

A.31πcm2

B.72πcm2

C.36cm2

D.72cm2解析一個(gè)陰影局部的面積是以AC為直徑的半圓減去弓形AMC的面積,AC=.AC為直徑的半圓面積為,而.∴一個(gè)陰影局部的面積為.答案C方法提示月牙形面積是以AC為直徑的半圓面積減去弓形AMC的面積〔弓形AMC即與弦AC圍成的圖形〕.求弓形AMC的面積時(shí)。可用扇形OAC的面積減去Rt△AOC的面積。類題突破2如下列圖,扇形OAB中,半徑OA=6cm,點(diǎn)C是OB的中點(diǎn),∠AOB=1200,求陰影局部的面積。答案如圖,過點(diǎn)C作CD⊥AO,交AO的延長(zhǎng)線于D,∵OA=OB=6cm,C為OB的中點(diǎn),∴OC=3cm.∵∠AOB=1200,∴∠COD=600,∠OCD=300.∴在Rt△CDO中,OD=OC.CD=.∴S△AOC=AO·CD=.又∵S扇形OAB=.∴S陰影=S扇形OAB-S△AOC=答：陰影局部的面積為.點(diǎn)撥要求陰影局部的面積,由于圖形不規(guī)那么,可轉(zhuǎn)化為兩規(guī)那么圖形的面積之差,即S陰影=S扇形OAB-S△AOC方法提示

組合圖形的面積計(jì)算,應(yīng)根據(jù)圖形結(jié)構(gòu),把不規(guī)那么圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)那么圖形的和或差,再進(jìn)行計(jì)算,一般情況下,S弓形=S扇形-S三角形,有時(shí)一個(gè)圖形中的陰影是幾個(gè)或幾種圖形的組合,要注意圖形的分割與組合.重難點(diǎn)3求圓錐的側(cè)面積問題

(1)①圓錐的側(cè)面展開圖；沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平.其側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形,如右圖所示,②圓錐側(cè)面積的計(jì)算;在圓錐的側(cè)面展開圖中,其半徑等于圓錐的母線長(zhǎng),弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng),設(shè)圓維的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,那么它的側(cè)面積和全面積分別為:

S圓=圓錐的全面積就是側(cè)面積再加上底面圓的而積

例3一個(gè)圓錐的高是10cm,側(cè)面展開圖是半圓,求圓錐的側(cè)面積

解析要求圓錐的側(cè)面積,需知側(cè)面展開圖的半徑和孤長(zhǎng)(圓錐底面圓的周長(zhǎng)).由于側(cè)面展開圖是半圓,可得圓錐母線長(zhǎng)與底面圓半徑之間的關(guān)系,二者與圓錐的高可利用勾股定理,整體得底面半徑的平方,代入公式即可.

答案設(shè)圓錐的底面半徑為r.母線長(zhǎng)為1.因?yàn)閳A錐的高為10cm,所以l2-r2=100.又因?yàn)閭?cè)面展開圖是半圓.所以S扇形-S圓,即,所以l=2r,把l=2r代入到l2-r2=100,得r2=,所以圓錐的側(cè)面積方法提示

由“側(cè)面展開圖是半圓〞,得1=2r,因此S側(cè)=πrl=2πr2,問題轉(zhuǎn)移到求r2,而r2的求解恰好利用勾股定理解決,把r2視為整體,先整體求出,后整體代入,這是一種數(shù)學(xué)思想。

類題突破3圓錐底面圓的半徑為6cm,高為8cm,那么轉(zhuǎn)化圓錐的側(cè)面積為

A.48cm2

B.48πcm2

C.120πcm2

D.60πcm2

答案D

點(diǎn)撥先求出園錐的母線長(zhǎng)為,所以.易錯(cuò)指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn)1在計(jì)算圓錐的側(cè)面積時(shí),混淆底面圓的半徑和側(cè)面展開扇形的半徑導(dǎo)致錯(cuò)誤

例1

圓錐的側(cè)面展開圖(即扇形)的圓心角為1800,圓錐的底面積為15cm2,求圓錐的側(cè)面積.

錯(cuò)解設(shè)圓錐的底面半徑為r,由S底=15得πr2=15,∴r2=.那么=7.5(cm2).錯(cuò)因分析

錯(cuò)解在于誤把底面半徑當(dāng)成了側(cè)面展開圖(即扇形)的半徑了。正解設(shè)圓錐的底面積半徑為r,扇形的半徑為R,那么有

,

糾錯(cuò)心得在解決有關(guān)圓錐及其側(cè)面展開圖的問題時(shí),一定要認(rèn)真審題,分清兩個(gè)角(圓錐軸截面的頂角和側(cè)面展開圖的圓心角)及兩個(gè)半徑(圓錐的底面半徑和側(cè)面展開圖的半徑),解題時(shí)最好是將圓錐的軸截面、底面和側(cè)面展開圖同時(shí)畫出來(lái).易錯(cuò)點(diǎn)2弧長(zhǎng)公式掌握不好導(dǎo)致出錯(cuò)例1扇形