絕密★啟用前

2021年高考數學模擬考場仿真演練卷(新高考)

第三模擬

本試卷共22題。全卷滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4=｛也產-7x-440｝,5=｛無料<3卜則408=()

A.(—2,3)B.(—2,3]C.15,2)D.——,3^

【答案】D

【分析】

先解不等式得到集合工、B,再利用集合的數軸表示求得AflB.

【詳解】

由2丁_71_4<0，即(2x+l)(x—4)W0,得一集合A=—；,4,

由國<3得爐<9,即—3<x<3,集合5=(-3,3),

「1、

由數軸表示可得，An^=--,3.

.27

故選：D.

-3?2?12_O1234

2

【點睛】

一元二次不等式求解要注意不等號方向及解集端點驗證，以避免出錯；數集運算借助數軸表示更為直觀.

2.在復平面內，向量明對應的復數是2+/,向量而對應的復數是一1一33則向量場對應的復數為()

A.1-2/B.-1+2/

C.3+4/D.-3-4/

【答案】A

【分析】

由向量對應的復數得到向量的坐標，根據向量間的線性關系求國的坐標，寫出其對應的復數即可.

【詳解】

由題意，屈=(—1,—3),麗=(2,1)，

CA=CB+BA=(-1,-3)+(2,1)=(1,-2)，

對應的復數為1一2、

故選：A.

3.若直線版+y=0被圓(x—2)2+y2=4所截得的弦長為2,則直線依+y=0任意一點尸與。(0,2)的

距離的最小值為()

A.1B.73C.&D.手

【答案】A

【分析】

設圓心到直線H+y=0的距離為d,根據點到直線距離公式，可得d的表達式，根據弦長為2,可得

2=24之一/,即可求得d值，進而可得左值，所求等價為求點(0,2)到直線丘+y=°的距離，代入公

式，即可得答案.

【詳解】

根據題意，圓(x-2『+y2=4的圓心為(2,0),半徑為2,設圓心到宜線丘+y=0的距離為d,則

若直線依+y=0被圓(x—2y+y2=4所截得的弦長為2,則2=244_°2,

所以1+〃2=4,又d>0,解得d=小，

所以d==G解得k=±布，

Jl+公

直線區+y=0任意一點p與(2(0,2)的距離的最小值即求點(0,2)到直線y=0的距離

_|2|_

d'=1.

J1+改2

所以直線kx+y=0任意一點p與Q(0,2)的距離的最小值為1

故選：A.

4.設｛a”｝為等比數列,｛瓦｝為等差數列,且4=0,cn=an+b?,若數列｛c,,｝是1,1,2....則數列匕,｝的前

10項和為()

A.978B.557C.467D.979

【答案】A

【分析】

設等比數列｛%,｝的公比為q,等差數列仍〃｝的公差為/由金=。”+兒列出方程組，求出數列的通項公式，利

用分組求和法可得數列｛金｝的前10項和.

【詳解】

設等比數列｛為｝的公比為q,等差數列｛瓦｝的公差為d.

a｝+by-1

-C"=a〃+bni?**a,+b,—1

a3+4=2

q=]

解得，d=-\,Zc?=2nl+(1-M).

(7=2

..,1-21010x(0-9)

｛以｝的前10項和r為------+——i——L=978.

1-22

故選：A

5.下列選項錯誤的是()

A.命題“若存1,則N—3X+2,0”的逆否命題是“若N—3X+2=0,則X=1"

B.“x>2”是“/-3X+2>0”的充分不必要條件

C.若“命題p：DxD/?,x2+x+l/0,\則“一>p：Elxo口旦/2+回+]=0，，

D.若“pUg”為真命題，則p,g均為真命題

【答案】D

【分析】

對于A,由逆否命題的定義判斷即可：對于B,利用充分條件和必要條件的定義判斷即可；對于C,全稱命

題否定為特稱命題；對于D,由“pg”為真命題，可得p、q中至少有一個為真命題

【詳解】

解：對于A,命題“若印,則x2—3x+2知”的逆否命題是“若x2—3x+2=0,則x=l"，所以A正確;

對于B,當x>2時，3x+2>0成立，而當31+2>0時，x>2或％<1,所以“x>2”是“一-3x+2>0”的

充分不必要條件，所以B正確；

2

對于C,由命題p：xR,N+x+l/），可得-'p：xo：R,x0+xo+l=O,所以C正確；

對于D,若“pUg”為真命題，則p、g中至少有一個為真命題，所以。錯誤.

故選：D.

6.函數f（x）=Asin（ox+。）（其中A〉0,co>0,lsl<］）的圖象如圖所示，為了得到“幻的圖象，只

需將g（x）=Asins:圖象（）

71

A.向左平*個單位長度B.向右平移一個單位長度

4

C.向左平移白個單位長度D.向右平移二個單位長度

12

【答案】C

【分析】

根據圖象最值可得A=l,求出周期，即可得出①，將王,0代入可求得9,即可得出結論.

【詳解】

根據函數/（x）=Asin（a>x+。）（其中A〉O,<y>0,lek5）的圖象,

-z..IT5左乃1口「IT2：.(0=—=3

可r得HA=1,-T=-----=一，即T=一,2

412463-

3

將(2'°］代入，可得/(￡)=sin(3x￡+e)=0,

JI3兀

則3x—+°=k兀、keZ、(p-kji----,keZ,

44

7T7T7t

又lel<一,:.(p=—,故/(x)=sin(3x+—).

244

jrTT

故把g(x)=sin3x圖象向左平移看個單位長度，即可得到/(x)=sin(3x+^)的圖象.

I44

故選：C.

【點睛】

方法點睛：根據三角函數f(x)=Asin(a)x+0)部分圖象求解析式的方法：

(1)根據圖象的最值可求出A；

(2)求出函數的周期，利用T=2三求出口；

CD

(3)取點代入函數可求得9.

7.如圖，在平面四邊形NBCZ)中，AB±BC,AD±CD,ABAD^120\AB^AD,若點E為邊8上的

動點，則通.布的最小值為()

【答案】A

【分析】

連接8D取/。中點為。，設詼=/友(Owrwi),從而可得通.施=(而+函?(而+函，利用

33

向量數量積的定義得出AE.BE=y2-(()</<!),配方即可求解.

【詳解】

連接BDMAD中點為O,

可知△AB。為等腰三角形，而43_LBC,Ar)_LC￡>,

所以△BCO為等邊三角形，BD二小,

設瓦之友(0W/W1)

AEBE

=(AD+DE)(BD+DE)

^ADBD+DE(AD+BD)+DE

3-------*2

=-+BDDE+DE

2

=3r2--r+-(O<r<l)

22

所以當/=工時，上式取最小值21,

416

故選：A.

8.若存在一個實數f,使得尸(?)=/成立，則稱f為函數尸(x)的一個不動點，設函數g(x)=x2+(1

-a)x-a(aR),定義在H上的連續函數/(x)滿足/(-x)+f(x)=N,且當爛0時，f(x)<x.若

存在迎口加/(無)丁(1-x)+x},且xo為函數g(x)的一個不動點，則實數。的取值范圍為()

A.(-oo,-2)□(2,+oo)B.[0,+oo)

C.(-00,-4]U[0,+oo)D.R

【答案】C

【分析】

不妨令/(x)=；/-心根據題意可得g(x)=/+(1-a)x-a=x存在不大于■的不動點，即

存在不大于工的解，構造新函數，利用導數進行求解即可.

x+12

結合導數

【詳解】

解：□函數/(x)滿足/(-X)+/-(x)=x2,且當爛0時，/(x)<x.

不妨令/（X）=-1-A-2-X,

貝！J/'(x)H—>f'(1-x)+x可化為：—X2-x+—>—(1-x)2-(1-x)+x,

2222

解得：x<-,

2

即g(x)=N+(1-4)存在不大于g的不動點，

21

即一r匚=a存在不大于-的解，

x+12

X2X2+2x

令h(x)=----則出(X)=

x+1(X+l)2

當x<-2時，h'(x)>0,h(x)為增函數;

當-2<xV-I時，h'(x)<0,h(x)為減函數；

當-l<x<0時，h'(x)<0,h(x)為減函數；

當0Vx<L時，〃，a)>0,h(x)為增函數；

2

由/?(-2)=-4,h(0)=0,

故k(x)□(-8,-4]LI[0,+oo)?

即4口(-oo,-4]U[0,+oo)

故選：C.

【點睛】

關鍵點睛：理解題中定義，通過構造函數利用導數進行求解是解題的關鍵.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.以下關于概率與統計的說法中，正確的為()

A.某高中為了解在校學生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校三個年級的學生

中抽取一個容量為60的樣本.已知該校高一、高二、高三年級學生之比為6:5:4,則應從高二年級中抽取20

名學生

7

B.10件產品中有7件正品，3件次品，若從這10件產品中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為百

C.若隨機變量J服從正態分布N(l,b2),P(^<4)=0.79,則2)=0.42

D.設某學校女生體重》(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，根據一組樣本數據

（七,凹）。=1,2「-,〃），用最小二乘法建立的回歸方程為9=0.85%一85.71,若該學校某女生身高為170＜：01,

則可斷定其體重必為58.79kg

【答案】AB

【分析】

A：利用分層抽樣求解判斷；B：利用古典概型的概率求解判斷；C：由P（JW-2）=P（JN4）求解判斷;

D：根據回歸的意義判斷.

【詳解】

A：應從高二年級中抽取學生人數為■一--x60=20,故正確.

6+5+4

r]r]7

B：恰好取到1件次品的概率〃=與1=77,故正確.

Go15

C：因為尸（"24）=1-0.79=0.21,所以正（"4-2）=尸（_之4）=0.21.故錯誤.

D：不能斷定其體重必為58.79依.故錯誤.

故選：AB

10.如圖，點M是棱長為1的正方體A5CD-A4GA中的側面A￡QA上的一個動點（包含邊界），則

下列結論正確的是（）

A.存在無數個點/滿足。0LAR

B.當點M在棱0A上運動時，|肱4|+|又4|的最小值為、6+1

C.在線段AQ上存在點"，使異面直線4M與CO所成的角是30。

D.滿足|肱9=2|加〃|的點〃的軌跡是一段圓弧

【答案】AD

【分析】

根據空間線面關系，逐個分析判斷即可.

【詳解】

對A,若"在4。上，此時必有。0，的，證明如下：CO_L平面AD0A，

所以又A,。LA。，所以平面4。。，

所以A〃_LCM,所以A正確；

,旋轉面ADRA使之與面84。。共面,

連接A'q交DR于M，此時IMA\+\MBt\最短為4片，大小為“+2拒，故B錯誤,

當M在4。和交點處時，

此時直線B,M與CD所成的角即直線B[M與A4所成角,

此時此異面直線所成最小，其正切值為立，

2

即最小角大于30。，故不存在，即C錯誤，

對D,在面4)AA上建立直角坐標系，

設D(—g,0),*,0),設M(x,y),

由|MD|=2|MR|整理可得：x2+y2-^x+^=0,

根據解析式可得M的軌跡是圓的一部分，故D正確，

故選：AD.

【點睛】

本題考查了空間幾何體相關的線面關系，考查了線線垂直，異面直線所成角以及動點軌跡和最值問題，要

求較高的空間想象能力和轉化能力，屬于難題.

本題的關鍵有：

（1）轉化思想的應用，根據兩點之間線段最短求距離的最值：

（2）異面直線所成角的平行轉化法；

（3）建系利用解析幾何求動點軌跡.

22

11.已知雙曲線5—匕=1（。>0）的左、右焦點分別為月，瑪，以耳為圓心，耳工為半徑作圓交雙

6r3

7

曲線右支于點尸，cosNP6工=耳，則下列結論正確的是（）

A.雙曲線。的方程為之—.=1

33

B.雙曲線。的離心率為2

C.曲線y=ln（x—1）經過雙曲線。的一個焦點

D.焦點到漸近線的距離為3

【答案】BC

【分析】

根據雙曲線的定義，結合焦點三角形，使用余弦定理求得各參數值，從而對選項一一分析即可.

【詳解】

P為雙曲線右支上一點，

PFX—PF2=2a,乂F[F?=2c,PF{—2c,PF2=2c—2a.

cosZPF}工=:，由余弦定理可得cosNPFF、=花+叱42c-2a）=7,

8'22x2cx2c8

c=2。或3c=2。,又c>a,c=2a,

雙曲線的離心率e=2,選項B正確；

而02=儲+62,￡=3，a=l,c=2,u雙曲線C的方程為尤2一二=],選項A錯誤；

3

c=2,焦點坐標為（±2,0）,

be=b=43,選項D錯誤;

焦點到漸近線的距離為y/a2+b2

其右焦點在曲線y=ln(x—1)上，選項C正確.

故選：BC.

【點睛】

方法點睛：熟練使用雙曲線定義，結合余弦定理求出雙曲線參數，進而解決問題.

12.己知/(x)為定義在R上的奇函數，當xwR時，有=且當時，

/(X)=log2(X-5+/),下列命題正確的是()

A.”2019)+/(—2020)=0

B.函數/(x)在定義域上是周期為2的函數

C.直線丁=》與函數的圖象有2個交點

D.函數/(尤)的值域為(-1,(

【答案】AB

【分析】

根據/(X)的性質可判斷ABD的正誤，再根據性質可得函數的圖象，從而可判斷C的正誤，從而可得正確

的選項.

【詳解】

根據題意,當xeR時,有〃%+1)=-/(%),故/(尤+2)=—/(%+1)=/'(%),

故/(x)為R上的周期函數且周期為2,故B正確.

對于A,/(-2020)=-/(2020)=/(0)=0,而〃2019)=〃1)=-/(0)=0,

故“2019)+〃一2020)=0,故A正確.

(11、

因為當xe［0,l］時，/(x)=log,x--+-,

2\22,

此時/—5+5KI,故0氏/1(X)W1,

當1目1,2］時，=-/(^-1)=一1。8J

1

此時，1＜x--+-<

2-故wo,

222

故在［0,2］上，y（x）的值域為［-1』,因為“X）的周期為2,

故在H上有的值域為［-1,1］,故D錯誤.

根據函數的奇偶性和周期性，可得函數的圖象如圖所示：

故直線y=x與函數y（x）的圖象有3個交點，故c錯誤.

故選：AB.

【點睛】

結論點睛:一般地,如果R上的函數“X）滿足/（x+a）=—/（x）（a。。），則〃x）的周期為2a；如果

/0+。）=冗?"。0）’則”X）的周期為2狐

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知F是拋物線的焦點，M是。上一點，月0的延長線交）'軸于點N.若M為線段KV

的中點，貝！1|FN|=.

【答案】6

【分析】

利用中點坐標公式可求得點M的橫坐標，利用拋物線的定義可求得|月0|,由此可求得|EN|=2|網的值.

【詳解】

由拋物線C:y2=8x得P=4,所以拋物線的焦點尸的坐標為（2,0）.

因為M是線段FN的中點，點N在)’軸上，

所以根據中點坐標公式，得了“=帶0=1.

又因為點V在拋物線上，所以忻M=%+"f=3，|FN|=2|R0|=6.

故答案為：6.

【點睛】

方法點睛：拋物線定義的兩種應用：

(1)實現距離轉化，根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距高，因此，由

拋物線的定義可以實現點與點之間的距離與點到準線的距離的相互轉化，從而簡化某些問題；

(2)解決最值問題，在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉

化，即化折線為直線解決最值問題.

14.定義:(V—X—1)"=0%2"+耳元21+…+療"3+療中，把”,D；,...,D；T,。/叫

做三項式(d—x—l)"的〃次系數列(例如三項式的1次系數列是一I,T,按照上面的定義，該三項式的5

次系數列各項之和為.

【答案】-1

【分析】

結合所給新概念，令x=1運算即可得解.

【詳解】

令X=],則(1_1_1)5=4)+R+…+月0=_1,

所以該三項式的5次系數列各項之和為-1.

故答案為：-1.

15.已知函數/(x)=(sinau)2+gsin20x-gw>O,0eR),若/(x)在區間(乃,2不)內沒有極值點,

則①的取值范圍是.

【答案】I0,^u37

(16記

【分析】

69>k-L

由題設得了（犬）=乎$皿（20%-?），根據區間內沒有極值點，應用整體代入法列不等式得，8

k3或

69<—+—

216

692、2，H—3

Q1

且0<0W—,即可求①的范圍.

/攵72

gW—十—

216

【詳解】

立sin(2s—2)，

/(x)=(sina)x)~+—sinIcox--=-sin2?x--cos2d?x=

22224

冗乃兀

XW（兀,2兀）上2ox——GQCO兀——,4。乃——）,/（X）沒有極值點,

7444

7T7E7T7T7T7T7TiTT

2k兀----<1(071-----<4(071-----<215H——或2左萬+—<2(071-----<4(071-----<2女乃d-----,

2-4422442

(o>k-—(y>jt+-

88JI1

或，，而4GX--------(2(vx-----)=?乃且>0得：0<gW—，

/+3出+工442

216216

337

k=0,0<co<一或一(口W—.

16816

（337

故答案為：0,-O

16

【點睛】

關鍵點點睛：應用三角恒等變換化簡函數式，由區間內不存在極值點列不等式組求參數范圍.

16.如圖，在三棱錐A-8CO中，BC=CD=BD=2無，AB=AC=AD=2a,若該三棱錐的側面積

是底面積的6倍，則該三被錐外接球的表面積為.

A

【答案】12萬

【分析】

取8C邊的中點E,△BCD外接圓的圓心為尸，三棱錐A—88外接球球心為。，求出斜高，從而得側

面積和底面積，由已知求得。，確定。在A尸延長線上，利用勾股定理求得外接球半徑可得球表面積.

【詳解】

如圖，取8c邊的中點E,△BCO外接圓的圓心為F,三棱錐4—88外接球球心為0.如圖所示，

因為A8=AC且點E為8c的中點，所以AE=44a2-2,

2

III此可知該三棱錐的側面積5M=1X672X74a-2=6也a?-1,底面△BCD的面積為2有，

所以6,2a2-1=舟26，解得。=1（舍負）.

設三棱錐A—BCO外接球半徑為R,0尸=底因為48=4。=4。=2,

所以點A在底面BCD上的射影為點F.因為AB<BC,

故三棱錐外接球球心0在直線AF?的延長線匕8尸為△BC。外接圓的半徑，所以BF=2區.

3

在R/DAB尸中，由勾股定理可得（7?-可2+（乎）=4,

在RmoBf7中，由勾股定理可得/+［半］=R2,解得/?=如，

所以外接球的表面積S=4TR2=12萬.

故答案為：12萬.

A

【點睛】

結論點睛：本題考查正三棱錐的外接球問題，解題關鍵是確定了球心位置，求得球半徑.三棱錐的外接球

的球心一定在過各面外心且與此面垂直的直線上.這是我們尋找外接球球心的根據.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

7

17.（10分）在口ABC中，角/B,C的對邊分別為a,b,c,已知b—c=l,cosA=—,再從條件口、

8

條件□這兩個條件中選擇一個作為已知.

（1）求a的值；

（2）求tan8的值.

條件□:3sin6=4sinC；條件□:口46c的面積為Ml.

4

注：如果選擇不同條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）。=2；（2）tanB=—屏.

【分析】

（1）選條件工由正弦定理邊角互化得弘=4c,再結合已知條件和余弦定理得a=2；

選條件「：由cosA=:得sinA=巫，進而根據面積公式得匕c=12,再結合已知條件和余弦定理得a=2：

88

（2）由余弦定理得cosB=-：,再結合同角三角函數關系求解即可.

4

【詳解】

解：（1）選條件：3sinB=4sinC.

因為3sin8=4sinC,由正弦定理，得3b=4c.

因為b—c=l,解方程組，得8=4,c=3.

由余弦定理，得/=9+16-2X3X4XG，

8

所以。=2.

選條件：口4區。的面積為獨5.

4

因為cosA=-,所以sinA=Jl-cos2A=——?

88

因為DABC的面積為,所以」歷、巫=土叵.

4284

所以be=12.

因為人一c=l,解方程組，得〃=4,c=3.

由余弦定理，得々2=9+16—2x3x4x—,

8

所以a=2.

4+9-161

（2）由余弦定理，得cosB=：=0=-:.

2x2x34

所以sin8=Jl—cos?B=.

4

所以tan3='里=-后.

cosB

【點睛】

本題考查利用正余弦定理解三角形，考查邊角互化，運算求解等，是中檔題.本題選條件，時，解題的關鍵

在于利用正弦定理邊角互化得弘=4c；選條件i時，解題的關鍵在于利用同角三角函數關系和面枳公式得

be=12,再根據余弦定理求解.

18.（12分）記S”為等差數列｛斯｝的前〃項和，且aio=4,515=30.

（1）求數列｛%,｝的通項公式以及前〃項和S,；

（2）記數列｛2獷4+為｝的前n項和為T?,求滿足T?>0的最小正整數〃的值.

11n

【答案】（1）為="—6,S=-------（2）5.

"22；

【分析】

(1)首先根據mo=4,S”=30求出數列的首項和公差，進而求出數列的通項公式和前〃項和;

(2)因為2"""+-6+2"-,得到Tn="(〃；")+,分析單調性求出答案即可.

【詳解】

記數列｛3｝的公差為d,與5=30口15。8=30匚制=2,

故］=%二"=1,

10-8

故—10)d=4+〃-10=〃一6,

°n(n-1)n(n-l)n211/7

2222

(2)依題意，2%"+q,=〃—6+2"-2

〃=(-5-4+...+〃-6)+(2-1+2。+...+2廠2)=如-11)+義二1

22

、［,.?—1x10+21—1

In=1n時，T\=-------------<0;

2

、?o.L_2x9+2~—1

三1〃=2時tl，Ti=-----------<0：

2

M/,_□I-T-3x8+23—1

」i〃=3時n，73=-----------<0；

2

T-4x7+24-1

當〃=4時,74=-----------<0：

2

當⑶時，『"5所以

故滿足3>0的最小正整數n的值為5.

【點睛】

數列求和的方法技巧

(1)倒序相加：用于等差數列、與二項式系數、對稱性相關聯的數列的求和.

(2)錯位相減：用于等差數列與等比數列的積數列的求和.

(3)分組求和：用于若干個等差或等比數列的和或差數列的求和.

19.(12分)已知新高考數學共4道多選題，評分標準是每題滿分5分，全部選對得5分，部分選對得2

分，有錯選或不選的得0分.每道多選題共有4個選項，正確答案往往為2項或3項.為了研究多選題的答題

規律,某數學興趣小組研究發現：多選題正確答案是“選兩項”的概率為上，正確答案是“選三項”的概率為之.

現有學生甲、乙兩人，由于數學基礎很差，多選題完全沒有思路，只能靠猜.

（1）已知某題正確答案是“選兩項”，求學生甲不得0分的概率；

（2）學生甲的答題策略是“猜一個選項“，學生乙的策略是“猜兩個選項“，試比較兩個同學的策略，誰的策

略能得更高的分數？并說明理由.

【答案】（1）I；（2）學生甲的策略最好，理由見解析.

【分析】

（1）分情況：亂猜一個選項得2分，亂猜兩個選項得5分，利用組合數以及古典概型的概率計算公式即可

求解.

（2）甲得分X的可能取值為0,2；乙得分丫的可能取值為0,2,5,列出分布列，求出數學期望即可比

較得分的高低.

【詳解】

（1）分兩類：亂猜一個選項得2分，亂猜兩個選項得5分.

猜一個選項得2分的概率為方；

1

C2

猜兩個選項得5分的概率為涓6-

故已知某題正確答案是“選兩項“，學生甲不得0分的概率P=5+!=7.

263

（2）設甲、乙兩人的得分分別為X,Y,

兩人的得分期望分別為E（x）,E（y）,

學生甲：X的可能取值為0,2,

11135

P（X=2）=—X—+—X—

22248

學生甲的得分X的分布列為

X02

35

P—

88

故E（X）=*

學生乙：y的可能取值為0,2,5,

1r211r11O

叩=2)=5、叩=5)=5、謂FP(y=0)=4,

乙L^4?乙1^4上乙J

學生乙的得分y的分布列為

Y025

2j_1

P

412

故E(y)量.

因為E（x）＞E（y）,所以學生甲的策略最好.

20.（12分）2022年北京冬奧會標志性場館——國家速滑館的設計理念來源于一個冰和速度結合的創意,

沿著外墻面由低到高盤旋而成的“冰絲帶”，就像速度滑冰運動員高速滑動時留下的?圈圈風馳電掣的軌跡,

冰上劃痕成絲帶，22條“冰絲帶”又象征北京2022年冬奧會.其中“冰絲帶”呈現出圓形平面、橢圓形平面、馬

鞍形雙曲面三種造型，這種造型富有動感，體現了冰上運動的速度和激情這三種造型取自于球、橢球、橢

圓柱等空間幾何體，其設計參數包括曲率、撓率、面積體積等對幾何圖形的面積、體積計算方法的研究在

中國數學史上有過輝煌的成就，如《九章算術》中記錄了數學家劉徽提出利用牟合方蓋的體積來推導球的

體積公式，但由于不能計算牟合方蓋的體積并沒有得出球的體積計算公式直到200年以后數學家祖沖之、

祖眶父子在《綴術》提出祖睢原理：“暴勢既同，則積不容異“，才利用牟合方蓋的體積推導出球的體積公式

原理的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.

（□）利用祖眶原理推導半徑為R的球的體積公式時，可以構造如圖□所示的幾何體M,幾何體M的底面

半徑和高都為R,其底面和半球體的底面同在平面a內.設與平面。平行且距離為d的平面/截兩個幾何

體得到兩個截面，請在圖L中用陰影畫出與圖L中陰影截面面積相等的圖形并給出證明；

22

1y/

（）現將橢圓靛+*1（八。>0）所圍成的橢圓面分別繞其長軸、短軸旋轉一周后得兩個不同的橢球

A,B（如圖），類比（口）中的方法，探究橢球A的體積公式，并寫出橢球A,8的體積之比.

Ajrb

2

【答案】（口）答案見解析；（匚）VA=—ab,體積之比為一.

3a

【分析】

（U）由題意，宜接畫出陰影即可，然后分別求出圖中圓的面積及圖中圓環的面積即可證明；

<）類比（1）可知，橢圓的長半軸為。，短半軸為b,構造一個底面半徑為6,高為a的圓柱，把半橢

球與圓柱放在同一個平面上，在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，即

挖去的圓錐底面半徑為〃，高為“，證明截面面積相等，由祖瞄原理求出出橢球A的體積，同理求出橢球3

的體積，作比得出答案.

【詳解】

（匚）由圖可知，圖口幾何體的為半徑為R的半球，圖□幾何體為底面半徑和高都為R的圓柱中挖掉了一個

證明如下:

在圖」中，設截面圓的圓心為易得截面圓。的面積為萬（浦一屋），

在圖匚中，截面截圓錐得到的小圓的半徑為〃，所以，圓環的面積為萬（浦一笛），所以，截得的截面的面

積相等

（）類比（）可知，橢圓的長半軸為。，短半軸為與，構造一個底面半徑為。，高為。的圓柱,把半橢

球與圓柱放在同一個平面上（如圖），在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓

錐，即挖去的圓錐底面半徑為人，高為a；

在半橢球截面圓的面積乃勺一［2）,

a'7

在圓柱內圓環的面積為開〃一萬27d2=7r^-（a2-d2}

“2zi2''

「距離平面a為d的平面截取兩個幾何體的平面面積相等,

根據祖晅原理得出橢球A的體積為：

匕=2穌柱-％錐）=21萬?加,

Ajr

同理：橢球B的體積為Vn=-a%

所以，兩個橢球A，B的體枳之比為

a

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查新定義問題，解題的關鍵是讀懂題意，構建圓柱，通過計算得到高相等時截面面積

相等，考查學生的空間想象能力與運算求解能力，屬于較難題.

21.（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知點4（1,2）,8是一動點，直線OA,OB,AB的斜率分別

為…，%，且(+(=看，記8點的軌跡為E.

(1)求E的方程;

(2)過C(1,O)的直線與E交于M,N兩點，過線段MN的中點。且垂直于MN的直線與X軸交于”點,

若WM=4|￡>M，求直線MN的方程.

【答案】(1)y?=4x(x1)：(2)x—后y—1=0或x+Gy—1=0-

【分析】

⑴首先設5(%y),并表示勺,k2,。，代入廣卷彳后,即可求得E的方程;⑵首先設直線MN

的方程為X=9+1,并與拋物線方程聯立，并利用弦長公式表小|MN|,并利用直線OH的方程，表示點H

的坐標，并衣小并根據條件=求，后即可求得直線MN方程.

【詳解】

(1)設B(x,y),

2yy—2

所以占=一，k?=上,左3=2一

1Xx-1

1111Xx-1

因為廠+廠=廠，所以不+—=O

%k2k32yy-2

化簡得V=4x.

所以曲線E的方程為y2=4x(xwQxwi).

x=ty+1.

(2)設直線MN的方程為x=)+l,聯立｛2\，得V—4)—4=0,

y=4x

所以A=16/-4xlx(-4)=16(/+l)>0,

設N(吃,兒)，

所以*+%=今，乂以=-4，

所以|MN|=J1+產+Y)2_4y%=4(r+1).

由O為MN的中點，所以。(2r+12),

所以直線DH的方程為y-2/=T(x-2產—1),

所以“點的坐標為(2r+3,0),所以|。"|=2"77，

因為|MN|=2|￡)M，所以4(/+1)=8〃1+1,

解得t-,

所以直線MN的方程為x——l=0或x+Gy—1=0.

【點睛】

方法點睛：一般求曲線方程的方法包含以下幾種：

1.直接法：把題設條件直接“翻譯”成含X，》的等式就得到曲線的軌跡方程.

2.定義法：