2020-2021學年高二數學下學期期末測試卷02測試范圍：選擇性必修第二、三冊一、單選題1．設，，隨機變量X的分布列是（）a則方差（）A．既與有關，也與有關 B．與有關，但與無關C．與有關，但與無關 D．既與無關，也與無關【答案】B【解析】根據方差公式求出方差，再判斷即可.由分布列可得，故.故選：B【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是熟練掌握期望和方差的公式.2．在的展開式中，含的項的系數是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先寫出展開式的通項，再討論第一個括號選則令，第一個括號選，則令，兩者相加即可求解.展開式的通項為，所以含的項為，所以含的項的系數是，故選：B.3．與曲線和都相切的直線與直線垂直，則b的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出直線的方程，再求出直線與曲線相切的切點坐標即可得解.因直線與直線垂直，則直線的斜率為3，設直線與曲線相切的切點，而，則，得，即直線過點(1，0)，方程為y=3x-3，設直線與曲線相切的切點P，有，由得，從而有點，而點P在直線：y=3x-3上，即，解得.故選：D【點睛】結論點睛：函數y=f(x)是區間D上的可導函數，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：.4．已知盒子里有10個球（除顏色外其他屬性都相同），其中4個紅球，6個白球甲、乙兩人依次不放回地摸取1個球，在甲摸到紅球的情況下，乙摸到紅球的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分別計算甲先摸到1個紅球，乙再從剩下的9個球中摸1個球的種數和甲先摸到1個紅球，乙再從剩下的3個紅球中摸1個球的種數可得答案.甲先摸到1個紅球，乙再從剩下的9個球中摸1個球，共有種，其中甲先摸到1個紅球，乙再從剩下的3個紅球中摸1個球，共有種，所以在甲摸到紅球的情況下，乙摸到紅球的概率為.故選：A.5．某產品的廣告費用與銷售額的統計數據如下表：廣告費用（萬元）23456銷售額（萬元）1925343844根據上表可得回歸直線方程為，下列說法正確的是（）A．回歸直線必經過樣本點、B．這組數據的樣本中心點未必在回歸直線上C．回歸系數6.3的含義是廣告費用每增加1萬元，銷售額實際增加6.3萬元D．據此模型預報廣告費用為7萬元時銷售額為50.9萬元【答案】D【解析】根據回歸方程的含義與性質判斷ABC，根據最小二乘法求出回歸方程可判斷D.回歸直線，不一定經過任何一個樣本點，故A錯；由最小二乘法可知，這組數據的樣本中心點一定在回歸直線上，故B錯；回歸系數6.3的含義是廣告費用每增加1萬元，預測銷售額增加6.3萬元，故C錯；，，將代入可得，則回歸方程為，時，，故D正確.故選：D.【點睛】本題主要考查回歸方程的含義與性質，考查根據最小二乘法求出回歸方程以及利用回歸方程估計總體，屬于基礎題.6．已知函數，下列結論正確的是（）①曲線上存在垂直于y軸的切線；②函數有四個零點；③函數有三個極值點；④方程有四個根.A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】C【解析】根據導數的性質，結合函數的零點定義、極值的定義、導數的幾何意義進行求解即可.，因為，所以曲線上存在垂直于y軸的切線，因此結論①正確；當時，，因此在上單調遞增，當時，由函數的單調性的性質可知：函數單調遞減，當時，，因此在上單調遞增，當時，，因此在上單調遞減，如下圖所示：所以函數有三個極值點，因此③正確；因為，，，所以函數有二個零點，，因此②錯誤；方程可轉化為或，結合圖象知，方程有兩個根，也有兩個根，故方程有四個根，因此④正確.綜合以上，正確的為①③④，故選：C.【點睛】關鍵點睛：根據極值的定義、零點存在原理，結合數形結合思想是解題的關鍵.7．對函數(，且)的極值和最值情況進行判斷，一定有（）A．既有極大值，也有最大值 B．無極大值，但有最大值C．既有極小值，也有最小值 D．無極小值，但有最小值【答案】C【解析】先求出導數，，然后討論方程根的情況，進而判斷各選項，下面討論方程根的情況.令，，（1）當時(即)，僅有一個唯一的正零點，不妨設為，此時有三個不同零點，分別為，0，；滿足既有極小值，也有最小值；（2）當時(即)；滿足既有極小值，也有最小值；（3）當時(即且)，若(即且)，則僅有一個唯一的極小值點為0，若，結合分析可知：當時，有兩個不同的正零點(令為，且).此時在，，上單調遞減，當時，則僅有一個唯一的極小值點為0.滿足既有極小值，也有最小值；綜上分析，故選：C【點睛】關鍵點睛：解題的關鍵在于：求導后討論方程根的情況，討論的時候，分情況：（1）當；（2）當；（3）當，進而判斷各選項，屬于難題8．對于無窮數列，給出如下三個性質：①；②；③．定義：同時滿足性質①和②的數列為“s數列”，同時滿足性質①和③的數列為“t數列”，則下列說法錯誤的是（）A．若，則為“s數列”B．若，則為“t數列”C．若為“s數列”，則為“t數列”D．若等比數列為“t數列”則為“s數列”【答案】C【解析】根據“s數列”和“t數列”的定義逐一對各選項分析判斷即可.解：對A：，，又，數列為“s數列”，故選項A正確.對B：，，又，，，數列為“t數列”，故選項B正確.對C：若，，又，所以數列為“s數列”，但，故選項C錯誤.對D：若等比數列為“t數列”，則，即（公比為）.（1）若公比，因為，所以，所以，所以，此時因為，，，所以，即，所以為“s數列”；（2）若公比，由得，由性質③知，即，所以，但此時與性質③不符，所以時不是“t數列”.綜上，若等比數列為“t數列”則為“s數列”，選項D正確.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是牢牢抓住數列為“s數列”和數列為“t數列”所滿足的性質對各選項逐一分析.二、多選題9．給出下列命題，其中正確命題為（）A．投擲一枚均勻的硬幣和均勻的骰子（形狀為正方體，六個面分別標有數字1，2，3，4，5，6）各一次，記硬幣正面向上為事件A，骰子向上的點數是2為事件B，則事件A和事件B同時發生的概率為B．以模型去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和C．隨機變量服從正態分布，，則D．某選手射擊三次，每次擊中目標的概率均為，且每次射擊都是相互獨立的，則該選手至少擊中2次的概率為【答案】ABD【解析】分別計算事件A和事件B的概率可判斷A；根據對數的運算性質可判斷B；根據正態分布的性質可判斷C；計算該選手擊中2次的概率和3次都擊中的概率可判斷D.對于A，事件A的概率為，事件B的概率為，則事件A和事件B同時發生的概率為，故A正確；對于B，因為，所以兩邊取對數得，令，可得，因為，所以，所以，故B正確；對于C，隨機變量服從正態分布，所以正態曲線關于對稱，則，故C錯誤；對于D，由題意得，該選手1次未擊中，2次擊中的概率為，3次都擊中的概率，則至少擊中2次的概率為，故D正確.故選：ABD.【點睛】考查了相互獨立事件的概率、線性回歸方程、正態分布問題，其中熟練掌握相關知識、性質、運算是解題的關鍵.10．若，則（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】令，可驗證A，令，，計算可驗證B、C,令，化簡計算可判斷D,即可得出結果.令，則，A對，令，則，令，則，∴，，B對，C錯，令，則，又，則，D對，故選：ABD.【點睛】方法點晴：二項式系數和問題通常都是通過賦值法求解.11．記表示與實數最接近的整數，數列通項公式為，其前項和為，設，則下列結論正確的是（）．A． B． C． D．【答案】BC【解析】由時，可判定A不正確；由，可判定B正確；由，可得，根據是右側的最接近的整數，可判定C正確；根據題意歸納得到數列中，有2個1，4個，6個，8個，，結合等差數列求和公式，可判定D不正確.由題意，記表示與實數最接近的整數，且，當時，可得，所以A不正確；由，即，可得，可得成立，所以B正確；由，可得，平方可得，因為，且不是整數，其中是右側的最接近的整數，所以成立，所以C正確；當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時；歸納可得數列中，有2個1，4個，6個，8個，又由構成首項為2，公差為2的等差數列，可得，令，解得，所以，所以D不正確.故選：BC.【點睛】與數列的新定義有關的問題的求解策略：1、通過給出一個新的數列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.12．已知函數，則下列說法正確的是（）A．若，則在區間上單調遞減B．若，則C．若，則有兩個零點D．若，則曲線上存在在相異兩點，處的切線平行【答案】AB【解析】,求導函數，判斷在上的正負確定增減；，求導函數判斷增減，求出最小值，；分離參數，求出函數的變化趨勢以及最值，判斷與軸交點的個數；假設存在相異兩點，，利用平行得函數，轉化為與交點個數問題.對于A，，在單增，，時，單調遞減；A對.對于B，，在單增，，時，單調遞減，時，單調遞增，，；B對.對于C，若，，，則，，令，顯然在上單增，且，時，；，在上單減，時，；，在上單增，故，有零點，則;C錯.對于D，，若曲線上存在相異兩點處的切線平行，則，即，即，也就是有兩相異根，即有兩個交點，令，則在上單增，當時，；當時，；故與只有一個交點.D錯.故選：AB【點睛】利用導函數的正負判斷原函數的增減，求出函數的最值，通常求導，用到的辦法有分離參數法，以及將交點的個數問題轉化為方程解的個數問題.三、填空題13．某醫院傳染病科室有5名醫生．4名護士，現從這9名醫護人員中選取5名參加醫院組織的運動會，要求其中至少有2名醫生．2名護士，則不同的選取方法有______種．【答案】【解析】將符合題意的情況分為兩類：名醫生、名護士和名醫生、名護士；利用組合的知識可分別求得兩類情況的種數，由分類加法計數原理可得到結果.符合題意的情況有兩種：名醫生、名護士和名醫生、名護士．選取名醫生、名護士的方法有：種；選取名醫生、名護士的方法有：種；綜上所述：滿足題意的選取方法共有種．故答案為：.14．已知隨機變量，若，則_______.【答案】0.1【解析】根據已知及二項分布的概率公式求參數p，再應用正態分布的對稱性知：即可求出.∵隨機變量，∴，解得或(舍)，又，∴，故答案為：0.115．設為數列的前項和，滿足，，其中，數列的前項和為，滿足，則___________.【答案】【解析】首先變形等式為，利用累乘法，求得數列的通項公式，以及數列的通項公式，代入后，利用錯位相減法求和.由題意，即，累乘得，可知，，當時，，所以，又時，，且當時成立，從而有，故，所以，故.故答案為：【點睛】方法技巧常見數列的裂項方法數列（為正整數）裂項方法（為非零常數）（為非零常數）（，）注意：利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗裂項前后是否等價，又要注意求和時正負項相消后消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項.16．對于函數，有下列4個論斷：甲：函數有兩個減區間；乙：函數的圖象過點；丙：函數在處取極大值；?。汉瘮祮握{.若其中有且只有兩個論斷正確，則的取值為______.【答案】2【解析】對函數求導后即可判斷出甲錯誤，由于丙、丁相悖，分別討論丙與丁正確，即可得出答案.（）若甲正確，函數在有兩個減區間，記，則在有兩個解且開口向下,則無解，即甲錯誤.因為丙丁相悖.所以若丁正確，則甲丙錯誤、乙丁正確.，(或)在恒成立.即(或)在恒成立.即.若丁錯誤，則甲丁錯誤、乙丙正確.此時此時在處取極小值，與丙矛盾，舍去.綜上所述：.故答案為：2.【點睛】本題考查函數的極值與單調性.屬于難題.其中需要注意的是極值點是導函數的異號零點，利用導函數為0解出來的極值點，一定要檢驗其是否真正的極值點.四、解答題17．已知數列首項，且滿足，令.（1）求證：數列為等差數列；（2）求數列中的最小項.【答案】（1）證明見解析；（2）-3.【解析】（1）將遞推關系兩邊同除以，得到，從而證得數列為等差數列；（2）由（1）中結論求得的通項公式，求得，寫出前3項，當時，，易知其最小的項.（1），，即.又，為首項為-3，公差為1的等差數列，.（2），即.又，，，當時，.數列中的最小項為.【點睛】方法點睛：遞推關系較為復雜時，按照題干給定的新數列的表達式形式，化成相同的形式，從而根據等差或等比數列定義求得新數列類型.18．有四個編有1?2?3?4的四個不同的盒子，有編有1?2?3?4的四個不同的小球，現把四個小球逐個隨機放入四個盒子里.（1）小球全部放入盒子中有多少種不同的放法？（2）在（1）的條件下求恰有一個盒子沒放球的概率？（3）若沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？【答案】（1）種；（2）；（3）種.【解析】（1）用分步乘法計數原理計算，考慮每個球的放法可得；（2）選取2球放在一起作為一個球，共3個球放到3個盒子中，用排列求得放法后由古典概型概率公式可計算出概率；（3）4個球的全排列數減去編號全相同的排法1即可得．（1）每個球都有4種方法，故有種（2）從4個小球中選兩個作為一個元素，同另外兩個元素在三個位置全排列，故共有種不同的放法.概率為：（3）每個盒子不空，共有，種．【點睛】關鍵點點睛：本題考查計數原理，古典概型，排列的應用．難點是事件“4個盒子中恰有一個盒子沒放球”，解題關鍵是確定完成這件事的方法，4個球放到3個盒子中，其中有一個盒子中必有2個球，由此可選取2個球放在一起作為一個球，4個球看作3個球放入4個盒子中的3個中，用排列知識可求解．19．某中學模擬新高考模式，將本校期末考試成績劃分為、、三個等級.教務處為了調研高一新生學習情況，隨機抽取了高一某班名同學的語文、數學、英語成績，并對他們的成績進行量化：級記為分，級記為分，級記為分，用表示每位同學的語文、數學、英語的得分情況，得到如下結果：人員編號現用綜合指標的值評定該同學的得分等級：若，則得分等級為一級；若，則得分等級為二級；若，則得分等級為三級.（1）在這名同學中任取兩人，求這兩位同學英語得分相同的概率；（2）從得分等級是一級的同學中任取一人，其綜合指標為，從得分等級不是一級的同學中任取一人，其綜合指標為，記隨機變量，求的分布列及數學期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】（1）利用組合計數原理結合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，隨機變量的可能取值有：、、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進一步可求得的值.（1）設事件為“從名同學中隨機抽取兩人，他們的英語得分相同”，英語得分為的有：、、、、、，英語得分為的有：、、、，從名同學中隨機抽取兩人的所有可能結果數為，英語得分相同的所有可能結果數為，英語得分相同的概率；（2）計算名同學的綜合指標，可得下表：人員編號綜合指標4461453543其中綜合指標是一級的有：、、、、、、共名，綜合指標不是一級的有：、、，共名，隨機變量的所有可能取值為：、、、、，，，，，，的分布列為：12345.【點睛】思路點睛：求解隨機變量分布列的基本步驟如下：（1）明確隨機變量的可能取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；（2）求出每一個隨機變量取值的概率；（3）列成表格，對于抽樣問題，要特別注意放回與不放回的區別，一般地，不放回抽樣由排列、組合數公式求隨機變量在不同取值下的概率，放回抽樣由分步乘法計數原理求隨機變量在不同取值下的概率.20．已知函數，其中.（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若不等式對恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)在給定條件下求導，并求出在處的導數值即可得解；(2)先求出的最小值，再分情況討論即可得解.（1）當時，，求導得，，而，所以在處的切線方程為，即；（2）定義域為，則，當時，令，可得，列表如下：-0+遞減極小值遞增于是有，令，①當時，即時，，則，不符合題意；②當時，即時，對任意的恒成立，要使，必有，二次函數的對稱軸為，則時，即，解得，從而有，所以實數的取值范圍是.【點睛】結論點睛：函數y=f(x)是區間D上的可導函數，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：.21．已知函數，.（1）求函數的增區間；（2）設，是函數的兩個極值點，且，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）求函數的導數，分類討論，解不等式即可求解；（2）根據極值點可轉化為，是方程的兩個不相等的正實數根，可得且，要證，只要證，利用構造函數的單調性證明即可.（1）由題意得().令，則.①當，即時，在上恒成立，即的增區間為；②當，即時，或，即的增區間為和.綜上，當時，的增區間為；當時，的增區間為和.（2）因為()，有兩個極值點，，所以，是方程的兩個不相等的正實數根，可求出從而，，解得.由得.因為，所以且.令，且，則，所以當時，，從而單調遞增；當時，，從