第3講直線與圓錐曲線的位置關系一、單項選擇題1．若直線y＝x－1與橢圓x2＋3y2＝a有且只有一公共點，那么a的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D．12．已知A，B為雙曲線x2－eq\f(y2,9)＝1上兩點，且線段AB的中點坐標為(－1，－4)，則直線AB的斜率為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(9,4)C．－eq\f(9,4)D．－eq\f(3,2)3．斜率為1的直線l與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為()A.eq\f(4\r(5),5)B.eq\f(4\r(10),5)C.eq\f(8\r(10),5)D.eq\f(8\r(5),5)4．(2023·新高考全國Ⅱ)已知橢圓C：eq\f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點，若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，則m等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(2),3)C．－eq\f(\r(2),3)D．－eq\f(2,3)5．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，F1，F2分別是C的左、右焦點，經過點F2且垂直于C的一條漸近線的直線l與C交于A，B兩點，若△ABF1的面積為64，則雙曲線C的實軸長為()A．6B．8C．12D．166．(2023·全國乙卷)設A，B為雙曲線x2－eq\f(y2,9)＝1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是()A．(1,1) B．(－1,2)C．(1,3) D．(－1，－4)二、多項選擇題7．已知橢圓E：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的右焦點為F2，直線x－y＋3＝0與橢圓交于A，B兩點，則()A．△ABF2的周長為20B．△ABF2的面積為eq\f(960\r(2),41)C．線段AB中點的橫坐標為－eq\f(75,41)D．線段AB的長度為eq\f(320,41)8．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長為2，過C上點P的直線l與C的漸近線分別交于點A，B，且P為AB的中點，則下列說法正確的是()A．若點P的坐標為(m，n)且直線l的斜率存在，則直線l的方程為eq\f(my,a2)－nx＝1B．若點P的坐標為(2,1)，則直線l的斜率為1C．若離心率e＝eq\f(\r(5),2)，則S△OAB＝2D．若直線l的斜率不存在，則|AB|＝2三、填空題9．已知直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝4沒有公共點，則k的取值范圍為________________________________________________________________________．10．(2023·天津)過原點O的一條直線與圓C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲線y2＝2px(p>0)于點P，若|OP|＝8，則p的值為________．11．橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點，過原點與線段MN中點的直線的斜率為eq\f(\r(2),2)，則eq\f(m,n)＝_________.12．(2023·佛山模擬)設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線l與x軸交于點P，F到l的距離為2，過P的直線與拋物線依次交于A，B兩點(點A在P，B兩點之間)，則kFA＋kFB＝______；設直線FA交y軸于點M，直線FB交準線l于點N，則eq\f(|FM|,|FN|)＝________.四、解答題13．(2023·曲靖模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1，不與坐標軸垂直的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，記線段PQ的中點為M.(1)若Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))，求直線l的斜率；(2)記A(－1,0)，探究：是否存在直線l，使得|AP|＝|AQ|，若存在，寫出滿足條件的直線l的一個方程；若不存在，請說明理由．14．(2023·成都模擬)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，橢圓E上的點到其左、右焦點的距離之和為4.(1)求橢圓E的方程；(2)設過左