專題2.4圓的方程知識點1圓的標準方程1．圓的定義圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合．2．圓的標準方程我們把方程稱為圓心為,半徑為r的圓的標準方程．3．幾種特殊位置的圓的標準方程條件方程形式過原點圓心在原點圓心在x軸上圓心在y軸上圓心在x軸上且過原點圓心在y軸上且過原點與x軸相切與y軸相切知識點2點與圓的位置關系點與圓的位置關系：（1）點在圓外；（2）點在圓上；（3）點在圓內.重難點1圓的標準方程1．已知圓，則圓關于點對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】圓關于點對稱只是圓心的位置發生了變化，因此只需求圓心關于點對稱后的坐標即可解決.【詳解】圓的圓心為，半徑為，關于對稱的點為，圓對稱后只是圓心位置改變，圓的半徑不會變化，仍為，因此所求的圓的方程為.故選：D2．已知圓與圓關于直線對稱，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據題意，求得圓心關于直線的對稱點，即可得到結果.【詳解】由題意可得，圓的圓心坐標為，半徑為，設圓心關于直線的對稱點為，則，解得，所以圓的標準方程為.故選：A3．圓心在第二象限，半徑為3，且與兩條坐標軸均相切的圓的標準方程為．【答案】【分析】根據圓心和半徑即可寫出標準方程.【詳解】由題意可得所求的圓半徑為3,由于兩條坐標軸均相切，且圓心在第二象限，故圓心為，，圓的標準方程為；故答案為：4．圓心在直線上，且過點的圓的標準方程為.【答案】【分析】通過求圓心和半徑來求得圓的標準方程.【詳解】直線的斜率為，線段的中點為，線段的垂直平分線的方程為：，即，聯立，解得，即圓心坐標為，半徑，所以所求圓的標準方程為：.故答案為：.5．已知兩點、，則以PQ為直徑的圓的方程是.【答案】【分析】根據條件求出圓心坐標及圓的半徑即可.【詳解】、,的中點坐標為，即為圓心坐標，又圓的半徑為則所求圓的方程為.故答案為：.6．圓過點，求面積最小的圓的方程為【答案】【分析】根據題意知所求圓為以為直徑的圓，再利用條件即可求出結果.【詳解】當為直徑時，過的圓的半徑最小，從而面積最小，又，所以，所求圓的圓心為中點，半徑為，則所求圓的方程為：.故答案為：.7．已知圓C經過點和點，且圓心在直線上，則圓C的標準方程為．【答案】【分析】求出線段AB的中垂線方程，與直線聯立，可得圓心坐標，根據兩點間距離公式求出半徑，可得圓的方程．【詳解】因為，，所以直線的斜率為，線段中點為，所以中垂線方程為，即，聯立，解得，所以圓心的坐標為.根據兩點間的距離公式，得半徑，因此，所求的圓的方程為.故答案為：.重難點2點與圓的位置關系8．若圓C：上存在到的距離為1的點，則實數m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓心到定點距離，由題設有且，即可得求范圍.【詳解】由題意可得圓心，半徑為，則到的距離，要使圓上存在到的距離為1的點，則，可得.故選：B9．已知兩直線與的交點在圓的內部，則實數k的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】求出兩直線的交點坐標，利用該交點到圓心的距離小于半徑列式，解不等式可得結果.【詳解】圓的圓心為，半徑為，由得，則兩直線與的交點為，依題意得，解得.故選：B10．矩形中，，，點在邊上，且，如果圓是以點為圓心，為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（

）A．點、均在圓外 B．點在圓外、點在圓內C．點在圓內、點在圓外 D．點、均在圓內【答案】C【分析】根據點到圓心的距離與半徑的大小關系即可判斷點和圓的位置關系.【詳解】如圖，,所以該圓是以為圓心，7為半徑的圓，，所以點在圓內，，所以點在圓外，故選:C.11．(多選)下列各點中，不在圓的外部的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用給定的圓方程，把各選項中的點的坐標代入判斷作答.【詳解】對于A，，點在圓內；對于B，，點在圓外；對于C，，在圓上；對于D，，在圓內.故選：ACD12．若點在圓上，則實數m＝.【答案】4【分析】將點P坐標代入圓方程，解方程可得答案.【詳解】∵點在圓上，∴點P坐標代入，得，即m＝4.故答案為：4.13．(多選)經過四點，，，中的三點的圓的方程可能為（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】將點代入各方程，判斷是否滿足圓的方程，即可得出答案．【詳解】選項A：點，，在圓上，點不在該圓上，故A正確；選項B：點，，在圓上，點不在該圓上，故B正確；選項C：點，，，都不在圓上，故C錯誤；選項D：點，，在圓上，點不在該圓上，故D正確；故選：ABD．14．已知點A(1，2)和圓C：，試分別求滿足下列條件的實數a的取值范圍.(1)點A在圓的內部；(2)點A在圓上；(3)點A在圓的外部.【答案】(1)(2)(3)【分析】由點和圓的位置關系，列方程或不等式，求解實數a的取值范圍.【詳解】（1）因為點A在圓的內部，所以，且a不為0，解得.故實數a的取值范圍為.（2）因為點A在圓上，所以，解得（3）因為點A在圓的外部，所以且a不為0，解得且.故實數a的取值范圍為知識點3圓的一般方程1．圓的一般方程當時,方程表示一個圓．我們把方程叫做圓的一般方程．2．對方程的說明對方程配方得，與0的大小關系對方程圖形的影響如下表：條件圖形不表示任何圖形表示一個點表示以為圓心,以為半徑的圓知識點4圓上的點到定點的最大、最小距離設圓心到定點的距離為,圓的半徑為,圓上的動點為:（1）若點在圓外,則;（2）若點在圓上,則;（3）若點在圓內,則.綜上,.重難點3圓的一般方程15．求以為圓心，且經過點的圓的一般方程（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據題意，利用兩點間的距離公式求得圓的半徑，寫出圓的標準方程，進而得到圓的一般方程，得到答案.【詳解】由題意得，圓的半徑，所以圓的方程為，所以圓的一般方程為.故選：C.16．已知實數滿足，則的最大值是（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】先整理為圓的標準方程，利用有界性即可求得.【詳解】可化為：，所以，解得：，即的最大值是4.故選：D17．圓心在y軸上，經過點且與x軸相切的圓的方程是．【答案】【分析】先設出圓的標準方程，再利用條件建立方程求出參數即可求出結果.【詳解】由題意，設圓的方程為，因為圓經過點，所以把點代入圓的方程，得，整理得，∴，所以圓的方程為，即，故答案為：.18．圓心在直線上，且經過圓與的交點的圓的標準方程是.【答案】【分析】根據題意，設出經過圓與的交點的圓系方程，再利用圓心在直線上，即可求解.【詳解】設所求圓的方程為，即，其圓心坐標為，代入直線，得，故所求圓的方程為，即.故答案為：.19．求經過三點，，的圓的方程．【答案】【分析】設圓的方程為，依題意得到方程組，解得、、，即可得解.【詳解】設圓的方程為，依題意可得，解得，所以圓的方程為.20．求下列各圓的標準方程：(1)圓心在直線上且過兩點的圓的方程；(2)經過三點的圓的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據M，N兩點和圓坐標關系代入圓的方程，求解未知數即可；（2）將A,B,C三點坐標代入圓方程求解未知數即可；【詳解】（1）設圓的一般方程為，其中,圓心坐標為,因為圓心在直線上且過兩點，所以，解得，所以圓的一般方程為，所以圓的標準方程為；（2）設圓的一般方程為，其中,因為經過三點，所以，解得，所以圓的一般方程為，所以圓的標準方程為；21．圓的方程為：，則圓心的坐標為，半徑為．【答案】【分析】將圓的方程化為標準方程可得答案.【詳解】由可得，所以圓心的坐標為，半徑為，故答案為：，重難點4二元二次方程與圓22．“”是“方程表示圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據二元二次方程表示圓的充要條件是可得答案.【詳解】因為方程，即表示圓，等價于0，解得或.故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.故選：A23．已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出表示圓的充要條件，然后可判斷出答案.【詳解】若表示圓，則，解得.“”是“”表示圓的必要不充分條件，所以實數的取值范圍是.故選：B24．已知點在圓的外部，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由點在圓外以及方程表示圓得到不等式組，解不等式組即可.【詳解】由點在圓外知，即，解得，又為圓，則，解得，故.故選：D.25．若曲線：表示圓，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據圓的一般式變形為標準式，進而可得參數范圍.【詳解】由，得，由該曲線表示圓，可知，解得或，故選：B.26．若方程表示圓，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得，即可得到不等式，解得即可；【詳解】解：因為方程表示圓，所以，即，解得；故選：D27．若某圓的方程為，則a的值為．【答案】2【分析】由二元二次方程表示的曲線與圓的關系知與的系數相等，求出a，然后驗證可得.【詳解】由，得或，當時，方程為，不滿足題意；當時，方程為表示圓.故答案為：228．畫出方程表示的曲線．【答案】【分析】先求出，，兩邊平方后得到圓的方程，故得到方程表示的曲線為以為圓心，半徑為1的圓的右半部分.【詳解】由題意得：，，方程兩邊平方得：，如圖所示：實線為所求方程表示的曲線為以為圓心，半徑為1的圓的右半部分.重難點5定點到圓上點的最值（范圍)29．點在圓上，點，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】可判斷在圓外，則，計算即可．【詳解】圓的圓心，半徑為，由于在圓外，．故選：D.30．已知半徑為的圓經過點，則其圓心到點的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據圓的性質，求得軌跡方程，由點與圓的位置關系，可得答案.【詳解】由題意，圓心的軌跡方程為，則其圓心到點的距離的最大值為.故選：C.31．設是圓上任意一點，則的最大值為.【答案】9【分析】可以將看成是到上任意一點距離的平方，其最大值為圓心到的距離的再加上半徑最后平方即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為1圓心與距離的最大值為，所以的最大值為故答案為：932．在平面內，一只螞蟻從點出發，爬到軸后又爬到圓上，則它爬到的最短路程是．【答案】【分析】求得點關于軸的對稱點為，結合圓的性質，即可求解.【詳解】由圓，得圓心坐標，半徑為，求得點關于軸的對稱點為，可得.如圖所示，可得爬到的最短路程為.故答案為：33．已知為圓上任意一點，且點，則的最大值為，最小值為．【答案】【分析】分析可知點在圓外，利用圓的幾何性質可求得的最大值和最小值.【詳解】易知圓心，半徑．，所以，點在圓外，所以，，.故答案為：；.34．若方程表示以為圓心，為半徑的圓，則下列結論正確的是（

）A．的最大值為． B．圓關于直線對稱C． D．圓與軸相切【答案】ABC【分析】由的幾何意義，轉化為圓心到定點距離求解可判斷A；判斷直線是否過圓心可判斷B；根據已知直接求解可判斷C；故圓心坐標和半徑關系可判斷D.【詳解】表示圓上動點到定點的距離，因為圓心到的距離為5，所以圓上動點到定點的距離的最大值為，A正確；因為圓心在直線上，所以B正確；由題知，，得，C正確；由題知圓心縱坐標絕對值等于半徑，故該圓與x軸相切，與y軸相交，D錯誤.故答案為：ABC重難點6與圓有關的軌跡問題35．在平面內，A，B是兩個定點，C是動點，若=2，則點C的軌跡為（

）A．拋物線 B．射線 C．圓 D．直線【答案】C【分析】建立合適的平面直角坐標系，設，根據以及向量數量積的坐標形式求解出滿足的關系式，即可判斷出軌跡形狀.【詳解】因為點是兩個定點，不妨設，以所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，

設，，，所以，，由得：，即，所以點C的軌跡為圓.故選：C.36．過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點M，則的最大值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】求出A，B的坐標，并判斷兩直線垂直，推出點M在以為直徑的圓上，求得，即，結合基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意知過定點,動直線即過定點，對于直線和動直線滿足，故兩直線垂直，因此點M在以為直徑的圓上，，則，所以，當且僅當時等號成立，故的最大值為，故選：C37．已知，是圓上的兩個動點，若點在以為直徑的圓上，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設的中點為，得到，根據，得到，設，求得，得出點的軌跡，再由可知，當取最大值時，取最大值，結合圓的性質，即可求解.【詳解】如圖所示，設的中點為，連接，因為點在以為直徑的圓上，所以，所以，連接，，，則，所以，所以，設，則，整理得，所以點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，因為，所以當取最大值時，取最大值，又因為，故的最大值為.故選：B.38．過點的直線與圓交于點B，則線段中點P的軌跡方程為.【答案】【分析】設點P的坐標為，點B為，結合中點坐標公式可得，代入圓