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文檔簡介
2024屆云南省陸良縣八中高考數(shù)學(xué)必刷試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.的內(nèi)角的對邊分別為,若,則內(nèi)角()A. B. C. D.2.學(xué)業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、、、、五個(gè)等級(jí).某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科,這兩科的學(xué)業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中,這兩科等級(jí)均為的學(xué)生有人,這兩科中僅有一科等級(jí)為的學(xué)生,其另外一科等級(jí)為,則該班()A.物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至多有人B.物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至少有人C.這兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生至多有人D.這兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生至少有人3.某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A. B.C. D.4.已知向量,若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.5.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若,,則()A.5 B.3 C.-12 D.-136.過拋物線的焦點(diǎn)且與的對稱軸垂直的直線與交于,兩點(diǎn),,為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn),則的面積為()A.1 B.2 C.4 D.87.已知正方體的棱長為2,點(diǎn)在線段上,且,平面經(jīng)過點(diǎn),則正方體被平面截得的截面面積為()A. B. C. D.8.在條件下,目標(biāo)函數(shù)的最大值為40,則的最小值是()A. B. C. D.29.已知拋物線,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)且MN為過焦點(diǎn)的弦,若,,則的面積為()A. B. C. D.10.在中,是的中點(diǎn),,點(diǎn)在上且滿足,則等于()A. B. C. D.11.三棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.12.已知集合,,若,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.定義在R上的函數(shù)滿足:①對任意的,都有;②當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的解析式可以是______________.14.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對任意正整數(shù),都有,則___15.邊長為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實(shí)線圍成的部分,將所留部分折成一個(gè)正四棱錐.當(dāng)該棱錐的體積取得最大值時(shí),其底面棱長為________.16.函數(shù)的圖象在處的切線與直線互相垂直,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的焦距為2,且過點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)為的左焦點(diǎn),點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線交于兩點(diǎn),(ⅰ)證明:平分線段(其中為坐標(biāo)原點(diǎn));(ⅱ)當(dāng)取最小值時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為:.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),與曲線交于,兩點(diǎn),求取得最大值時(shí)直線的直角坐標(biāo)方程.19.(12分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處取得極值1,證明:(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求證:.21.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,以橢圓C左頂點(diǎn)T為圓心作圓,設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.(1)求橢圓C的方程;(2)求的最小值,并求此時(shí)圓T的方程;(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:為定值.22.(10分)在本題中,我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù):①的定義域和值域都是;②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).(1)若在區(qū)間上是閉函數(shù),求常數(shù)的值;(2)找出所有形如的函數(shù)(都是常數(shù)),使其在區(qū)間上是閉函數(shù).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由正弦定理化邊為角,由三角函數(shù)恒等變換可得.【詳解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理,考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式,掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.2、D【解析】
根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級(jí)為,化學(xué)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級(jí)為,化學(xué)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù),結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,可得出合適的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意可知,名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人(其中物理化學(xué)的有人,物理化學(xué)的有人),表格變?yōu)椋何锢砘瘜W(xué)對于A選項(xiàng),物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至多有人,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對于B選項(xiàng),當(dāng)物理和,化學(xué)都是時(shí),或化學(xué)和,物理都是時(shí),物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少,至少為(人),B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對于C選項(xiàng),在表格中,除去物理化學(xué)都是的學(xué)生,剩下的都是一科為且最高等級(jí)為的學(xué)生,因?yàn)槎际堑膶W(xué)生最少人,所以一科為且最高等級(jí)為的學(xué)生最多為(人),C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對于D選項(xiàng),物理化學(xué)都是的最多人,所以兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生最少(人),D選項(xiàng)正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,考查推理能力,屬于中等題.3、A【解析】
由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置,求出半徑,代入求得表面積公式計(jì)算.【詳解】由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,高為2,底面為等腰直角三角形,斜邊長為,如圖:的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn),,且平面,,的中點(diǎn)為外接球的球心,半徑,外接球表面積.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征,利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.4、D【解析】
由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對于向量問題,若已知垂直,通常可得到兩個(gè)向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡、整理.5、B【解析】
由題得,,解得,,計(jì)算可得.【詳解】,,,,解得,,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,前項(xiàng)和公式,考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.6、C【解析】
設(shè)拋物線的解析式,得焦點(diǎn)為,對稱軸為軸,準(zhǔn)線為,這樣可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,代入拋物線方程可求得,而到直線的距離為,從而可求得三角形面積.【詳解】設(shè)拋物線的解析式,則焦點(diǎn)為,對稱軸為軸,準(zhǔn)線為,∵直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),,是與的交點(diǎn),又軸,∴可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,代入,解得,又∵點(diǎn)在準(zhǔn)線上,設(shè)過點(diǎn)的的垂線與交于點(diǎn),,∴.故應(yīng)選C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì),解題時(shí)只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,就能得出點(diǎn)坐標(biāo),從而求得參數(shù)的值.本題難度一般.7、B【解析】
先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面,然后利用面面平行的性質(zhì)定理,得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示:確定一個(gè)平面,因?yàn)槠矫嫫矫妫裕恚运倪呅问瞧叫兴倪呅?即正方體被平面截的截面.因?yàn)椋裕此杂捎嘞叶ɡ淼茫核运运倪呅喂蔬x:B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì),面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.8、B【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到最值點(diǎn),再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)圖像知:當(dāng)時(shí),有最大值為,即,故..當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù),均值不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.9、A【解析】
根據(jù)可知,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【詳解】由題意可知拋物線方程為,設(shè)點(diǎn)點(diǎn),則由拋物線定義知,,則.由得,則.又MN為過焦點(diǎn)的弦,所以,則,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程應(yīng)用,同時(shí)也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.10、B【解析】
由M是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足可得:P是三角形ABC的重心,根據(jù)重心的性質(zhì),即可求解.【詳解】解:∵M(jìn)是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故選B.【點(diǎn)睛】判斷P點(diǎn)是否是三角形的重心有如下幾種辦法:①定義:三條中線的交點(diǎn).②性質(zhì):或取得最小值③坐標(biāo)法:P點(diǎn)坐標(biāo)是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù).11、B【解析】由題,側(cè)棱底面,,,,則根據(jù)余弦定理可得,的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑,則該三棱錐的外接球的表面積為點(diǎn)睛:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體,熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵.12、B【解析】
解出,分別代入選項(xiàng)中的值進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】解:,.當(dāng)時(shí),,此時(shí)不成立.當(dāng)時(shí),,此時(shí)成立,符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、(或,答案不唯一)【解析】
由可得是奇函數(shù),再由時(shí),可得到滿足條件的奇函數(shù)非常多,屬于開放性試題.【詳解】在中,令,得;令,則,故是奇函數(shù),由時(shí),,知或等,答案不唯一.故答案為:(或,答案不唯一).【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì),涉及到由表達(dá)式確定函數(shù)奇偶性,是一道開放性的題,難度不大.14、【解析】
利用行列式定義,得到與的關(guān)系,賦值,即可求出結(jié)果。【詳解】由,令,得,解得。【點(diǎn)睛】本題主要考查行列式定義的應(yīng)用。15、【解析】
根據(jù)題意,建立棱錐體積的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】設(shè)底面邊長為,則斜高為,即此四棱錐的高為,所以此四棱錐體積為,令,令,易知函數(shù)在時(shí)取得最大值.故此時(shí)底面棱長.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的求解,涉及利用導(dǎo)數(shù)研究體積最大值的問題,屬綜合中檔題.16、1.【解析】
求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直的直線斜率的關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直,函數(shù)的圖象在的切線斜率本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題主要考查直線垂直的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)(ⅰ)見解析(ⅱ)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】
(1)由題意得,再由的關(guān)系求出,即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)(i)設(shè),的中點(diǎn)為,,設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程中,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,結(jié)合三點(diǎn)共線的方法:斜率相等,即可得證;(ii)利用兩點(diǎn)間的距離公式及弦長公式將表示出來,由換元法的對勾函數(shù)的單調(diào)性,可得取最小值時(shí)的條件獲得等量關(guān)系,從而確定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解:(1)由題意得,,所以,所以橢圓方程為(2)設(shè),的中點(diǎn)為,(ⅰ)證明:由,可設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程,得,所以,所以,則直線的斜率為,因?yàn)椋裕匀c(diǎn)共線,所以平分線段;(ii)由兩點(diǎn)間的距離公式得由弦長公式得所以,令,則,由在上遞增,可得,即時(shí),取得最小值4,所以當(dāng)取最小值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】此題考那可是橢圓方程和性質(zhì),主要考查橢圓方程的運(yùn)用,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,同時(shí)考查弦長公式,屬于較難題.18、(1)曲線,曲線.(2).【解析】
(1)用和消去參數(shù)即得的極坐標(biāo)方程;將兩邊同時(shí)乘以,然后由解得直角坐標(biāo)方程.(2)過極點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為,代入到和:中,表示出即可求解.【詳解】解:由和,得,化簡得故:將兩邊同時(shí)乘以,得因?yàn)椋缘玫闹苯亲鴺?biāo)方程.(2)設(shè)直線的極坐標(biāo)方程由,得,由,得故當(dāng)時(shí),取得最大值此時(shí)直線的極坐標(biāo)方程為:,其直角坐標(biāo)方程為:.【點(diǎn)睛】考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用圓的極坐標(biāo)方程中的幾何意義求距離的的最大值方法;中檔題.19、(1)證明見詳解;(2)【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由在處取得極值1,可得且.解出,構(gòu)造函數(shù),分析其單調(diào)性,結(jié)合,即可得到的范圍,命題得證;
(2)由分離參數(shù),得到恒成立,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)函數(shù),再構(gòu)造函數(shù),進(jìn)行二次求導(dǎo).由知,則在上單調(diào)遞增.根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知有唯一零點(diǎn),且.由此判斷出時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞增,則,即.由得,再次構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)分析單調(diào)性,從而得,即,最終求得,則.【詳解】解:(1)由題知,∵函數(shù)在,處取得極值1,,且,,,令,則為增函數(shù),,即成立.(2)不等式恒成立,即不等式恒成立,即恒成立,令,則令,則,,,在上單調(diào)遞增,且,有唯一零點(diǎn),且,當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增.,由整理得,令,則方程等價(jià)于而在上恒大于零,在上單調(diào)遞增,.,∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值,利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點(diǎn)存在定理,證明不等式,解決不等式恒成立問題.其中多次構(gòu)造函數(shù),是解題的關(guān)鍵,屬于綜合性很強(qiáng)的難題.20、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析【解析】
(Ⅰ)求導(dǎo)得到,討論,,三種情況得到單調(diào)區(qū)間.(Ⅱ)設(shè),要證,即證,,設(shè),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到證明.【詳解】(Ⅰ),令,,(1)當(dāng),即時(shí),,,在上單調(diào)遞增;(2)當(dāng),即時(shí),設(shè)的兩根為(),,①若,,時(shí),,所以在和上單調(diào)遞增,時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,②若,,時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(Ⅱ)不妨設(shè),要證,即證,即證,由(Ⅰ)可知,,,可得,,所以有,令
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