2024屆四川省遂寧高級實驗學校高二數學第二學期期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數的零點個數為（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知正三棱柱的所有頂點都在球的球面上，且該正三棱柱的底面邊長為，體積為，則球的表面積為（）A． B． C． D．3．如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔S相距20nmile，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30A．20(2+C．20(6+4．已知關于的方程為（其中），則此方程實根的個數為（）A．2 B．2或3 C．3 D．3或45．設，隨機變量的分布列如圖，則當在內增大時，（）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小6．已知，則的值為（）A． B． C． D．7．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數為（）A．144 B．120 C．72 D．248．將點的極坐標化成直角坐標是(

)A． B． C． D．9．數列中，，（），那么（）A．1 B．-2 C．3 D．-310．甲、乙兩人獨立地對同一目標各射擊一次，其命中率分別為，現已知目標被擊中，則它是被甲擊中的概率是（）A． B． C． D．11．設函數，則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．12．設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數列中，，，則________.14．設，則等于___________．15．已知P是底面為正三角形的直三棱柱的上底面的中心，作平面與棱交于點D．若，則三棱錐的體積為_____．16．若實數，滿足約束條件，則的最大值是_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，數列的前項和為，點（）均在函數的圖像上.（1）求數列的通項公式；（2）設，是數列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數.18．（12分）如圖所示，球的表面積為，球心為空間直角坐標系的原點，且球分別與軸的正交半軸交于三點，已知球面上一點.（1）求兩點在球上的球面距離；（2）過點作平面的垂線，垂足，求的坐標，并計算四面體的體積；（3）求平面與平面所成銳二面角的大小.19．（12分）如圖，斜三棱柱中，側面為菱形，底面是等腰直角三角形，，C．（1）求證：直線直線；（2）若直線與底面ABC成的角為，求二面角的余弦值．20．（12分）已知是等差數列，滿足，，數列滿足，，且是等比數列.（1）求數列和的通項公式；（2）求數列的前項和.21．（12分）如圖，已知長方形中，，，M為DC的中點.將沿折起，使得平面⊥平面.（1）求證：；（2）若點是線段上的一動點，問點在何位置時，二面角的余弦值為.22．（10分）已知直線的方程為，圓的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系．（1）求直線與圓的交點的極坐標；（2）若為圓上的動點，求到直線的距離的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】，如圖，由圖可知，兩個圖象有2個交點，所以原函數的零點個數為2個，故選C．2、C【解題分析】

正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的表面積．【題目詳解】由題意可知，正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，底面中心到頂點的距離為，設正三棱柱的高為，由，得，∴外接球的半徑為，∴外接球的表面積為：．故選C．【題目點撥】本題主要考查了正三棱柱的外接球的表面積的求法，找出球的球心是解題的關鍵，考查空間想象能力與計算能力，是中檔題．3、B【解題分析】由題意可知：SM=20，∠NMS=45°∴SM與正東方向的夾角為75°，MN與正東方向的夾角為60°，∴SNM=105°，∠MSN=30°?MNS中利用正弦定理可得MNMN=∴貨輪的速度v=故選B4、C【解題分析】分析：將原問題轉化為兩個函數交點個數的問題，然后利用導函數研究函數的性質即可求得最終結果.詳解：很明顯不是方程的根，據此可將方程變形為：，原問題等價于考查函數與函數的交點的個數，令，則，列表考查函數的性質如下：++-++單調遞增單調遞增單調遞減單調遞減單調遞增函數在有意義的區間內單調遞增，故的單調性與函數的單調性一致，且函數的極值繪制函數圖像如圖所示，觀察可得，與函數恒有3個交點，即題中方程實根的個數為3.本題選擇C選項.點睛：函數零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．5、D【解題分析】

先求數學期望，再求方差，最后根據方差函數確定單調性.【題目詳解】，，，∴先增后減，因此選D.【題目點撥】6、B【解題分析】

根據導函數求得，從而得到，代入得到結果.【題目詳解】由題意：，則解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查導數值的求解問題，關鍵是能夠通過導函數求得，從而確定導函數的解析式.7、D【解題分析】試題分析：先排三個空位，形成4個間隔，然后插入3個同學，故有種考點：排列、組合及簡單計數問題8、A【解題分析】本題考查極坐標與直角坐標的互化由點M的極坐標，知極坐標與直角坐標的關系為，所以的直角坐標為即故正確答案為A9、A【解題分析】∵，∴，即，∴，∴，∴是以6為周期的周期數列.∵2019=336×6+3，∴．故選B.10、D【解題分析】分析：根據題意，記甲擊中目標為事件A，乙擊中目標為事件B，目標被擊中為事件C，由相互獨立事件的概率公式，計算可得目標被擊中的概率，進而由條件概率的公式，計算可得答案．詳解：根據題意，記甲擊中目標為事件A，乙擊中目標為事件B，目標被擊中為事件C，則P（C）=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9；則目標是被甲擊中的概率為P=.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查獨立事件的概率和條件概率，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)條件概率的公式:，=.條件概率一般有“在已發生的條件下”這樣的關鍵詞，表明這個條件已經發生，發生了才能稱為條件概率.但是有時也沒有，要靠自己利用條件概率的定義識別.11、C【解題分析】

試題分析：令，則，當時，，由的導數為，當時，在遞增，即有，則方程無解；當時，成立，由，即，解得且；或解得，即為，綜上所述實數的取值范圍是，故選C.考點：分段函數的綜合應用.【方法點晴】本題主要考查了分段函數的綜合應用，其中解答中涉及到函數的單調性、利用導數研究函數的單調性、函數的最值等知識點的綜合考查，注重考查了分類討論思想和轉化與化歸思想，以及學生分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于難題，本題的解答中構造新的函數，利用新函數的性質是解答的關鍵.12、A【解題分析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率．【題目詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，故選A．【題目點撥】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優先考慮幾何法，避免代數法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先根據分組求和得再求極限得結果.【題目詳解】因為，所以因此故答案為：【題目點撥】本題考查分組求和以及數列極限，考查基本分析求解能力，屬中檔題.14、【解題分析】

根據微積分基本定理可得，再結合函數解析式，根據牛頓萊布尼茨定理計算可得；【題目詳解】解：因為所以故答案為：【題目點撥】本題考查利用定積分求曲邊形的面積，屬于基礎題.15、【解題分析】

由題意畫出圖形，求出AD的長度，代入棱錐體積公式求解．【題目詳解】如圖，∵P為上底面△A1B1C1的中心，∴A1P，∴tan．設平面BCD交AP于F，連接DF并延長，交BC于E，可得∠DEA＝∠PAA1，則tan∠DEA．∵AE，∴AD．∴三棱錐D﹣ABC的體積為V．故答案為．【題目點撥】本題考查多面體體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，是中檔題．16、8【解題分析】

畫出可行域，將基準直線向下平移到可行域邊界位置，由此求得目標函數的最大值.【題目詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標函數在點處取得最大值，且最大值為.【題目點撥】本小題主要考查利用線性規劃求目標函數的最大值的方法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）1．【解題分析】分析：（1）由已知條件推導出，由此能求出；（2）由，利用裂項求和法求出，由此能求出滿足要求的最小整數.詳解：（1）當時，當時，符合上式綜上，（2）所以由對所有都成立，所以，得,故最小正整數的值為.點睛：利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調整前面的系數，使裂開的兩項之差和系數之積與原通項公式相等．18、（1）；（2）；（3）.【解題分析】分析：（1）根據題意求出，即可得到兩點在球上的球面距離；（2）根據題意，可證與重合，利用向量可求，求出的面積，即可得到四面體的體積；（3）利用空間向量可求面與平面所成銳二面角的大小..詳解：（1），，，∴∴，∴，兩點在球上的球面距離；（2），面，，，∴，∴，∴與重合，∴，的面積，則四面體的體積.（3）設平面的法向量，得得平面的法向量，設兩法向量夾角，，所以所成銳二面角的大小為.點睛：本題考查球面距離，幾何體的體積，利用空間向量求二面角的大小，屬中檔題.19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）先證平面，再證平面，可證直線直線（2）由作AB的垂線，垂足為D，則平面ABC，過A作的平行線，交于E點，則平面ABC，以AB,AC,AE分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，由空間向量法可求得二面角．【題目詳解】證明：連接，側面為菱形，，又C，，平面，，又，，平面，平面，直線直線；解：由知，平面平面，由作AB的垂線，垂足為D，則平面ABC，，得D為AB的中點，過A作的平行線，交于E點，則平面ABC，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則為平面的一個法向量，則0，，2，，，設平面的法向量，由，取，得，，故二面角的余弦值為．【題目點撥】利用向量法求二面角的注意事項：(1)兩平面的法向量的夾角不一定就是所求的二面角，有可能是兩法向量夾角的補角為所求；(2)求平面的法向量的方法有，①待定系數法，設出法向量坐標，利用垂直關系建立坐標的方程，解之即可得法向量；②先確定平面的垂線，然后取相關線段對應的向量，即確定了平面的法向量．20、（1），；（2）【解題分析】試題分析：（1）利用等差數列，等比數列的通項公式先求得公差和公比，即得到結論;（2）利用分組求和法，由等差數列及等比數列的前n項和公式即可求得數列前n項和．試題解析：（Ⅰ）設等差數列{an}的公差為d，由題意得d===1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n設等比數列{bn﹣an}的公比為q，則q1===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=1n+2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=1n+2n﹣1，∵數列{1n}的前n項和為n（n+1），數列{2n﹣1}的前n項和為1×=2n﹣1，∴數列{bn}的前n項和為；考點：1.等差數列性質的綜合應用；2.等比數列性質的綜合應用；1.數列求和．21、（1）見解析；（2）為中點．【解題分析】

（1）證明：∵長方形ABCD中，AB=，AD=，M為DC的中點，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD?平面ADM∴AD⊥BM.（2）建立如圖所示的直角坐標系設，則平面AMD的一個法向量，，設平面