2024屆云南省玉溪市峨山一中高二數學第二學期期末聯考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，現從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素集合，則可以組成這樣的新集合的個數為（）A． B． C． D．2．隨機變量的概率分布為，其中是常數，則（）A． B． C． D．3．下列命題中，真命題是（）A． B．C．的充要條件是 D．是的充分條件4．在平面直角坐標系中，不等式組x+y≤0x-y≤0x2+y2≤r2(rA．－1B．－5C．13D．－5．函數在點處的導數是（）．A．0 B．1 C．2 D．36．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那么互斥而不對立的事件是（）A．至少有一個紅球與都是紅球B．至少有一個紅球與都是白球C．恰有一個紅球與恰有二個紅球D．至少有一個紅球與至少有一個白球7．下列命題錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．若為假命題，則均為假命題C．對于命題：，使得，則：，均有D．“”是“”的充分不必要條件8．已知復數為虛數單位，是的共軛復數，則（）A． B． C． D．9．復數等于（）A． B． C．0 D．10．在邊長為1的正中，，是邊的兩個三等分點（靠近于點），等于（）A． B． C． D．11．對四組數據進行統計，獲得如圖所示的散點圖，關于其相關系數的比較，正確的是()A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r312．楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年發現這一規律的.我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，這是我國數學史上的一個偉大成就.如圖所示，在“楊輝三角”中，去除所有為1的項，依次構成數列，則此數列前135項的和為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量與共線且方向相同，則_____.14．對于三次函數，定義：設是函數的導數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”，有同學發現“任何一個三次函數都有‘拐點’；任何一個三次函數都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心.”根據此發現，若函數，計算__________．15．已知，，則向量，的夾角為________.16．從一批含有13只正品,2只次品的產品中,不放回地抽取3次,每次抽一只,設抽取次品數為,則=_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是．（Ⅰ）求展開式中各項二項式系數的和；（Ⅱ）求展開式中中間項．18．（12分）某中學開設了足球、籃球、乒乓球、排球四門體育課程供學生選學，每個學生必須且只能選學其中門課程.假設每個學生選學每門課程的概率均為，對于該校的甲、乙、丙名學生，回答下面的問題.（1）求這名學生選學課程互不相同的概率；（2）設名學生中選學乒乓球的人數為，求的分布列及數學期望.19．（12分）在直角坐標系中，圓C的方程為，以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．(1)求圓C的極坐標方程；(2)直線的極坐標方程是，射線與圓C的交點為，與直線的交點為，求線段的長．20．（12分）2017年3月智能共享單車項目正式登陸某市，兩種車型“小綠車”、“小黃車”采用分時段計費的方式，“小綠車”每30分鐘收費元不足30分鐘的部分按30分鐘計算；“小黃車”每30分鐘收費1元不足30分鐘的部分按30分鐘計算有甲、乙、丙三人相互獨立的到租車點租車騎行各租一車一次設甲、乙、丙不超過30分鐘還車的概率分別為，，，三人租車時間都不會超過60分鐘甲、乙均租用“小綠車”，丙租用“小黃車”．求甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用的概率；2設甲、乙、丙三人所付的費用之和為隨機變量，求的分布列和數學期望．21．（12分）在數列an中，a（1）求a2（2）猜想an22．（10分）已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且，求直線的斜率的取值范圍；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：根據解元素的特征可將其分類為：集合中有5和沒有5兩類進行分析即可.詳解：第一類：當集合中無元素5：種，第二類：當集合中有元素5：種，故一共有14種，選C點睛：本題考查了分類分步計數原理，要做到分類不遺漏，分步不重疊是解題關鍵.2、B【解題分析】分析：由已知得可得a值，在求出期望算方差即可.詳解：因為隨機變量的概率分布為，故得，故E（X）=,又，而,故=，選B點睛：考查分布列的性質和期望、方差的計算，熟悉公式即可，屬于基礎題.3、D【解題分析】A：根據指數函數的性質可知恒成立，所以A錯誤．

B：當時，，所以B錯誤．

C：若時，滿足，但不成立，所以C錯誤．D：則，由充分必要條件的定義，，是的充分條件，則D正確．

故選D．4、D【解題分析】作出不等式組表示的平面區域，如圖所示，由題意，知14πr2=π，解得r=2．因為目標函數z=x+y+1x+3=1+y-2x+3表示區域內上的點與點P(-3,2)連線的斜率加上1，由圖知當區域內的點與點P的連線與圓相切時斜率最小．設切線方程為y-2=k(x+3)，即5、C【解題分析】

求導后代入即可.【題目詳解】易得,故函數在點處的導數是.故選：C【題目點撥】本題主要考查了導數的運算,屬于基礎題.6、C【解題分析】

從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，不同的取球情況共有以下幾種：3個球全是紅球；2個紅球和1個白球；1個紅球2個白球；3個全是白球.選項A中，事件“都是紅球”是事件“至少有一個紅球”的子事件；選項B中，事件“至少有一個紅球”與事件“都是白球”是對立事件；選項D中，事件“至少有一個紅球”與事件“至少有一個白球”的事件為“2個紅球1個白球”與“1個紅球2個白球”；選項C中，事件“恰有一個紅球”與事件“恰有2個紅球”互斥不對立，故選C.7、B【解題分析】

由原命題與逆否命題的關系即可判斷A；由復合命題的真值表即可判斷B;由特稱命題的否定是全稱命題即可判斷C；根據充分必要條件的定義即可判斷D；．【題目詳解】A．命題：“若p則q”的逆否命題為：“若￢q則￢p”，故A正確；B．若p∧q為假命題，則p，q中至少有一個為假命題，故B錯．C．由含有一個量詞的命題的否定形式得，命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，則￢p為：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故C正確；D．由x2﹣3x+2＞0解得，x＞2或x＜1，故x＞2可推出x2﹣3x+2＞0，但x2﹣3x+2＞0推不出x＞2，故“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要條件，即D正確故選：B．【題目點撥】本題考查簡易邏輯的基礎知識：四種命題及關系，充分必要條件的定義，復合命題的真假和含有一個量詞的命題的否定，這里要區別否命題的形式，本題是一道基礎題．8、C【解題分析】，選C.9、A【解題分析】

直接化簡得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點撥】本題考查了復數的化簡，屬于簡單題.10、C【解題分析】試題分析：如圖，，是邊的兩個三等分點，故選C.考點：平面向量數量積的運算11、A【解題分析】

根據正相關和負相關以及相關系數的知識，選出正確選項.【題目詳解】由散點圖可知圖(1)與圖(3)是正相關，故r1>0，r3>0，圖(2)與圖(4)是負相關，故r2<0，r4<0，且圖(1)與圖(2)的樣本點集中在一條直線附近，因此r2<r4<0<r3<r1.故選:A.【題目點撥】本小題主要考查散點圖，考查相關系數、正相關和負相關的理解，屬于基礎題.12、A【解題分析】

利用n次二項式系數對應楊輝三角形的第n+1行，然后令x＝1得到對應項的系數和，結合等比數列和等差數列的公式進行轉化求解即可．【題目詳解】n次二項式系數對應楊輝三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系數分別為1，2，1，對應楊輝三角形的第3行，令x＝1，就可以求出該行的系數之和，第1行為20，第2行為21，第3行為22，以此類推即每一行數字和為首項為1，公比為2的等比數列，則楊輝三角形的前n項和為Sn2n﹣1，若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數為1，2，3，4，……，可以看成一個首項為1，公差為1的等差數列，則Tn，可得當n＝15，在加上第16行的前15項時，所有項的個數和為135，由于最右側為2，3，4，5，……，為首項是2公差為1的等差數列，則第16行的第16項為17，則楊輝三角形的前18項的和為S18＝218﹣1，則此數列前135項的和為S18﹣35﹣17＝218﹣53，故選：A．【題目點撥】本題主要考查歸納推理的應用，結合楊輝三角形的系數與二項式系數的關系以及等比數列等差數列的求和公式是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

先根據向量平行，得到，計算出t的值，再檢驗方向是否相同．【題目詳解】因為向量與共線且方向相同所以得．解得或．當時，，不滿足條件；當時，，與方向相同，故．【題目點撥】本題考查兩向量平行的坐標表示，屬于基礎題.14、1【解題分析】分析：求出二階導數，再求出的拐點，即對稱點，利用對稱性可求值．詳解：，，由得，，即的圖象關于點對稱，∴，∴．故答案為1．點睛：本題考查導數的計算，考查新定義，解題關鍵是正確理解新概念，轉化新定義．通過求出的拐點，得出對稱中心，從而利用配對法求得函數值的和．15、【解題分析】

根據條件即可求出,利用,根據向量的夾角范圍即可得出夾角.【題目詳解】,.,故答案為:.【題目點撥】本題考查向量的數量積公式,向量數量積的坐標表示,屬于基礎題,難度容易.16、3【解題分析】抽取次品數滿足超幾何分布：，故，，，其期望，故.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）64；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）根據展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是求出的值，然后可求各項二項式系數的和；（Ⅱ）根據的值確定中間項，利用通項公式可求.【題目詳解】解：由題意知，展開式的通項為：，且，則第五項的系數為，第三項的系數為，則有，化簡，得，解得，展開式中各項二項式系數的和；由（1）知，展開式共有7項，中間項為第4項，令，得．【題目點撥】本題主要考查二項展開式的系數及特定項求解，通項公式是求解這類問題的鑰匙，側重考查數學運算的核心素養.18、（1）；（2）分布列見解析，期望為．【解題分析】分析：（1）每個學生必須且只能選學其中門課程，每一個人都有4種選擇，共有，名學生選學課程互不相同，則有種，從而求解；（2）的所有可能取值為，，，，分別算出對應的概率，再利用期望公式求解.詳解：（1）名學生選學的課程互不相同的概率.（2）的所有可能取值為，，，，，，，，∴的分布列為：.點睛：求隨機變量及其分布列的一般步驟(1)明確隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義．(2)利用排列、組合知識或互斥事件、獨立事件的概率公式求出隨機變量取每個可能值的概率；(3)按規范形式寫出隨機變量的分布列，并用分布列的性質驗證．19、(1)；(2)3.【解題分析】

（1）通過直角坐標與極坐標互化公式，即可求得圓C的極坐標方程；（2）直接聯立直線方程和射線方程可以解出點Q，聯立圓的方程和射線方程求出點P，即可求得線段的長?！绢}目詳解】(1)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋(y－2)2＝4，得圓C的極坐標方程為.(2)設P(ρ1，θ1)，則由,解得ρ1＝2，θ1＝.設Q(ρ2，θ2)，則由,解得ρ2＝5，θ2＝.所以|PQ|＝ρ2－ρ1＝3.【題目點撥】本題主要考查普通方程與極坐標方程的互化，曲線交點的求法以及極坐標方程的應用，考查學生的數學運算能力。20、(1);(2)見解析.【解題分析】

（1）利用相互獨立事件的概率公式，分兩種情況計算概率即可；（2）根據相互獨立事件的概率公式求出各種情況下的概率，得出分布列，利用公式求解數學期望．【題目詳解】（I）由題意得，甲乙丙在30分鐘以上且不超過60分鐘還車的概率分別為．記甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用為事件A．則，答：甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用的概率為，（Ⅱ）ξ可能取值有2，2.5，3，3.5，4，∴；；；，．甲、乙、丙三人所付的租車費用之和ξ的分布列為：ξ22.533.54P∴．【題目點撥】本題主要考查了相互對立事件的概率的計算，以及離散型隨機變量的分布列、數學期望的求解，其中正確理解題意，利用相互獨立事件的概率計算公式求解