2024屆江蘇省南京市、鹽城市數學高二下期末統考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．元朝著名數學家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩:“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當原多少酒?”用程序框圖表達如圖所示，即最終輸出的，則一開始輸入的x的值為()A． B． C． D．2．在中，為邊上一點，且，向量與向量共線，若，，，則（）A．3 B． C．2 D．3．已知函數，當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．5．的展開式中有理項系數之和為（）A． B． C． D．6．的值為（）A．0 B．2 C．－1 D．17．已知是虛數單位，則在復平面內對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．如果根據是否愛吃零食與性別的列聯表得到，所以判斷是否愛吃零食與性別有關，那么這種判斷犯錯的可能性不超過（）注：0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A．2.5% B．0.5% C．1% D．0.1%9．若函數有三個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．10．等比數列的各項均為正數，且，則（）A．12 B．10C．9 D．11．展開式中的所有項系數和是（）A．0 B．1 C．256 D．51212．隨機拋擲一枚骰子，則所得骰子點數的期望為（）A．0.6 B．1 C．3.5 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量與平行．則__．14．一個長方體共一項點的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是____________.15．若對一切恒成立，則a的取值范圍為________.16．同宿舍的6個同學站成一排照相，其中甲只能站兩端，乙和丙必須相鄰，一共有_____種不同排法（用數字作答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓M的方程是，直線與橢圓M交于A、B兩點，且橢圓M上存在點滿足，求的值.18．（12分）已知函數當時，討論的導函數在區間上零點的個數；當時，函數的圖象恒在圖象上方，求正整數的最大值.19．（12分）如圖，在多面體中，四邊形為等腰梯形，，已知，，，四邊形為直角梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）設分別為橢圓的左、右焦點，點為橢圓的左頂點，點為橢圓的上頂點，且.（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；（2）設為橢圓上一點，且在第一象限內，直線與軸相交于點，若以為直徑的圓經過點，證明：點在直線上.21．（12分）已知函數．（1）若不等式無解,求實數的取值范圍；（2）當時，函數的最小值為,求實數的值．22．（10分）已知函數，其中為實數.（1）求函數的單調區間；（2）若函數有兩個極值點，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環結構計算輸入時變量x的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的變化情況，可得到答案.【題目詳解】本題由于已知輸出時x的值，因此可以逆向求解：輸出,此時；上一步：,此時；上一步：,此時；上一步：,此時；故選：B.【題目點撥】本題考查了程序框圖的循環結構，考查了學生邏輯推理和數學運算的能力，屬于基礎題.2、B【解題分析】取BC的中點E，則與向量共線，所以A、D、E三點共線，即中邊上的中線與高線重合，則.因為，所以G為的重心，則所以本題選擇B選項.3、A【解題分析】

令，由可知在上單調遞增，從而可得在上恒成立；通過分離變量可得，令，利用導數可求得，從而可得，解不等式求得結果.【題目詳解】由且得：令，可知在上單調遞增在上恒成立，即：令，則時，，單調遞減；時，，單調遞增，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據函數的單調性求解參數范圍的問題，關鍵是能夠將已知關系式變形為符合單調性的形式，從而通過構造函數將問題轉化為導數大于等于零恒成立的問題；解決恒成立問題常用的方法為分離變量，將問題轉化為參數與函數最值之間的大小關系比較的問題，屬于常考題型.4、A【解題分析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率．【題目詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，故選A．【題目點撥】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優先考慮幾何法，避免代數法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．5、B【解題分析】分析：在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數為整數，求出r的值，再利用二項式系數的性質，即可求得展開式中有理項系數之和．詳解：（1+）6的展開式的通項公式為Tr+1=?，令為整數，可得r=0，2，4，6，故展開式中有理項系數之和為+++=25=32，故選：B．點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數6、D【解題分析】分析：求二項展開式系數和一般方法為賦值法，即分別令x=1與x=-1得，最后相乘得結果.詳解：令，則，令，則，因此，選D.點睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數之和，只需令即可.7、A【解題分析】

分子分母同時乘以，化簡整理，得出，再判斷象限．【題目詳解】，在復平面內對應的點為（），所以位于第一象限．故選A．【題目點撥】本題考查復數的基本運算及復數的幾何意義，屬于基礎題.8、A【解題分析】

根據得到，得到答案.【題目詳解】，故，故判斷“是否愛吃零食與性別有關”出錯的可能性不超過2.5%.故選：.【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗問題，意在考查學生的理解能力和應用能力.9、A【解題分析】

令分離常數，構造函數，利用導數研究的單調性和極值，結合與有三個交點，求得的取值范圍.【題目詳解】方程可化為，令，有，令可知函數的增區間為，減區間為、，則，，當時，，則若函數有3個零點，實數的取值范圍為．故選A.【題目點撥】本小題主要考查利用導數研究函數的零點，考查利用導數研究函數的單調性、極值，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.10、C【解題分析】

先利用等比中項的性質計算出的值，再利用對數的運算性質以及等比中項的性質得出結果．【題目詳解】由等比中項的性質可得，等比數列的各項均為正數，則，由對數的運算性質得，故選C.【題目點撥】本題考查等比中項和對數運算性質的應用，解題時充分利用這些運算性質，可簡化計算，考查計算能力，屬于中等題．11、B【解題分析】

令，可求出展開式中的所有項系數和.【題目詳解】令，則，即展開式中的所有項系數和是1，故選B.【題目點撥】本題考查了二項式定理的應用，考查了展開式的系數和的求法，屬于基礎題.12、C【解題分析】

寫出分布列，然后利用期望公式求解即可．【題目詳解】拋擲骰子所得點數的分布列為123456所以．故選：．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意利用兩個向量共線的性質，兩個向量坐標形式的運算法則，求得的值．【題目詳解】由題意，向量與平行，所以，解得．故答案為．【題目點撥】本題主要考查了兩個向量共線的性質，兩個向量坐標形式的運算，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．14、【解題分析】

由長方體對角線與棱長的關系計算．【題目詳解】設長方體的長、寬、高分別為，則，解得，∴對角線長．故答案為．【題目點撥】本題考查求長方體的對角線長，設長方體棱長分別為，則對角線長．15、【解題分析】

由題意可得恒成立，設，求得導數和單調性、極值和最值，即有a小于最小值．【題目詳解】對一切恒成立，可得恒成立，設，則，，當時，，遞增；時，，遞減，可得處取得極小值，且為最小值4，可得．故答案為：．【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離和導數的運用，考查運算能力，屬于中檔題．16、【解題分析】

設甲乙丙之外的三人為A、B、C，將乙和丙看作一個整體，與A、B、C三人全排列，然后排甲，甲只能在兩端，有2種站法，利用分步乘法計數原理可求出答案.【題目詳解】設甲乙丙之外的三人為A、B、C，將乙和丙看作一個整體，與A、B、C三人全排列，有種，甲只能在兩端，甲有2種站法，則共有種排法.【題目點撥】本題考查了排列組合，考查了相鄰問題“捆綁法”的運用，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

設出點A,B的坐標，聯立準線方程與橢圓方程，結合韋達定理和平面向量的坐標運算法則可得關于實數m的方程，解方程即可確定m的值.【題目詳解】設，聯立，得，，解得，，，在橢圓上，，解得.【題目點撥】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．18、（1）當時，在存在唯一零點；當時，在沒有零點（2）【解題分析】

（1）首先求，令，然后求，討論當時，，判斷函數的單調性和端點值，判斷函數是否有零點；當時，同樣是判斷函數的單調性，然后結合零點存在性定理，可判斷函數是否存在零點；（2）由，參變分離求解出在上恒成立，轉化為求函數的最小值，設，，利用導數判斷函數的單調性，求得函數的最小值.【題目詳解】解：（1）.令，，則,①當時，當，，單調遞減，又，所以對時，，此時在不存在零點.②當時，當，，單調遞減.又因為，取，則，即.根據零點存在定理，此時在存在唯一零點.綜上，當時，在存在唯一零點；當時，在沒有零點.（2）由已知得在上恒成立.設，，則因為時，所以，設，，所以在上單調遞增，又，，由零點存在定理，使得，即,，且當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增.所以，又在上單調遞減，而，所以，因此，正整數的最大值為.【題目點撥】本題第一問考查了判斷函數零點個數的問題，這類問題需判斷函數的單調性，再結合函數零點存在性定理判斷，已知函數是單調函數的前提下，需滿足，才可以說明區間內存在唯一零點，但難點是有時候或不易求得，本題中，證明的過程中，用到了，以及只有時，才有，這種賦端點值是比較難的.19、（1）見解析（2）【解題分析】分析：（1）通過取AD中點M，連接CM，利用，得到直角；再利用可得；而,DE平面ADEF，所以可得面面垂直．（2）以AD中點O建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求得平面CAE與直線BE向量，根據直線與法向量的夾角即可求得直線與平面夾角的正弦值．詳解：（1）證明：取的中點，連接，，，由四邊形為平行四邊形，可知，在中，有，∴.又，，∴平面，∵平面，∴.又，，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知平面平面，如圖，取的中點為，建立空間直角坐標系，，，，，，，.設平面的法向量，則，即，不妨令，得.故直線與平面所成角的正弦值.點睛：本題考查了空間幾何體面面垂直的綜合應用，利用法向量法求線面夾角的正弦值，關鍵注意計算要準確，屬于中檔題．20、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）設，由，得，且，得，，，∴橢圓的方程為；（2）由題意，得，∴橢圓的方程，則，，，設，由題意知，則直線的斜率，直線的方程為，當時，，即點，直線的斜率為，∵以為直徑的圓經過點，∴，∴，化簡得，又∵為橢圓上一點，且在第一象限內，∴，，，由①②，解得，，∴，即點在直線上．21、(1);(2).【解題分析】分析：⑴化簡不等式得，利用不等式性質轉化為時滿足題意，求出實數的取值范圍⑵由代入化簡不等式得不等式組，結合單調性求出最小值詳解：（Ⅰ）∵，∵，當時取等號，∴要使不等式無解，只需，解得或，則實數的取值范圍為：.（Ⅱ）因為，所以，∴在上是減函數，在上是增函數，所以，解得適合.點睛：本題考查了含有絕對值不等式的解答，運用不等式的性質進行化簡，求出最值，當參數確定范圍時，代入進行化簡得到函數的表達式，根據單調性求出結果．22、（1）見解析；（2）證明見解析【解題分析】

（1）計算導數，采用分類討論的方法，，與，根據導數的符號判定原函數的單調性，可得結果.（2）根據（1）的結論，可得，然后構造新函數，通過導數研究新函數的單調性，