第三章一階微分方程解的

存在唯一性定理Existence&UniquenessTheorem

ofFirst-OrderODE2024/2/11常微分方程-重慶科技學院-李可人

第三章一階微分方程解的存在唯一性定理

/Existence&UniquenessTheoremofFirst-OrderODE/

解的存在唯一性定理與逐步逼近法

解的一般性質

奇解*

近似計算和誤差估計2024/2/12常微分方程-重慶科技學院-李可人研究對象主要問題存在性，存在區間？唯一性？延拓性，最大存在區間？初值微小變動時，解的變化情況？本章要求

掌握逐步逼近方法的基本思想

會用解的存在唯一性和延拓定理解決具體問題Ch.3Existence&UniquenessTheoremofFirst-OrderODE

2024/2/13常微分方程-重慶科技學院-李可人

深刻理解解的存在唯一性定理的條件與結論

理解解的一般性質

掌握求奇解的兩個方法

利用逐步逼近序列進行似計算和誤差估計

掌握逐步逼近方法的本思想解的延拓解對初值的連續依賴性和可微性本章要求/Requirements/Ch.3Existence&UniquenessTheoremofFirst-OrderODE

2024/2/14常微分方程-重慶科技學院-李可人§3.1解的存在唯一性定理和

逐步逼近法

/Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod/概念和定義存在唯一性定理內容提要/ConstantAbstract/§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/16常微分方程-重慶科技學院-李可人本節要求/Requirements/

掌握逐步逼近方法的本思想

深刻理解解的存在唯一性定理的條件與結論§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/17常微分方程-重慶科技學院-李可人一、概念與定義/ConceptandDefinition/1.一階方程的初值問題(Cauchyproblem)表示§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/18常微分方程-重慶科技學院-李可人2.利普希茲條件

函數稱為在矩形域:…………(3.1.5)關于y

滿足利普希茲(Lipschitz)條件，如果存在常數L>0使得不等式對所有都成立。L

稱為利普希茲常數。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/19常微分方程-重慶科技學院-李可人二、存在唯一性定理

定理1如果f(x,y)

在R上連續且關于y滿足利普希茲條件,則方程(3.1.1)存在唯一的連續解定義在區間,且滿足初始條件這里§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/110常微分方程-重慶科技學院-李可人定理1的證明需要證明五個命題：

命題1求解微分方程的初值問題等價于求解一個積分方程

命題2構造一個連續的逐步逼近序列

命題3證明此逐步逼近序列一致收斂

命題4證明此收斂的極限函數為所求初值問題的解

命題5證明唯一性§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/111常微分方程-重慶科技學院-李可人定理1的證明命題1

設是初值問題的解的充要條件是是積分方程……(3.1.6)的定義于上的連續解。證明:微分方程的初值問題的解滿足積分方程（3.1.6）。積分方程（3.1.6）的連續解是微分方程的初值問題的解。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/112常微分方程-重慶科技學院-李可人證明因為是方程(3.1.1)的解，故有:兩邊從積分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:因此,是積分方程在上的連續解.§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/113常微分方程-重慶科技學院-李可人反之，如果是(3.1.6)的連續解，則有：………(3.1.8)微分之，得到:又把

代入(3.1.8)，得到:因此，是方程(3.1.1)定義于上，且滿足初始條件(3.1.2)的解。命題1證畢.同理，可證在也成立。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/114常微分方程-重慶科技學院-李可人現在取，構造皮卡逐步逼近函數序列如下:§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/115常微分方程-重慶科技學院-李可人xyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+h§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/116常微分方程-重慶科技學院-李可人命題2

對于所有的(3.1.9)中函數在上有定義、連續，即滿足不等式:證明:

（只在正半區間來證明，另半區間的證明類似）當n=1

時,§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/117常微分方程-重慶科技學院-李可人即命題2當n=1時成立。現在用數學歸納法證明對于任何正整數n

，命題2都成立。即當n=k

時，在也就是滿足不等式在上有定義,連續上有定義，連續，而當n=k+1

時，上有定義，連續。在§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/118常微分方程-重慶科技學院-李可人

即命題２在n=k＋１時也成立。由數學歸納法得知命題２對于所有n

均成立。命題３在上是一致收斂的。命題２證畢函數序列考慮級數:它的部分和為：§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/119常微分方程-重慶科技學院-李可人為此，進行如下的估計，由逐步逼近序列(3.1.9)有:§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/120常微分方程-重慶科技學院-李可人設對于正整數n,不等式成立，于是，由數學歸納法得到：對于所有的正整數k，有如下的估計:§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/121常微分方程-重慶科技學院-李可人由此可知，當時(3.1.14)的右端是正項收斂級數的一般項，由維爾斯特拉斯(Weierstrass)判別法(簡稱維氏判別法),級數(3.1.11)在上一致收斂,因而序列也在上一致收斂。命題3證畢§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/122常微分方程-重慶科技學院-李可人則也在又可知現設上連續，且由(3.1.10)命題4

是積分方程(3.1.6)的定義于證明:由利普希茲條件以及在上一致收斂于上的連續解。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/123常微分方程-重慶科技學院-李可人因而，對(3.1.9)兩邊取極限,得到:即即知序列在一致收斂這就是說,是積分方程(3.1.16)的定義于上的連續解。命題4證畢§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/124常微分方程-重慶科技學院-李可人命題5也是積分方程(3.1.6)的定義于

上的一個連續解,則證明若首先證明也是序列的一致收斂極限函數。為此，從進行如下的估計§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/125常微分方程-重慶科技學院-李可人現設則有§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/126常微分方程-重慶科技學院-李可人有故由數學歸納法得知對于所有的正整數n

，有下面的估計式§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/127常微分方程-重慶科技學院-李可人因此，在上有:是收斂級數的公項,故時因而在上一致收斂于根據極限的唯一性，即得:命題5證畢綜合命題1-5，即得到存在唯一性定理的證明。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/128常微分方程-重慶科技學院-李可人例求初值問題的第三次近似解。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/129常微分方程-重慶科技學院-李可人附注/Remark/1）如果在R

上存在且連續,則f(x,y)

在R上關于

y

滿足利普希茲條件，反之不成立。證在R上連續，則在R上有界，記為L由中值定理故

f(x,y)

在R上關于y滿足利普希茲條件。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/130常微分方程-重慶科技學院-李可人這條件是充分條件，而非必要條件。例1R為中心在原點的矩形域但故

f(x,y)

在R上關于y滿足利普希茲條件。在R上存在且有界

f(x,y)

在R上關于y滿足利普希茲條件。在R上存在且無界

f(x,y)

在R上關于y不滿足利普希茲條件。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/131常微分方程-重慶科技學院-李可人2)定理1中的兩個條件是保證CauchyP存在唯一的充分條件，而非必要條件。例2

當連續條件不滿足時，解也可能存在唯一。f(x,y)

在以原點為中心的矩形域中不連續，但解存在唯一§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/132常微分方程-重慶科技學院-李可人例3

當Lipscitz條件不滿足時，解也可能存在唯一。f(x,y)

在(x,0)的任何鄰域內不滿足Lipscitz條件，但解存在唯一不可能有界§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/133常微分方程-重慶科技學院-李可人xy§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/134常微分方程-重慶科技學院-李可人

例4

設方程(3.1)為線性方程則當P(x),Q(x)

在區間上連續，則由任一初值所確定的解在整個區間上都存在。3）若f(x,y)在帶域中連續，且對y滿足Lipschitz條件，則在整個區間中存在唯一滿足條件的方程的解。記§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/135常微分方程-重慶科技學院-李可人4)一階隱式方程的解的存在唯一性定理2如果在點的某一鄰域中，對所有的變元連續，且存在連續的偏導數；則上述初值問題的解在的某一鄰域存在。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/136常微分方程-重慶科技學院-李可人事實上，由條件知所確定的隱函數在鄰域內存在且連續，且在鄰域內連續，在以為中心的某一閉矩形區域D中有界，所以f(x,y)在D中關于y滿足L