5．3．2函數(shù)的極值與最大（小）值【題型歸納目錄】題型一：求函數(shù)的極值題型二：由極值求參數(shù)的值或取值范圍題型三：利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點（方程根）問題題型四：不含參函數(shù)的最值問題題型五：含參函數(shù)的最值問題題型六：由函數(shù)的最值求參數(shù)問題題型七：導數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用題型八：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題題型九：利用導數(shù)研究恒成立問題題型十：利用導數(shù)研究不等式問題題型十一：利用導數(shù)證明不等式題型十二：利用導數(shù)研究零點問題【知識點梳理】知識點一、函數(shù)的極值（一）函數(shù)的極值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)在點及其附近有定義，（1）若對于附近的所有點，都有，則是函數(shù)的一個極大值，記作；（2）若對附近的所有點，都有，則是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱極值．在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值．知識點詮釋：由函數(shù)的極值定義可知：（1）在函數(shù)的極值定義中，一定要明確函數(shù)在及其附近有定義，否則無從比較．（2）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，是一個局部概念；在函數(shù)的整個定義域內(nèi)可能有多個極值，也可能無極值．由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小．（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系．即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值．極小值不一定是整個定義區(qū)間上的最小值．（4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點．而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點．（二）用導數(shù)求函數(shù)極值的的基本步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導數(shù)；③求方程的根；④檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，則在這個根處取得極大值；如果左負右正，則在這個根處取得極小值．（最好通過列表法）知識點詮釋：①可導函數(shù)的極值點一定是導函數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點．即是可導函數(shù)在點取得極值的必要非充分條件．例如函數(shù)，在處，，但不是函數(shù)的極值點．②可導函數(shù)在點取得極值的充要條件是，且在兩側(cè)的符號相異．知識點二、函數(shù)的最值（一）函數(shù)的最大值與最小值定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值；在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如．知識點詮釋：①函數(shù)的最值點必在函數(shù)的極值點或者區(qū)間的端點處取得．②函數(shù)的極值可以有多個，但最值只有一個．（二）求函數(shù)最值的的基本步驟：若函數(shù)在閉區(qū)間有定義，在開區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，則求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)在內(nèi)的導數(shù)；（2）求方程在內(nèi)的根；（3）求在內(nèi)使的所有點的函數(shù)值和在閉區(qū)間端點處的函數(shù)值，；（4）比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，最小者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．知識點詮釋：①求函數(shù)的最值時，不需要對導數(shù)為0的點討論其是極大還是極小值，只需將導數(shù)為0的點和端點的函數(shù)值進行比較即可．②若在開區(qū)間內(nèi)可導，且有唯一的極大（小）值，則這一極大（小）值即為最大（小）值．（三）最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系①函數(shù)的最大值和最小值是比較整個定義域上的函數(shù)值得出的（具有絕對性），是整個定義域上的整體性概念．最大值是函數(shù)在整個定義域上所有函數(shù)值中的最大值；最小值是函數(shù)在整個定義域上所有函數(shù)值中的最小值．函數(shù)的極大值與極小值是比較極值點附近兩側(cè)的函數(shù)值而得出的（具有相對性），是局部的概念；②極值可以有多個，最大（小）值若存在只有一個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，不能在區(qū)間端點取得；最大（小）值可能是某個極大（小）值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；③有極值的函數(shù)不一定有最值，有最值的函數(shù)未必有極值，極值可能成為最值．知識點三、函數(shù)極值與最值的簡單應(yīng)用1、不等式恒成立，求參數(shù)范圍問題．一些含參不等式，一般形如，若能分離參數(shù)，即可化為：（或）的形式．若其恒成立，則可轉(zhuǎn)化成（或），從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．若不能分離參數(shù)，就是求含參函數(shù)的最小值，使．所以仍為求函數(shù)的最值問題，只是再求最值時可能需要對參數(shù)進行分類討論．2、證不等式問題．當所要證的不等式中只含一個未知數(shù)時，一般形式為，則可化為，一般設(shè)，然后求的最小值，證即可．所以證不等式問題也可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值問題．3、兩曲線的交點個數(shù)問題（方程解的個數(shù)問題）一般可轉(zhuǎn)化為方程的問題，即的解的個數(shù)問題，我們可以設(shè)，然后求出的極大值、極小值，根據(jù)解的個數(shù)討論極大值、極小值與0的大小關(guān)系即可．所以此類問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問題．【典型例題】題型一：求函數(shù)的極值例1．（2024·高二課時練習）求下列函數(shù)的極值.(1)；(2).例2．（2024·高二課時練習）求下列函數(shù)的極值.(1)；(2).例3．（2024·高二課時練習）求下列函數(shù)的極值.(1)；(2).變式1．（2024·福建·高二校聯(lián)考）已知函數(shù)在時取得極小值為(1)求的值；(2)令，證明：．【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)極值和極值點的求解步驟（1）確定函數(shù)的定義域．（2）求方程的根．（3）用方程的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并列成表格．（4）由在方程的根左右的符號，來判斷在這個根處取極值的情況．題型二：由極值求參數(shù)的值或取值范圍例4．（2024·江西宜春·高二校考期末）若函數(shù)在區(qū)間無零點但有2個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例5．（2024·甘肅蘭州·高二蘭州一中校考階段練習）已知函數(shù)在處有極值0，則實數(shù)的值為（

）A．4 B．4或11 C．9 D．11例6．（2024·高二課時練習）已知函數(shù)既存在極大值，又存在極小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式2．（2024·湖南長沙·高二長沙市明德中學校考階段練習）已知是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3．（2024·安徽安慶·高二安慶一中校考）已知函數(shù)的一個極值點為2，則的最小值為（

）A． B． C． D．7【方法技巧與總結(jié)】已知函數(shù)的極值求參數(shù)的方法（1）對于已知可導函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，解題的切入點是極值存在的條件：極值點處的導數(shù)值為0，極值點兩側(cè)的導數(shù)值異號．注意：求出參數(shù)后，一定要驗證是否滿足題目的條件．（2）對于函數(shù)無極值的問題，往往轉(zhuǎn)化為其導函數(shù)的值非負或非正在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，即轉(zhuǎn)化為或在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立．題型三：利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點（方程根）問題例7．（2024·貴州遵義·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)在處取得極值．(1)求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．例8．（2024·河北·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)若函數(shù)，討論的零點個數(shù)．例9．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考期末）設(shè)函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】（1）利用導數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便．（2）解決這類問題，一個就是注意借助幾何圖形的直觀性，另一個就是正確求導，正確計算極值．題型四：不含參函數(shù)的最值問題例10．（2024·湖北·高二期末）函數(shù)的最小值為.例11．（2024·高二課時練習）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為m，n，則.例12．（2024·重慶江北·高二重慶十八中校考）函數(shù)的最小值是．變式4．（2024·山東濟寧·高二嘉祥縣第一中學校考）函數(shù)的最小值為，函數(shù)的最小值為.變式5．（2024·四川雅安·高二校考階段練習）設(shè)曲線在點處的切線方程為（其中，a，，是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求a，b的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)最值的步驟（1）求函數(shù)的定義域．（2）求，解方程．（3）列出關(guān)于，，的變化表．（4）求極值、端點處的函數(shù)值，確定最值．注意：不要忽略將所求極值與區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較．題型五：含參函數(shù)的最值問題例13．（2024·遼寧沈陽·高二東北育才學校校考階段練習）已知函數(shù)(1)當時，求極值：(2)當時，求函數(shù)在上的最大值．例14．（2024·寧夏銀川·高二校考期末）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．例15．（2024·高二課時練習）已知函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【方法技巧與總結(jié)】含參數(shù)的函數(shù)最值問題的兩類情況（1）能根據(jù)條件求出參數(shù)，從而化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題．（2）對于不能求出參數(shù)值的問題，則要對參數(shù)進行討論，其實質(zhì)是討論導函數(shù)大于0、等于0、小于0三種情況．若導函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點處取得；若導函數(shù)可能等于0，則求出極值點后求極值，再與端點值比較后確定最值．題型六：由函數(shù)的最值求參數(shù)問題例16．（2024·黑龍江雞西·高二校考期末）若函數(shù)的最小值為，則實數(shù)（

）A． B． C．4 D．例17．（2024·云南昭通·高二校考）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例18．（2024·陜西西安·高二）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式6．（2024·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)，的最小值為1，則實數(shù)的值為（

）A．1 B． C．3 D．【方法技巧與總結(jié)】已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值（或范圍）是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點，探索最值點，根據(jù)已知最值列方程（不等式）解決問題．題型七：導數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用例19．（2024·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：元）與日產(chǎn)量（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式，每日的銷售額R（單位：元）與日產(chǎn)量滿足函數(shù)關(guān)系式：，已知每日的利潤，且當時．(1)求的值；(2)當日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大，并求出最大值．例20．（2024·河北張家口·高二校聯(lián)考階段練習）某玩具廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的總成本：，又產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)成反比，銷售100件這樣的產(chǎn)品的單價為50元.(1)試寫出總利潤關(guān)于產(chǎn)品銷售的件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當定為多少件，總利潤最大.例21．（2024·安徽宿州·高二江西省泰和中學校聯(lián)考）某企業(yè)在2023年全年內(nèi)計劃生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為x百件，生產(chǎn)過程中總成本w（x）（萬元）是關(guān)于x（百件）的一次函數(shù)，且，．預計生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完，且當年產(chǎn)量為x百件時，每百件產(chǎn)品的銷售收入（萬元）滿足．(1)寫出該企業(yè)今年生產(chǎn)這種產(chǎn)品的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百件）的函數(shù)關(guān)系式；(2)今年產(chǎn)量為多少百件時，該企業(yè)在這種產(chǎn)品的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤是多少？（參考數(shù)據(jù)：，，，）變式7．（2024·浙江杭州·高二校考階段練習）2023年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，經(jīng)過市場分析，全年需投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)百輛新能源汽車需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每一百輛車售價800萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.(1)求出2023年的利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：百輛）的函數(shù)關(guān)系；（利潤＝銷售額－成本）(2)當2023年的年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【方法技巧與總結(jié)】解決最優(yōu)問題應(yīng)從以下幾個方面入手（1）設(shè)出變量，找出函數(shù)關(guān)系式，確定定義域．（2）在實際應(yīng)用問題中，若函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個極值點，則它就是最值點．題型八：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題例22．（2024·浙江溫州·高二溫州中學校考階段練習）已知函數(shù)有兩個極值點為，.(1)當時，求的值；(2)若（為自然對數(shù)的底數(shù)），求的最大值.例23．（2024·浙江嘉興·高二校聯(lián)考）已知函數(shù).(1)若，求在定義域內(nèi)的極值；(2)當時，若在上的最小值為，求實數(shù)的值．例24．（2024·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間上既有最大值又有最小值，求a的取值范圍．變式8．（2024·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求的極小值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．變式9．（2024·重慶江北·高二重慶十八中校考階段練習）函數(shù)，(1)若，求的極值；(2)若，設(shè)的最大值為，求的范圍.【方法技巧與總結(jié)】（1）已知極值點求參數(shù)的值后，要代回驗證參數(shù)值是否滿足極值的定義．（2）討論極值點的實質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即的正負．（3）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值進行比較，最大的那個值是最大值，最小的那個值是最小值．題型九：利用導數(shù)研究恒成立問題例25．（2024·江蘇宿遷·高二校考）已知函數(shù)在和處取得極值.(1)求的值及的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.例26．（2024·山東淄博·高二校考階段練習）（1）已知對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知函數(shù)，若不等式在R上恒成立，試求a的取值范圍.例27．（2024·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校校考階段練習）已知函數(shù)，，k為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍．變式10．（2024·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，且.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若對于區(qū)間上的任意兩個實數(shù)，，都有，求實數(shù)的最小值.【方法技巧與總結(jié)】解決不等式恒成立問題，有兩種求解方法．一種是轉(zhuǎn)化為求最值，另一種是分離參數(shù)．分離參數(shù)求解不等式恒成立問題的步驟題型十：利用導數(shù)研究不等式問題例28．（2024·湖北武漢·高二武漢市育才高級中學校聯(lián)考期末）已知定義域為的奇函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當時，，當時，，且，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．例29．（2024·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上可導且滿足，則下列不等式一定成立的為（

）A． B．C． D．例30．（2024·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學校考期末）已知函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為，且，，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．變式11．（2024·高二課時練習）已知為偶函數(shù)，且，令，若時，，關(guān)于的不等式的解集為（

）A．或 B．C． D．或【方法技巧與總結(jié)】解決不等式問題，通常先構(gòu)造新函數(shù)，然后再利用導數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性，從而使不等式問題得以解決．題型十一：利用導數(shù)證明不等式例31．（2024·全國·高二專題練習）當時，證明：不等式.例32．（2024·北京東城·高二北京二中校考）已知函數(shù)．(1)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)證明不等式恒成立．例33．（2024·山東菏澤·高二校考階段練習）已知函數(shù)在處取得極值.(1)求實數(shù)的值;(2)證明:對于任意的正整數(shù),不等式成立.變式12．（2024·陜西商洛·高二校考）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的最小值；(2)當時，證明：不等式在上恒成立．變式13．（2024·全國·高二專題練習）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若對恒成立，求k的取值范圍；(3)求證：對，不等式恒成立.【方法技巧與總結(jié)】利用導數(shù)證明不等式（比較大小）常與函數(shù)最值問題有關(guān)．因此，解決該類問題通常是構(gòu)造一個函數(shù)，然后考察這個函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合給定的區(qū)間和函數(shù)在該區(qū)間端點的函數(shù)值使問題得以求解．題型十二：利用導數(shù)研究零點問題例34．（2024·安徽安慶·高二安慶一中校考）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值點；(2)若函數(shù)有且只有兩個零點，求實數(shù)的值．例35．（2024·四川眉山·高二眉山市彭山區(qū)第一中學校考階段練習）已知函數(shù)的圖象過點，且在點P處的切線恰好與直線垂直.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個不同交點，求m的取值范圍.例36．（2024·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學校校考）已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的極值(2)若函數(shù)在上有且僅有2個零點，求的取值范圍變式14．（2024·北京東城·高二東直門中學校考）已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最小值；(3)當時，求函數(shù)的零點個數(shù).（只需寫出結(jié)論）變式15．（2024·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若有兩個零點，求的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】解決零點問題，有兩種求解方法．一種是直接法，另一種是分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩圖像交點問題．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·廣西·模擬預測）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2024·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習）若過點可以作三條直線與曲線：相切，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·河南省直轄縣級單位·高二校考期末）如右圖所示為的圖像，則下列判斷正確的是

（

）①在上是增函數(shù)；②是的極小值點；③在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增；④是的極小值點A．①②③ B．①③④ C．③④ D．②③5．（2024·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）方程有兩個不等的實數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2024·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）已知是函數(shù)的極小值點，則（

）A． B． C．2 D．7．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，過點可作曲線的切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2024·全國·模擬預測）函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為（

）A．， B．， C．， D．，二、多選題9．（2024·江蘇連云港·高二校考期末）已知函數(shù)的定義域為R且導函數(shù)為，如圖是函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的減區(qū)間是，B．函數(shù)的減區(qū)間是，C．是函數(shù)的極小值點D．是函數(shù)的極小值點10．（2024·高二課時練習）