韶關(guān)市2021-2022學(xué)年度第二學(xué)期高二期末檢測數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集運(yùn)算的概念，即可得答案.【詳解】因為，所以.故選：B2.若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化為代數(shù)形式，得對應(yīng)點坐標(biāo)后可得其所在象限．【詳解】，對應(yīng)點為，在第四象限．故選：D．3.已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個半徑是2的半圓，則該圓錐的高為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖與本身圓錐的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】圓錐的母線長為2，設(shè)圓錐的底面半徑為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得，則圓錐的高故選：C4.已知兩個不同平面，，直線滿足，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】用定義法，分充分性和必要性分別討論.【詳解】充分性：根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理知充分性成立；必要性：設(shè)，當(dāng)，且，，此時，但是與相交，故必要性不成立.綜上，故選A．5.函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和關(guān)鍵點的函數(shù)值即可確定.【詳解】偶函數(shù)，是奇函數(shù)，∴是奇函數(shù)，排除B，D；A與C的區(qū)別在于x=2時的函數(shù)值，，，，由圖可知，對于A，當(dāng)x=2時，，對于C，當(dāng)x=2時，；故選：C.6.已知角為第四象限角，且它的終邊與單位圓交于點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意將點坐標(biāo)代入圓的方程，即可求出，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，最后由二倍角公式計算可得；【詳解】解：依題意可得，解得，又角為第四象限角，所以，即，所以，所以；故選：D7.已知圓：，點是直線上的動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用面積相等求出.設(shè)，得到.利用幾何法分析出，即可求出的最小值.【詳解】圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，其圓心,半徑.過點P引圓C的兩條切線,切點分別為點A、B,如圖：在△PAC中,有，即，變形可得：.設(shè)，則.所以當(dāng)?shù)闹导磝最小時，的值最大，此時最小.而的最小值為點C到直線的距離，即，所以.故選：B8.已知定義域為的函數(shù)滿足：對任意的，有，為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】先判斷出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，利用周期性直接求解.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，用代換x，可得：①對任意的，有，把①代入有：，即②在②式中，用代換x，有③.②③對照可得：，用代換x，有恒成立，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).所以.在③中，令有，所以，所以.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.有一組成對樣本數(shù)據(jù)，由這組成對樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗回歸方程為，則（）A.在點中，至少有1個點在經(jīng)驗回歸直線上B.若點都在經(jīng)驗回歸直線上，則樣本的相關(guān)系數(shù)滿足C.若，，則D.若成對樣本數(shù)據(jù)的殘差為，則在這組成對數(shù)據(jù)中，必有成對樣本數(shù)據(jù)的殘差為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)回歸方程的性質(zhì)及相關(guān)系數(shù)的概念判斷即可；【詳解】解：由線性回歸方程的性質(zhì)可知，回歸直線必經(jīng)過樣本中心點，即，但是可能不過樣本中的任何一點，故A錯誤，C正確；若點都在經(jīng)驗回歸直線上，則說明為函數(shù)關(guān)系，所以樣本相關(guān)系數(shù)，故B正確；若成對樣本數(shù)據(jù)的殘差為，未必有成對樣本數(shù)據(jù)的殘差為，故D錯誤.故選：BC10.設(shè)公差小于0的等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B.C. D.的最大值為或【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，可得，可得A正確；求得和，分析即可判斷B的正誤；根據(jù)等差數(shù)列求和公式，可判斷C的正誤；根據(jù)等差數(shù)列單調(diào)性，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】因為為等差數(shù)列，且，對于A：由性質(zhì)可得，解得，故A正確；對于B：，，故B錯誤對于C：，故C正確；對于D：因為，且公差，所以最大值為或，故D正確故選：ACD11.定義，已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是奇函數(shù)C.的一個周期為 D.的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象作出的圖象，由圖象特征對選項一一判斷即可．【詳解】的圖象如圖所示：，A正確；由圖可得圖象不關(guān)于原點對稱，故不奇函數(shù)，B錯；由圖可得是的一個周期，C正確；由圖可得的最大值為，D正確．故選：ACD12.設(shè)拋物線：的焦點為，點，是拋物線上不同的兩點，且，則（）A.線段的中點到的準(zhǔn)線距離為4B.直線過原點時，C.直線的傾斜角的取值范圍為D.線段垂直平分線過某一定點【答案】AD【解析】【分析】先求出，可判斷A與B，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線，結(jié)合韋達(dá)定理與判別式可判斷C，化簡的垂直平分線方程可判斷D．【詳解】設(shè)，拋物線：，得，所以線段的中點到的準(zhǔn)線距離為，則A正確；若直線過原點，設(shè)，則，所以所以，B錯；設(shè)直線的方程為，由得，則，得，又得，故或，故C錯；線段中點的坐標(biāo)為所以線段的垂直平分線方程為又，故化為，過定點當(dāng)直線的斜率不存在時也成立，故D正確．故選：AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中常數(shù)項為____________（用數(shù)字作答）．【答案】15【解析】【分析】利用二項展開式的通項公式直接求得.【詳解】展開式的通項公式為.要求常數(shù)項，只需r=2，則有.故答案為：15.14.若單位向量、的夾角為60°，，則實數(shù)____________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再依題意可得根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程，解得即可.【詳解】解：因為單位向量、的夾角為60°，所以且，因為，所以，即，即，即；故答案為：15.隨著社會的發(fā)展與進(jìn)步，人們更加愿意奉獻(xiàn)自己的力量，積極參與各項志愿活動．某地單位甲有10名志愿者（其中8名男志愿者，2名女志愿者），單位乙有15名志愿者（其中9名男志愿者，6名女志愿者）．若從單位甲任選2名志愿者參加某項活動，則恰是一男一女志愿者的概率為____________；若從兩單位任選一個單位，然后從中隨機(jī)選1名志愿者參加某項活動，則該志愿者為男志愿者的概率為____________（以上兩空用數(shù)字作答）．【答案】①.②.##0.7【解析】【分析】甲單位中，8名男志愿者選1人，2名女志愿者選1人，代入公式，即可得答案；兩單位各有被選中，再選1名男志愿者，代入公式，即可得答案；【詳解】從單位甲任選2名志愿者參加某項活動，則恰是一男一女志愿者的概率從兩單位任選一個單位，然后從中隨機(jī)選1名志愿者參加某項活動，則該志愿者為男志愿者的概率為故答案為：；16.在直三棱柱中，，，，設(shè)該三棱柱外接球的球心為，若四棱錐的體積為1，則球的表面積是____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)四棱錐的體積求出直三棱柱的高，利用勾股定理即可求出外接球的半徑，從而求得球的表面積．【詳解】依題意得，設(shè)直三棱柱的高為，則如圖所示：設(shè)分別為中點，為中點，則四棱錐的體積，故所以球的半徑為故球的表面積是故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列滿足，且．（1）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得證.（2）由（1）可得，根據(jù)分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式，即可得答案.【小問1詳解】因為，所以，所以，即，又，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以前項和18.在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足____________．①；②；③，（1）從①②③條件中任選一個填在橫線上，并求角的值；（2）若的面積為，求的最小值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）選①由正弦定理與余弦定理得即可求解角，選②根據(jù)正弦定理與正弦和差公式即可得結(jié)果，選③根據(jù)輔助角公式及角的范圍即可得結(jié)果；（2）根據(jù)三角形面積公式與余弦定理公式結(jié)合均值不等式即可求解．【小問1詳解】選①：由正弦定理得，則根據(jù)余弦定理得，又所以；選②：根據(jù)正弦定理，由得所以，則所以，又，所以；選③：由，得由于，所以．【小問2詳解】由（1）知，所以則又，所以（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等號），故的最小值為2．

19.某高中學(xué)校鼓勵學(xué)生自發(fā)組織各項體育比賽活動，甲、乙兩名同學(xué)利用課余時間進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用七局四勝制（即有一方先勝四局即獲勝，比賽結(jié)束）．假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是．（1）求比賽結(jié)束時恰好打了5局的概率；（2）若甲以3：1的比分領(lǐng)先時，記表示到結(jié)束比賽時還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求的分布列及期望．【答案】（1）（2）分布列見詳解，【解析】【分析】（1）分兩種情況甲勝或乙勝，如果第5局甲勝則前4局甲勝3局，若第5局乙勝則前4局乙勝3局，即可求出概率；（2）寫出的可能取值，求出各情況的概率即可得出結(jié)果．【小問1詳解】第一種情況：比賽結(jié)束時恰好打了5局且甲獲勝，則概率為；第二種情況：比賽結(jié)束時恰好打了5局且乙獲勝，則概率為；所以比賽結(jié)束時恰好打了5局的概率為.【小問2詳解】依題意得的可能取值為的分布列為．20.如圖，四棱錐中，底面是梯形，，側(cè)面，，，是線段的中點．（1）求證：；（2）若，求平面PAD與平面PED所成二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】分析】（1）由已知得，，從而平面，由此能證明．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得；【小問1詳解】證明：因為側(cè)面，平面，所以．又因為，是線段的中點，所以．因為，平面，所以平面．而平面，所以．【小問2詳解】解：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則有，，，，，設(shè)，所以，，因為，所以，解得或（舍去），所以，所以，，，，設(shè)為平面的法向量，由，有，取，所以．設(shè)平面的法向量為，由，有，取，所以，設(shè)平面與平面所成二面角為，顯然二面角為銳二面角，所以，所以故銳二面角的平面角的正弦弦值為．21.已知橢圓：的離心率，橢圓過點．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于A，B兩點，若的重心在直線上（為坐標(biāo)原點），求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b、c的方程組即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對直線的斜率分三種情況討論，依題意的中點在直線上，當(dāng)直線的斜率存在且不為時，設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、累乘韋達(dá)定理，即可得到的中點坐標(biāo)，代入直線的方程，即可求出，再求出及到直線的距離，表示出，最后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解；【小問1詳解】解：由題知，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：若直線的斜率不存在時，此時的中點在軸上，要使的重心在直線上（為坐標(biāo)原點），即的中點在直線上，所以即為的中點，此時直線方程為，所以，所以；若直線的斜率存在，當(dāng)斜率為時，的中點在軸上，要使的重心在直線上（為坐標(biāo)原點），即的中點在直線上，所以即為的中點，此時直線方程為，所以，所以；當(dāng)斜率存在且不為時，設(shè)直線：，與橢圓交于，，由，得.則，即，又，，所以所以的中點，又所在直線為，依題意的中點在直線上，所以，所以，所以，即，所以直線：，所以，點到直線：的距離，所以，令，，所以，所以當(dāng)時，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以；22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在原點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；（2）首先得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，從而得到與變化表，即可得到函數(shù)的極值，再對極值分類討論，分別判斷函數(shù)的零點個數(shù)即可；【小問1詳解】解：當(dāng)時，，則，所以，所以函數(shù)在原點處的切線方程為；【小問2詳解】解：因為，所以，令，解得或，因為，所以，當(dāng)變化時，與變化如下表：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，，令，，所以當(dāng)時，時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以，所以且，①當(dāng)時，故，，而時，，所以在上有一個零點，此時有兩個零點；②