課后作業(二十一)簡單的三角恒等變換一、選擇題1．(2013·溫州模擬)設a＝eq\f(1,2)cos6°－eq\f(\r(3),2)sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))，則有()A．a＞b＞c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．a＜c＜b2．已知函數f(x)＝cos2(eq\f(π,4)＋x)－cos2(eq\f(π,4)－x)，則f(eq\f(π,12))等于()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)3．已知x∈(2kπ－eq\f(3,4)π，2kπ＋eq\f(π,4))(k∈Z)，且cos(eq\f(π,4)－x)＝－eq\f(3,5)，則cos2x的值是()A．－eq\f(7,25) B．－eq\f(24,25) C.eq\f(24,25) D.eq\f(7,25)4．已知cos2θ＝eq\f(\r(2),3)，則sin4θ＋cos4θ的值為()A.eq\f(13,18) B.eq\f(11,18) C.eq\f(7,9) D．－15．若f(x)＝2tanx－eq\f(2sin2\f(x,2)－1,sin\f(x,2)cos\f(x,2))，則f(eq\f(π,12))的值為()A．4eq\r(3) B.eq\f(8\r(3),3) C．4 D．86．(2012·湖南高考)函數f(x)＝sinx－cos(x＋eq\f(π,6))的值域為()A．[－2，2] B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C．[－1，1] D．[－eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(3),2)]二、填空題7．(2012·大綱全國卷)當函數y＝sinx－eq\r(3)cosx(0≤x<2π)取得最大值時，x＝________．8．已知sin(eq\f(π,4)－eq\f(x,2))＝eq\f(3,5)，x∈(0，eq\f(π,2))，則tanx＝________．9．已知α是第三象限角，且sinα＝－eq\f(24,25)，則taneq\f(α,2)＝________．三、解答題10．已知α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(eq\f(π,2)，π)，cos2β＝－eq\f(7,9)，sin(α＋β)＝eq\f(7,9)(1)求cosβ的值；(2)求sinα的值．11．(2012·重慶高考)設函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x＝eq\f(π,6)處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為eq\f(π,2).(1)求f(x)的解析式；(2)求函數g(x)＝eq\f(6cos4x－sin2x－1,f（x＋\f(π,6)）)的值域．圖3－6－112．(2012·四川高考)函數f(x)＝6cos2eq\f(ωx,2)＋eq\r(3)sinωx－3(ω>0)在一個周期內的圖象如圖3－6－1所示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．(1)求ω的值及函數f(x)的值域；(2)若f(x0)＝eq\f(8\r(3),5)，且x0∈(－eq\f(10,3)，eq\f(2,3))，求f(x0＋1)的值．解析及答案一、選擇題1．【解析】a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，∵sin24°＜sin25°＜sin26°，∴a＜c＜b.【答案】D2．【解析】f(x)＝cos2(eq\f(π,4)＋x)－sin2(x＋eq\f(π,4))＝－sin2x，∴f(eq\f(π,12))＝－sineq\f(π,6)＝－eq\f(1,2).【答案】B3．【解析】∵x∈(2kπ－eq\f(3,4)π，2kπ＋eq\f(π,4))(k∈Z)，∴cosx－sinx＞0，即sin(eq\f(π,4)－x)＝eq\f(\r(2),2)(cosx－sinx)＞0，∴sin(eq\f(π,4)－x)＝eq\f(4,5).又∵cos2x＝sin(eq\f(π,2)－2x)＝2sin(eq\f(π,4)－x)cos(eq\f(π,4)－x)，∴cos2x＝2×eq\f(4,5)×(－eq\f(3,5))＝－eq\f(24,25).【答案】B4．【解析】sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－eq\f(1,2)sin22θ＝1－eq\f(1,2)(1－cos22θ)＝eq\f(11,18).【答案】B5．【解析】f(x)＝2tanx－eq\f(2sin2\f(x,2)－1,sin\f(x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(2sinx,cosx)＋eq\f(1－2sin2\f(x,2),\f(1,2)sinx)＝eq\f(2sinx,cosx)＋eq\f(2cosx,sinx)＝eq\f(2（sin2x＋cos2x）,sinxcosx)＝eq\f(4,sin2x)，所以f(eq\f(π,12))＝eq\f(4,sin\f(π,6))＝8.【答案】D6．【解析】∵f(x)＝sinx－cos(x＋eq\f(π,6))＝sinx－cosxcoseq\f(π,6)＋sinxsineq\f(π,6)＝sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx)＝eq\r(3)sin(x－eq\f(π,6))(x∈R)，∴f(x)的值域為[－eq\r(3)，eq\r(3)]．【答案】B二、填空題7．【解析】∵y＝sinx－eq\r(3)cosx(0≤x<2π)，∴y＝2sin(x－eq\f(π,3))(0≤x<2π)．由0≤x<2π知，－eq\f(π,3)≤x－eq\f(π,3)<eq\f(5π,3)，∴當y取得最大值時，x－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，∴x＝eq\f(5,6)π.【答案】eq\f(5,6)π8．【解析】∵sin(eq\f(π,4)－eq\f(x,2))＝eq\f(3,5)∴cos(eq\f(π,2)－x)＝1－2sin2(eq\f(π,4)－eq\f(x,2))＝1－2×eq\f(9,25)＝eq\f(7,25)即sinx＝eq\f(7,25)，又x∈(0，eq\f(π,2))∴cosx＝eq\f(24,25)∴tanx＝eq\f(7,24)【答案】eq\f(7,24)9．【解析】∵α是第三角限角且sinα＝－eq\f(24,25)∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－（－\f(24,25)）2)＝－eq\f(7,25)∴taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)＝－eq\f(4,3)【答案】－eq\f(4,3)三、解答題10．【解】(1)cos2β＝eq\f(1＋cos2β,2)＝eq\f(1＋（－\f(7,9)）,2)＝eq\f(1,9)，又∵β∈(eq\f(π,2)，π)，∴cosβ＝－eq\f(1,3).(2)由(1)知sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\r(1－（－\f(1,3)）2)＝eq\f(2\r(2),3).由α∈(0，eq\f(π,2))、β∈(eq\f(π,2)，π)得(α＋β)∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))．cos(α＋β)＝－eq\r(1－sin2（α＋β）)＝－eq\r(1－（\f(7,9)）2)＝－eq\f(4\r(2),9).sinα＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝eq\f(7,9)×(－eq\f(1,3))－(－eq\f(4\r(2),9))×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(1,3).11．【解】(1)由題設條件知f(x)的周期T＝π，即eq\f(2π,ω)＝π，解得ω＝2.因為f(x)在x＝eq\f(π,6)處取得最大值2，所以A＝2.從而sin(2×eq\f(π,6)＋φ)＝1，所以eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z.又由－π＜φ≤π，得φ＝eq\f(π,6).故f(x)的解析式為f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．(2)g(x)＝eq\f(6cos4x－sin2x－1,2sin（2x＋\f(π,2)）)＝eq\f(6cos4x＋cos2x－2,2cos2x)＝eq\f(（2cos2x－1）（3cos2x＋2）,2（2cos2x－1）)＝eq\f(3,2)cos2x＋1(cos2x≠eq\f(1,2))．因cos2x∈[0，1]，且cos2x≠eq\f(1,2)，故g(x)的值域為[1，eq\f(7,4))∪(eq\f(7,4)，eq\f(5,2)]．12．【解】(1)由已知可得，f(x)＝3cosωx＋eq\r(3)sinωx＝2eq\r(3)sin(ωx＋eq\f(π,3))．又正三角形ABC的高為2eq\r(3)，從而BC＝4.所以函數f(x)的周期T＝4×2＝8，即eq\f(2π,ω)＝8，ω＝eq\f(π,4).函數f(x)的值域為[－2eq\r(3)，2eq\r(3)]．(2)因為f(x0)＝eq\f(8\r(3),5)，由(1)有f(x0)＝2eq\r(3)sin(eq\f(πx0,4)＋eq\f(π,3))＝eq\f(8\r(3),5)，即sin(eq\f(πx0,4)＋eq\f(π,3))＝eq\f(4,5).由x0∈(－eq\f(10,3)，eq\f(2,3))，知eq\f(πx0,4)＋eq\f(π,3)∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))．所以cos(eq\f(πx0,4)＋eq\f(π,3))＝eq\r(1－（\f(4,5)）2)＝eq\f(3,5).故f(x0＋1)＝2eq\r(3)sin(eq\f(πx0,4)＋eq\f(π,4)＋eq\