小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)趣味學(xué)習(xí)——整數(shù)的分拆整數(shù)分拆內(nèi)容概述：1．一般的有，把一個(gè)整數(shù)表示成兩個(gè)數(shù)相加，當(dāng)兩個(gè)數(shù)相近或相等的時(shí)候，乘積最大。也就是把整數(shù)分拆成兩個(gè)相等或者相差1的兩個(gè)整數(shù)。2．一般的有，把自然數(shù)m分成n個(gè)自然數(shù)的和，使其乘積最大，則先把m進(jìn)行對(duì)n的帶余除法，表示成m=np+r，則分成r個(gè)(p+1)，(n－r)個(gè)P。3．把自然數(shù)S(S＞1)分拆為若干個(gè)自然數(shù)的和(沒有給定是幾個(gè))，則分開的數(shù)當(dāng)中最多有兩個(gè)2，其他的都是3，這樣它們的乘積最大。4．把自然數(shù)分成若干個(gè)互不相等的整數(shù)，則先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，當(dāng)和等于原數(shù)則可以，若不然，比原數(shù)大多少除去等于它們差的那個(gè)自然數(shù)。如果僅大于1，則除去2，再把最大的那個(gè)數(shù)加1。5．若自然數(shù)N有k個(gè)大于1的奇約數(shù)，則N共有k種表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法。即當(dāng)有m個(gè)奇約數(shù)表示的乘積，則有奇約數(shù)個(gè)奇約數(shù)。6．共軛分拆．我們通過下面一個(gè)例子來說明共軛分拆：如：10=4+2+2+1+1，我們畫出示意圖，我們將其翻轉(zhuǎn)(將圖左上到右下的對(duì)角線翻轉(zhuǎn)即得到)：，可以對(duì)應(yīng)的寫成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一種分拆方式。我們把這兩種有關(guān)聯(lián)的分拆方式稱為互為共軛分拆。典型例題：1．寫出13=1+3+4+5的共軛分拆。【分析與解】畫出示意圖，翻轉(zhuǎn)得到，對(duì)應(yīng)寫為4+3+3+2+1=13，即為13=1+3+4+5的共軛分拆。2．電視臺(tái)要播出一部30集電視連續(xù)劇，若要每天安排播出的集數(shù)互不相等。則該電視連續(xù)劇最多可以播出幾天?【分析與解】由于希望播出的天數(shù)盡可能地多，若要滿足每天播出的集數(shù)互不相等的條件下，每天播出的集數(shù)應(yīng)盡可能地少。選擇從1開始若干連續(xù)整數(shù)的和與30最接近(小于30)的情況為1+2+3+4+5+6+7=28，現(xiàn)在就可以播出7天，還剩下2集，由于已經(jīng)有2集這種情況，就是把2集分配到7天當(dāng)中又沒有引起與其他的幾天里播出的集數(shù)相同.于是只能選擇從后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。3．若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個(gè)同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每支盒子里取出一個(gè)小球，然后把這些小球再放到小球數(shù)最少的盒子里去。再把盒子重排了一下．小聰回來，仔細(xì)查看，沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過小球和盒子．問：一共有多少只盒子?【分析與解】設(shè)原來小球數(shù)最少的盒子里裝有a只小球，現(xiàn)在增加了b只，由于小聰沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過小球和盒子，這說明現(xiàn)在又有了一只裝有a個(gè)小球的盒子，而這只盒子里原來裝有(a+1)個(gè)小球。同樣，現(xiàn)在另有一個(gè)盒子裝有(a+1)個(gè)小球，這只盒子里原來裝有(a+2)個(gè)小球。類推，原來還有一只盒子裝有(a+3)個(gè)小球，(a+4)個(gè)小球等等，故原來那些盒子中裝有的小球數(shù)是一些連續(xù)整數(shù)。現(xiàn)在變成：將42分拆成若干個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個(gè)加數(shù)?因?yàn)?2=6×7，故可以看成7個(gè)6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6個(gè)6，從而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7個(gè)加數(shù)；又因?yàn)?2=14×3，故可將42：13+14+15，一共有3個(gè)加數(shù)；又因?yàn)?2=21×2，故可將42=9+10+11+12，一共有4個(gè)加數(shù)。所以原問題有三個(gè)解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子4．機(jī)器人從自然數(shù)1開始由小到大按如下規(guī)則進(jìn)行染色：凡能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不符合上述要求的自然數(shù)染成黃色(比如23可表示成兩個(gè)不同合數(shù)15和8之和，23要染紅色；1不能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和，1染黃色)．問：要染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，第2000個(gè)數(shù)是多少?請(qǐng)說明理由。【分析與解】顯然1要染黃色，2=1+1也要染黃色，3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6。可見，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均應(yīng)染成黃色。下面統(tǒng)一觀察其他自然數(shù)，說明其他自然數(shù)均要染成紅色。1)當(dāng)n為大于等于10的偶數(shù)時(shí)，n=2k=4+2(k－2)。由于n≥10，所以k≥15，k－2≥3，2(k－2)與4均為合數(shù)，且不相等。于是，大于等于10的偶數(shù)都可以表示兩個(gè)不同的合數(shù)之和，應(yīng)染成紅色。2)當(dāng)n為大于等于13的奇數(shù)時(shí)，n=2k+1=9+2(k－4)由于n≥13，所以k≥6，k－4≥2，2(k－2)≥4與9均是合數(shù)，且不相等．也就是說，大于等于13的奇數(shù)均能表示為兩個(gè)不同的合數(shù)之和，應(yīng)染紅色。所以，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11這10個(gè)數(shù)染黃色外，其余自然數(shù)均染紅色，第k個(gè)染為紅色的數(shù)是第(k+10)個(gè)自然數(shù)(k≥2)。所以第2000個(gè)染紅色的數(shù)是2000+10=2010．5.在整數(shù)中，有用2個(gè)以上的連續(xù)自然數(shù)的和來表達(dá)一個(gè)整數(shù)的方法．例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有兩個(gè)用2個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)的和來表達(dá)它的方法.(1)請(qǐng)寫出只有3種這樣的表示方法的最小自然數(shù)．(2)請(qǐng)寫出只有6種這樣的表示方法的最小自然數(shù)．【分析與解】關(guān)于某整數(shù)，它的“奇數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)減1”，就是用連續(xù)的整數(shù)的和的形式來表達(dá)種數(shù)。根據(jù)（1）知道，有3種表達(dá)方法，于是奇約數(shù)的個(gè)數(shù)為3+1=4，對(duì)4分解質(zhì)因數(shù)4=2×2，最小的15(1、3、5、15)；有連續(xù)的2、3、5個(gè)數(shù)相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5；根據(jù)(2)知道，有6種表示方法，于是奇數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)為6+1=7，最小為729(1、3、9、27、81、243、729)，有連續(xù)的2,3、6、9、10、27個(gè)數(shù)相加：364+365；242+243+244；119+120+…+124；77+78+79+…+85；36+37+…+45；14+15+…+40．6.從整數(shù)1開始不改變順序的相加，中途分為兩組，使每組的和相等.如從1到3的話，1+2=3；從1到20的話：1+2+3+…+14=15+16+17+…+20。請(qǐng)問：除上述兩例外，能夠列出這樣的最短的整數(shù)算式是從1到幾?【分析與解】我們用這種階梯圖來表示連續(xù)的數(shù)相加，假設(shè)情況見下圖，我們通過圖得知，c是公共部分，而b+c為原等式的右邊，a+c為原等式的左邊，所以有a=b，a部分面積為(可以看成從1一直加到A)，b部分面積為B×B(可以看作從1一直加到B再又加到1)；有=B×B可以表示為奇數(shù)×相鄰的偶數(shù)÷2=B×B；其中A是連續(xù)兩個(gè)數(shù)中較小的一個(gè)，B的平方等于連續(xù)兩個(gè)數(shù)的乘積除以2．因?yàn)橄噜彽膬蓚€(gè)數(shù)互質(zhì)，所以，偶數(shù)÷2后與原相鄰奇數(shù)也互質(zhì)；所以，奇數(shù)必定為完全平方數(shù)；偶數(shù)÷2也為完全平方數(shù)，這樣：①奇數(shù)為1，則偶數(shù)為2，除以2，為1，均為完全平方數(shù)。A=l，=1×2÷2=1，于是為A+B=2，A+2B=3；所以為l+2=3；②奇數(shù)為9，則偶數(shù)為8，除以2，為4，均為完全平方數(shù)．A=8，=8×9÷2=36，于是為A+B=8+6=14，A+2B=8+2×6=20；所以為1+2+3+…+14=15+16+17+…+20；還可以偶數(shù)為10，除以2，為5，不是完全平方數(shù)，不滿足。③奇數(shù)為25，則偶數(shù)為24，除以2，為12，不是完全平方數(shù)，不滿足；還可以偶數(shù)為26，除以2，為13，不是完全平方數(shù)，不滿足．④奇數(shù)為49，則偶數(shù)為48，除以2，為24，不是