第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年江蘇省無錫一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一.單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i2．（5分）△ABC中，，點E是CD的中點，設(shè)，，則＝（）A． B． C． D．3．（5分）已知a，b，l是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列結(jié)論成立的是（）A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線 B．若α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，則a⊥α C．若l⊥a，l⊥b，a，b?α，則l⊥α D．若α∥β，a?α，則a∥β4．（5分）某工廠隨機(jī)抽取20名工人，對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如表，件數(shù)7891011人數(shù)37541則該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是（）A．8.5 B．9 C．9.5 D．105．（5分）若P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，則事件A與B的關(guān)系是（）A．事件A與B互斥但不對立 B．事件A與B對立 C．事件A與B相互獨立 D．事件A與B既互斥又相互獨立6．（5分）PA、PB、PC是從P點出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（）A． B． C． D．7．（5分）如圖，平面四邊形ABCD中，△BCD是等邊三角形，AB⊥BD，且AB＝BD＝2，M是AD的中點．沿BD將△BCD翻折，折成三棱錐C﹣ABD，在翻折中，下列結(jié)論正確的是（）A．三棱錐C﹣ABD的體積最大為 B．存在某個位置，使得CM與BD所成角為銳角 C．當(dāng)平面ABD⊥平面BDC時，三棱錐C﹣ABD的外接球的表面積是 D．∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角8．（5分）△ABD中，點C為邊BD上一點，AB＝2，AD＝2，CD＝2，∠ABD＝60°，＝＝＝，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二.多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分。部分選對的得2分,有選錯的得0分。（多選）9．（5分）下列命題是真命題的有（）A．直線l的方向向量為＝（1，﹣1，2），直線m的方向向量為，則l與m垂直 B．直線l的方向向量為＝（0，1，﹣1），平面α的法向量為＝（1，﹣1，﹣1），則l⊥α C．平面α，β的法向量分別為＝（0，1，3），＝（1，0，2），則α∥β D．平面α經(jīng)過三點A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，則u+t＝1（多選）10．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝cosθ+isinθ（i為虛數(shù)單位），則（）A．|z|＝1 B．z2＝1 C． D．（多選）11．（5分）下面三個游戲都是在袋中裝球，然后從袋子中不放回地取球，分別記獲勝的概率為P1，P2，P3，則（）游戲1游戲2游戲3袋中球的數(shù)量和顏色1個紅球和1個白球2個紅球和2個白球3個紅球和1個白球取球規(guī)則取一個球依次取出2個球依次取出2個球獲勝條件取到紅球兩個球不同色兩個球同色A．P1＝P2 B．P3＜P2 C．P2＞P1 D．P1+P2+P3＝（多選）12．（5分）在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，，，λ，μ∈[0，1]，則下列說法正確的是（）A．無論λ，μ取何值，PQ⊥B1C B．時，三棱錐P﹣CDQ的體積為定值 C．時，B1P+PQ的最小值為3 D．存在唯一的實數(shù)對（λ，μ），使得B1P⊥平面PQC三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）若復(fù)數(shù)z＝x+yi（x，y∈R），則復(fù)平面內(nèi)滿足|z﹣（1+i）|＝3的點Z圍成的圖形的面積為．14．（5分）已知P（A）＝0.7，P（B）＝0.3，且A與B互相獨立，則P（A∪B）＝．15．（5分）在電視劇《顯微鏡下的大明》中，算學(xué)天才帥家默使用“推步聚頂術(shù)”來計算田地的面積．口訣為“先牽經(jīng)緯以衡量（建立直角坐標(biāo)系），再點原初標(biāo)步長（確定原點和坐標(biāo)點的橫縱坐標(biāo)值）．田型取頂分別數(shù)（確定各頂點的坐標(biāo)值），再算推步知地方（再根據(jù)計算公式，算出面積）”．據(jù)研究，電視劇中的方法與高斯面積公式（也叫“鞋帶定理”）相仿．在此，我們檢驗圖形為三角形時的情形；如果在平面直角坐標(biāo)系中有三個點A（2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，﹣2），則△ABC的面積為（平方單位）；若三角形ABO的三個頂點O（0，0），A（x1，y1），B（x2，y2）則該三角形ABO的面積為（用x1，x2，y1，y2表示）．16．（5分）為了解某公司員工的身體肥胖情況，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，采用分層隨機(jī)抽樣方法抽取了90名男員工、50名女員工的身高和體重數(shù)據(jù)，計算得到他們的BMI值．男女員工的BMI值的中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差和極差如表所示．中位數(shù)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差方差極差男員工21.622.13.714.319.3女員工19.620.7416.417.7從以上數(shù)據(jù)可以估算出該公司全體人員的BMI值的平均值為，方差為．（以上結(jié)果精確到0.1）四.解答題：本題共6小題、17題10分，其余每小題10分共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知k∈R，向量＝（3，2+k），＝（k，1）．（1）若向量與平行，求k的值；（2）若向量與的夾角為銳角，求k的取值范圍．18．（12分）某校在一次期末數(shù)學(xué)測試中，為統(tǒng)計學(xué)生的考試情況，從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的考試成績，被測學(xué)生成績?nèi)拷橛?5分到145分之間（滿分150分），將統(tǒng)計結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[65，75），第二組[75，85），……第八組[135，145]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．（1）求第七組的頻率，并完成頻率分布直方圖；（2）用樣本數(shù)據(jù)估計該校的2000名學(xué)生這次考試成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表該組數(shù)據(jù)平均值）；（3）若從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求他們的分差的絕對值小于10分的概率．19．（12分）某學(xué)校組織“紅樓論數(shù)”數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽．比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽．已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，；甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響．（1）從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？（2）若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率．20．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為BC的中點，BB1＝BC，平面A1BC⊥平面ABB1A1．（1）求證：A1B∥平面ADC1；（2）求證：B1C⊥平面ABC1．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD＝2，E是PC的中點，平面ABE與線段PD交于點F．（1）證明：F為PD的中點；（2）若三棱錐P﹣BCF的體積為1，求平面CFB與平面AFB夾角的余弦值．22．（12分）已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosC+asinC﹣b﹣c＝0，a＝，且△ABC的面積為．（1）求b+c；（2）若b＞c，N為AC的中點，M為BC的三等分點（BM＜MC），P為AM與BN的交點，求∠BPA的余弦值及MP2+NP2的值．

2022-2023學(xué)年江蘇省無錫一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算，即可求解．【解答】解：＝，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為i+2．故選：A．【點評】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）△ABC中，，點E是CD的中點，設(shè)，，則＝（）A． B． C． D．【分析】利用平面向量基本定理，平面向量的線性運算求解即可．【解答】解：∵點E是CD的中點，∴＝（+）＝+，∵，，，∴＝+＝+，故選：D．【點評】本題考查平面向量基本定理，平面向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知a，b，l是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列結(jié)論成立的是（）A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線 B．若α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，則a⊥α C．若l⊥a，l⊥b，a，b?α，則l⊥α D．若α∥β，a?α，則a∥β【分析】對于A，a與b可能是共面直線；對于B，a與α平行、相交或a?α；對于C，當(dāng)a與b相交時，l⊥α；對于D，由面面平行的性質(zhì)得a∥β．【解答】解：a，b，l是不同的直線，α，β是不同的平面，對于A，若a?α，b?β，則a與b可能是共面直線，故A錯誤；對于B，若α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，則a與α平行、相交或a?α，故B錯誤；對于C，若l⊥a，l⊥b，a，b?α，則當(dāng)a與b相交時，l⊥α，故C錯誤；對于D，若α∥β，a?α，則由面面平行的性質(zhì)得a∥β，故D正確．故選：D．【點評】本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間思維能力，是中檔題．4．（5分）某工廠隨機(jī)抽取20名工人，對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如表，件數(shù)7891011人數(shù)37541則該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是（）A．8.5 B．9 C．9.5 D．10【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：抽取的工人總數(shù)為20，20×75%＝15，由表中數(shù)據(jù)可知，第15項與第16項數(shù)據(jù)分別為9，10，故該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是．故選：C．【點評】本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）若P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，則事件A與B的關(guān)系是（）A．事件A與B互斥但不對立 B．事件A與B對立 C．事件A與B相互獨立 D．事件A與B既互斥又相互獨立【分析】求出P（A），得到P（AB）＝P（A）P（B），從而得到事件A與B是相互獨立事件．【解答】解：∵P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，∴P（A）＝1﹣＝，∴P（AB）＝P（A）P（B）＝＝，∴事件A與B是相互獨立事件．故選：C．【點評】本題考查互斥事件、對立事件、相互獨立事件等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．（5分）PA、PB、PC是從P點出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【分析】過PC上任意一點D作DO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角．先證明點O在∠APB的平分線上，通過解直角三角形PED、DOP，求出直線PC與平面PAB所成角的余弦值．【解答】解：在PC上任取一點D并作DO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角．過點O作OE⊥PA，OF⊥PB，因為DO⊥平面APB，則DE⊥PA，DF⊥PB．△DEP≌△DFP，∴EP＝FP，∴△OEP≌△OFP，因為∠APC＝∠BPC＝60°，所以點O在∠APB的平分線上，即∠OPE＝30°．設(shè)PE＝1，∵∠OPE＝30°∴OP＝＝在直角△PED中，∠DPE＝60°，PE＝1，則PD＝2．在直角△DOP中，OP＝，PD＝2．則cos∠DPO＝＝．即直線PC與平面PAB所成角的余弦值是．故選：C．【點評】本題考查了直線與平面所成角的大小計算．解題過程構(gòu)造了解題必需的直角三角形．考查空間想象能力，計算能力、轉(zhuǎn)化能力．7．（5分）如圖，平面四邊形ABCD中，△BCD是等邊三角形，AB⊥BD，且AB＝BD＝2，M是AD的中點．沿BD將△BCD翻折，折成三棱錐C﹣ABD，在翻折中，下列結(jié)論正確的是（）A．三棱錐C﹣ABD的體積最大為 B．存在某個位置，使得CM與BD所成角為銳角 C．當(dāng)平面ABD⊥平面BDC時，三棱錐C﹣ABD的外接球的表面積是 D．∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角【分析】對A，據(jù)題意當(dāng)點C到平面ABD的距離最大時，體積最大，據(jù)此即可判斷A選項；對B，證明線面垂直即可得到線線垂直，即可判斷B選項；對C，利用幾何體的特征找到外接球的球心，并根據(jù)幾何關(guān)系確定半徑即可求解C選項；對D，根據(jù)二面角的平面角的定義說明D選項．【解答】解：對于A，取BD中點E，連接CE，如圖，因為△BCD是等邊三角形，所以CE⊥BD，且CE＝＝1，由AB⊥BD，AB＝BD＝2，可得S△ABD＝＝2，故當(dāng)平面BCD⊥平面ABD時，三棱錐C﹣ABD的高最大為CE，此時體積有最大值為＝，故A錯誤；對于B，取BD中點G，連接CG，MG，因為△BCD是等邊三角形，所以CG⊥BD，又因為AB⊥BD，在△ABD中，MG∥AB，所以MG⊥BD，又因為MG∩CG＝G，MG，CG?平面CGM，所以BD⊥平面CGM，又CM?平面CGM，所以BD⊥CM，故B錯誤；對于C，因為△ABD為直角三角形，所以過M作MF⊥平面ABD，設(shè)F為三棱錐C﹣ABD外接球的球心，因為平面ABD⊥平面BDC，平面ABD∩平面BDC＝BD，且CG⊥BD，CG?平面BDC，所以CG⊥平面ABD，所以MF∥CG，過F作FE∥MG交CG于點E，如圖所示，所以四邊形MFEG為矩形，MF＝EG，F(xiàn)D＝FC＝R，在直角△MFD中，R2＝MD2+MF2，即R2＝2+MF2，在直角△EFC中，R2＝EF2+CE2，即，解得，所以三棱錐C﹣ABD的外接球的表面積是，故C正確；對于D，翻折過程中，CD長度不變，但CA長度會隨著翻折程度不同而不同，所以CM不一定垂直于AD，所以∠CMB不一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角，故D錯誤．故選：C．【點評】本題考查棱錐體積，線線角，二面角，三棱錐的外接球問題，屬中檔題．8．（5分）△ABD中，點C為邊BD上一點，AB＝2，AD＝2，CD＝2，∠ABD＝60°，＝＝＝，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)余弦定理計算BD，得出三角形ABD為直角三角形，則點C為外心，再根據(jù)OA＝OP，得出點P的軌跡方程，設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運算求得結(jié)論．【解答】解：設(shè)BD＝t，因為AB＝2，AD＝2，∠ABD＝60°，所以由余弦定理可得：（2）2＝t2+22﹣，即t2﹣2t﹣8＝0，解得t＝4，（t＝﹣2舍去），即BD＝4，故有AB2+AD2＝BD2，即AB⊥AD，又點C為邊BD上一點，且CD＝2，所以BC＝2，所以△ABC為邊長為2的等邊三角形，如圖，以A為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，由||＝||＝||可知，O為△ABC的中心，由邊長為2，可得||＝，又由||＝||＝||＝||＝可知：點P位于以O(shè)（1，）為圓心，半徑為的圓上運動，即P點的軌跡方程為（x﹣1）2+（y﹣）2＝，故可設(shè)P（1+，），α∈[0，2π]，則＝（2，0），＝（1+，），所以＝2+∈[2﹣，2+]．故選：A．【點評】本題考查余弦定理，三角形中的幾何條件以及數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬中檔題．二.多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分。部分選對的得2分,有選錯的得0分。（多選）9．（5分）下列命題是真命題的有（）A．直線l的方向向量為＝（1，﹣1，2），直線m的方向向量為，則l與m垂直 B．直線l的方向向量為＝（0，1，﹣1），平面α的法向量為＝（1，﹣1，﹣1），則l⊥α C．平面α，β的法向量分別為＝（0，1，3），＝（1，0，2），則α∥β D．平面α經(jīng)過三點A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，則u+t＝1【分析】對于A，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解，對于B，結(jié)合方向向量的定義，以及向量的數(shù)量積公式，推得l∥α或l?α，即可求解，對于C，結(jié)合兩個法向量不共線，即可求解，對于D，結(jié)合法向量的定義，以及空間向量的數(shù)量積公式，即可求解．【解答】解：＝（1，﹣1，2），，則＝0，即直線l與m垂直，故A正確，直線l的方向向量為＝（0，1，﹣1），平面α的法向量為＝（1，﹣1，﹣1），則＝0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）＝0，即，所以l∥α或l?α，故B錯誤，＝（0，1，3），＝（1，0，2）不共線，則α∥β不成立，故C錯誤，∵A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴，，∵向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，∴，∴，即u+t＝1，故D正確．故選：AD．【點評】本題主要考查空間向量的數(shù)量積公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．（多選）10．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝cosθ+isinθ（i為虛數(shù)單位），則（）A．|z|＝1 B．z2＝1 C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：z＝cosθ+isinθ，則，，故AC正確；z2＝（cosθ+isinθ）2＝cos2θ﹣sin2+2sinθcosθi，故B錯誤；z+＝cosθ+isinθ+＝cosθ+isinθ+cosθ﹣isinθ＝2cosθ∈R，故D正確．故選：ACD．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）下面三個游戲都是在袋中裝球，然后從袋子中不放回地取球，分別記獲勝的概率為P1，P2，P3，則（）游戲1游戲2游戲3袋中球的數(shù)量和顏色1個紅球和1個白球2個紅球和2個白球3個紅球和1個白球取球規(guī)則取一個球依次取出2個球依次取出2個球獲勝條件取到紅球兩個球不同色兩個球同色A．P1＝P2 B．P3＜P2 C．P2＞P1 D．P1+P2+P3＝【分析】根據(jù)題意，由古典概型公式分別求出三個游戲的概率，比較可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，游戲1中，有1個紅球和1個白球，取出紅球獲勝，則P1＝；游戲2中，有2個紅球和2個白球，從中取出2個，有＝6種取法，若兩球顏色不同，有2×2＝4種取法，則P2＝＝，游戲3中，有3個紅球和1個白球，從中取出2個，有＝6種取法，若兩球顏色同色．即都是紅球，有＝3種取法，則P3＝；分析選項：B、C、D正確，A錯誤．故選：BCD．【點評】本題考查概率的應(yīng)用，涉及古典概型的計算，是基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，，，λ，μ∈[0，1]，則下列說法正確的是（）A．無論λ，μ取何值，PQ⊥B1C B．時，三棱錐P﹣CDQ的體積為定值 C．時，B1P+PQ的最小值為3 D．存在唯一的實數(shù)對（λ，μ），使得B1P⊥平面PQC【分析】由已知證明線面垂直判斷A；由棱錐體積公式判斷B；由翻折問題結(jié)合余弦定理求解B1P+PQ的最小值判斷C；由線面垂直的判定結(jié)合向量數(shù)量積求解λ與μ值判斷D．【解答】解：如圖，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，B1C⊥BC1，則B1C⊥AD1，AB⊥平面BB1C1C，則AB⊥B1C，而AB∩AD1＝A，可得B1C⊥平面ABD1，而無論λ，μ取何值，都有PQ?平面ABD1，則PQ⊥B1C，故A正確；當(dāng)時，P為BD1的中點，則P到平面CDQ的距離為定值，又△CDQ的面積為定值，則時，三棱錐P﹣CDQ的體積為定值，故B正確；時，Q為AB的中點，把平面B1BD1翻折至于平面BC1D1重合，如圖：BQ＝1，BB1＝2，cos∠B1BQ＝，∴B1P+PQ的最小值為B1Q＝＝，故C錯誤；以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），D1（0，0，2），＝（﹣2，2，0）﹣（0，2λ，0）＝（﹣2，2﹣2λ，0），＝（0，2，﹣2）﹣（2μ，2μ，﹣2μ）＝（﹣2μ，2﹣2μ，2μ﹣2），＝（2，2，0）﹣（2μ，2μ，﹣2μ）＝（2﹣2μ，2﹣2μ，2μ）．由，解得．故存在唯一的實數(shù)對（λ，μ）＝（0，），使得B1P⊥平面PQC，故D正確．故選：ABD．【點評】本題考查立體幾何知識的綜合運用，考查邏輯推理能力以及運算求解能力，屬于中檔題．三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）若復(fù)數(shù)z＝x+yi（x，y∈R），則復(fù)平面內(nèi)滿足|z﹣（1+i）|＝3的點Z圍成的圖形的面積為9π．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及圓的面積公式，即可求解．【解答】解：z＝x+yi（x，y∈R），則|x﹣1+（y﹣1）i|＝3，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝9，表示以（1，1）為圓心，3為半徑的圓，故π×32＝9π．故答案為：9π．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知P（A）＝0.7，P（B）＝0.3，且A與B互相獨立，則P（A∪B）＝0.79．【分析】由P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），結(jié)合相互獨立事件概率乘法公式能求出結(jié)果．【解答】解：P（A）＝0.7，P（B）＝0.3，且A與B互相獨立，則P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.7+0.3﹣0.7×0.3＝0.79．故答案為：0.79．【點評】本題考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．（5分）在電視劇《顯微鏡下的大明》中，算學(xué)天才帥家默使用“推步聚頂術(shù)”來計算田地的面積．口訣為“先牽經(jīng)緯以衡量（建立直角坐標(biāo)系），再點原初標(biāo)步長（確定原點和坐標(biāo)點的橫縱坐標(biāo)值）．田型取頂分別數(shù)（確定各頂點的坐標(biāo)值），再算推步知地方（再根據(jù)計算公式，算出面積）”．據(jù)研究，電視劇中的方法與高斯面積公式（也叫“鞋帶定理”）相仿．在此，我們檢驗圖形為三角形時的情形；如果在平面直角坐標(biāo)系中有三個點A（2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，﹣2），則△ABC的面積為11（平方單位）；若三角形ABO的三個頂點O（0，0），A（x1，y1），B（x2，y2）則該三角形ABO的面積為|x1y2﹣x2y1|（用x1，x2，y1，y2表示）．【分析】利用坐標(biāo)表示向量，根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出夾角的余弦值，再利用平方關(guān)系求出正弦值，即可計算三角形的面積．【解答】解：因為A（2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，﹣2），所以＝（﹣5，﹣1），＝（﹣3，﹣5），＝（2，﹣4），所以?＝20，||＝，||＝，所以cos＜，＞＝＝，即cosA＝，所以sinA＝＝，所以△ABC的面積為×||×||×sinA＝×××＝11（平方單位）；若三角形ABO的三個頂點O（0，0），A（x1，y1），B（x2，y2），則＝（x1，y1），＝（x2，y2），?＝x1x2+y1y2，||＝，||＝，所以cos＜，＞＝，所以sin＜，＞＝＝，所以該三角形ABO的面積為×||×||×sin＜，＞＝|x1y2﹣x2y1|．故答案為：11；|x1y2﹣x2y1|．【點評】本題考查了三角形面積計算問題，也考查了運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．16．（5分）為了解某公司員工的身體肥胖情況，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，采用分層隨機(jī)抽樣方法抽取了90名男員工、50名女員工的身高和體重數(shù)據(jù)，計算得到他們的BMI值．男女員工的BMI值的中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差和極差如表所示．中位數(shù)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差方差極差男員工21.622.13.714.319.3女員工19.620.7416.417.7從以上數(shù)據(jù)可以估算出該公司全體人員的BMI值的平均值為21.6，方差為15.5．．（以上結(jié)果精確到0.1）【分析】根據(jù)題意，由總體的平均數(shù)、方差計算公式直接計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，樣本中，有90名男員工、50名女員工，該公司全體人員的BMI值的平均值＝＝21.6；方差S2＝[14.3+（22.1﹣21.6）2]+[16.4+（20.7﹣21.6）2]≈15.5．故答案為：21.6；15.5．【點評】本題考查總體的平均數(shù)和方差的計算，注意總體平均數(shù)、方差的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．四.解答題：本題共6小題、17題10分，其余每小題10分共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知k∈R，向量＝（3，2+k），＝（k，1）．（1）若向量與平行，求k的值；（2）若向量與的夾角為銳角，求k的取值范圍．【分析】（1）由已知結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示即可求解；（2）由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)的坐標(biāo)表示可求．【解答】解：（1）因為＝（3，2+k），＝（k，1），所以＝（3﹣2k，k），若向量與平行，則3﹣2k＝k2，解得k＝1或k＝﹣3；（2）若與的夾角為銳角，則k（3﹣2k）+k＞0且k≠1，k≠﹣3，解得0＜k＜2且k≠1，故k的范圍為{k|0＜k＜2且k≠1}．【點評】本題主要考查了向量共線的坐標(biāo)表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）某校在一次期末數(shù)學(xué)測試中，為統(tǒng)計學(xué)生的考試情況，從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的考試成績，被測學(xué)生成績?nèi)拷橛?5分到145分之間（滿分150分），將統(tǒng)計結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[65，75），第二組[75，85），……第八組[135，145]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．（1）求第七組的頻率，并完成頻率分布直方圖；（2）用樣本數(shù)據(jù)估計該校的2000名學(xué)生這次考試成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表該組數(shù)據(jù)平均值）；（3）若從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求他們的分差的絕對值小于10分的概率．【分析】（1）由頻率分布直方圖能求出第七組的頻率，由此能完成頻率分布直方圖．（2）用樣本數(shù)據(jù)能估計該校的2000名學(xué)生這次考試成績的平均分．（3）樣本成績屬于第六組的有3人，樣本成績屬于第八組的有2人，從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，基本事件總數(shù)n＝＝10，他們的分差的絕對值小于10分包含的基本事件個數(shù)m＝＝4，由此能求出他們的分差的絕對值小于10分的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：1﹣（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004）×10＝0.08．完成頻率分布直方圖如下：（2）用樣本數(shù)據(jù)估計該校的2000名學(xué)生這次考試成績的平均分為：70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10+100×0.030×10+110×0.020×10+120×0.006×10+130×0.008×10+140×0.004×10＝102．（3）樣本成績屬于第六組的有0.006×10×50＝3人，樣本成績屬于第八組的有0.004×10×50＝2人，從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，基本事件總數(shù)n＝＝10，他們的分差的絕對值小于10分包含的基本事件個數(shù)m＝＝4，∴他們的分差的絕對值小于10分的概率p＝＝．【點評】本題考查頻率、平均分、概率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．19．（12分）某學(xué)校組織“紅樓論數(shù)”數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽．比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽．已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，；甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響．（1）從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？（2）若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率．【分析】（1）利用概率的乘法公式計算出甲贏得比賽概率，乙贏得比賽的概率，再比較即可；（2）首先利用對立事件概率求得甲和乙都未贏比賽的概率，求出至少一人贏得比賽的概率．【解答】解：（1）甲贏得比賽的概率為×＝，乙贏得比賽的概率為×＝，因為＞，所以派甲參賽贏得比賽的概率更大．（2）由（1）得，甲和乙都未贏比賽的概率（1﹣）×（1﹣）＝，則兩人中至少有一人贏得比賽的概率1﹣＝．【點評】本題考查相互獨立事件的乘法公式，是基礎(chǔ)題．20．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為BC的中點，BB1＝BC，平面A1BC⊥平面ABB1A1．（1）求證：A1B∥平面ADC1；（2）求證：B1C⊥平面ABC1．【分析】（1）設(shè)A1C與AC1相交于點O，連接OD，證明OD∥A1B，即可證明A1B∥平面ADC1．（2）連接B1C與BC1，由B1B⊥平面ABC得出B1B⊥BC，由BB1＝BC得出B1C⊥BC1，再證明AB⊥B1C，即可證明B1C⊥平面ABC1．【解答】證明：（1）設(shè)A1C與AC1相交于點O，連接OD，則O為A1C的中點，因為D為BC的中點，所以O(shè)D∥A1B，又OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．（2）連接B1C與BC1，由直三棱柱的性質(zhì)知，B1B⊥平面ABC，因為BC?平面ABC，所以B1B⊥BC，因為BB1＝BC，所以四邊形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1，又因為平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，過點C作CP⊥A1B，垂足為P，則CP⊥平面ABB1A1，所以CP⊥BB1，所以CP與CB重合，所以CB⊥平面ABB1A1，所以CB⊥AB，又因為AB⊥BB1，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，又AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1．【點評】本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了推理與證明能力，是中檔題．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD＝2，E是PC的中點，平面ABE與線段PD交于點F．（1）證明：F為PD的中點；（2）若三棱錐P﹣BCF的體積為1，求平面CFB與平面AFB夾角的余弦值．【分析】（1）由線面平行的判定證AB∥平面PCD，再由線面平行的性質(zhì)可證AB∥EF，進(jìn)而有△PCD中EF為中位線，即可證結(jié)論；（2）由線面垂直的性質(zhì)、判定證PD，DA，DC兩兩垂直，且BC⊥面PCD，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)等積法求得CD＝3，由平面的法向量求得平面CFB與平面AFB夾角的余弦值．【解答】（1）證明：由底面ABCD是矩形，則AB∥CD，而AB?平面PCD，CD?平面PCD，所以AB∥平面PCD，又E是PC的中點，平面ABE與線段PD交于點F，即平面ABE∩平面PCD＝EF，而AB?平面ABE，則AB∥EF，故CD∥EF，△PCD中EF為