/合作探究探究點1數字問題情景激疑一個兩位數如何表示？三位數呢？你能得到什么規律呢？知識詳解個位數為a,十位數為b,那么這兩位數表示為10b+a.注意：a,b必須都是正整數,a可為0.典例剖析例一：一個兩位數、十位數字與個位數字之和是6.把這個數的個位數字與十位數字對調后,所得的新兩位數與原來的兩位數的積是1008.求這個兩位數。解析：設個位數字為x,十位數字為y.那么這個兩位數表示為10y+x.答案：根據題意可知,106-x+x10x+(6所以,當x=2時.6-x=4;當x=4時,6-x=2.故這個兩位數是42或24.類題突破1一個兩位數,十位上的數字比個位上的數字的平方少9.如果把十位上的數字與個位上的數字對調,得到的兩位數比原來的兩位數小27.求原來的兩位數.答案：設原兩位數個位上的數字為x,那么十位上的數字為(x2-9).∴10(x2-9)+x-10x-(x2-9)=27.解得x1=4.x2=-3(不符合題意,舍去)∴x2-9=7.∴原兩位數為74.點撥：等量關系為:原來的兩位數-新兩位數=27,把相關數值代入計算可得各位上的數字,根據兩位數的表示方法求得兩位數即可.探究點2(高頻考點)增長率問題情景激疑你知道關于增長率的公式嗎?知識講解增長率=增長數量原數量增長數量原數量說明增長率、成功率、成活率、發芽率等等都是此類問題,典例剖析例2某商場于第一年年初投入50萬元進行商品經營,以后每年年終將當年獲得的利潤與當年年初投人的資金相加所得的總資金作為下一年年初投入的資金繼續進行經營.(1)如果第一年的年獲利率為P,那么第一年年終的總資金是多少萬元?(用代數式來表示)(注:年獲利率=年利潤年初投入資金(2)如果第二年的年獲利率多10個百分點(即第年的年獲利率是第一年的年獲利率10%的和),第二年年終的總資金為66萬元.求第一年的年獲利率.解析：要分析出內部的數量關系,合理利用公式.答案：(1)第一年年終總資金=50(1+P)萬元,(2)50(1+P)(1+P+10%)=66,整理得:P2+2.1P-0.22=0,解得P=10%.或P=-2.2(不合題意,舍去).類題突破2某種商品的進價為a元,商店將價格提高20%銷售經過一段時間,又以九折的價格促銷,這時這種商品的價格是A.a元B.0.9a元C.1.12a元D.1.08a元答案D點撥第一次定價為1.2a,再打九折,變為1.2×0.9a=1.08a.類題突破3某商廈九月份的銷售額為200萬元,十月份的銷售額比九月份的銷售額下降了20%,商廈從十一月份起加強管理,改善經營,使銷售額穩步上升,十二月份的銷售額到達193.6萬元,求這兩個月的平均增長率。答案：設這兩個月的平均增長率為x.依題得200×(1-20%)(1+x)2=193.6,即(1+xr)2=1.21.解得x=-1±1.1.即x1=0.1,x2=-2.1(不合題意,舍去).答:這兩個月的平均增長率為10%.點撥此題主要考查增長率的問題,運用增長率的公式a(1+x)2=b即可解題,關鍵是弄清公式中各個字母的意義,結合題意確定a,b,n的值,此題中a的值容易誤認為是200,而實際上,a的值應為200×(1-20%),另外,解出方程后應結合題意合理地對兩根進行取舍。探究點3(高頻考點)面積問題情景激疑某校為了美化校園,準備在一塊長32米,寬20米的長方形場地上修筑假設干條道路,余下局部作草坪,并請全校同學參與設計,現在有兩位學生各設計了一種方案(如圖),根據兩種設計的方案列出方程,使圖(1)和圖(2)的草坪總面積均為540平方米,求圖中道路的寬分別是多少.知識講解根據題目畫出幾何圖形據圖形分析后列出方程解決典例剖析例3某村方案建造如下圖的矩形蔬菜溫室,要求長與寬的比為2:1.在溫室內,沿前側內墻保存3m寬的空地,其他三側內墻各保存1m寬的通道,當矩形溫室的長與寬各為多少時,疏菜種植區域的面積是288m2?解析此題有多種解法,設的對象不同那么所得一元二次方程不同,根據矩形的面積公式即可列出方程求解.答案：解法一:設矩形溫室的寬為xm,那么長為2xm.根據題意,得(x-2)(2x-4)=288.解這個方程,得x1=-10(不合題意,舍去),x2=14.所以x=14,2x=2×14=28.答:當矩形溫室的長為28m,寬為14m時,蔬菜種植區域的面積是288m2解法二：設矩形溫室的長為xm,那么寬為12xm根據題意得(12x-2)〔解這個方程,得x1=20(不合題意,舍去),x2=28.所以x-28,12答:當矩形溫室的長為28m,寬為14m時,蔬菜種植區城的面積是288m2.類題突破4如圖,在寬為20m,長為32m的矩形地面上格寬同樣寬的道路(圖中陰影局部),余下的局部種上草坪,求使店坪的面積為540m2時道路的寬(局部參考數據:322=1024,522=2704,482=2304)答案：解法一:由題意轉化為如圖(1),設道路寬為xm.根據題意列出方程為(20-x)(32-x)=540.整理,得x2-52x+100=0.解得x1=50(舍去),x2=2.答：道路寬為2m.解法二:由題意轉化為圖(2),設道路寬為xm.根據題意,列方程得20×32-(20+32)x+x2=540.整理,得x2-52x+100=0.解得x1=50(舍去),x2=2.答:道路寬為2m.點撥此題可設道路寬為x米,利用平移把不規那么的圖形變為規那么圖形,進而列方程求解探究點4折疊問題情景激疑在折疊紙片時,想一想,應注意些什么?知識講解在折疊問題中,要注意哪些量折疊前后變化了,哪些量沒變化,哪些可以用“平移〞思想。典例剖析例4張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮,他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1m的正方形后,剩下的局部剛好能圍成一個容積為15m3的無蓋長方體運輸箱(如下列圖),且此長方體運輸箱底面的長比寬多2m現購置這種鐵皮每平方米需20元錢,同張大權購回這張矩形鐵皮共花多少錢?解析：求購置鐵皮所花的錢--需求鐵皮的總面積--需求出原矩形鐵皮的長和寬--需求出長方體運輸箱底面的長和寬.設寬為xm,那么長為(x+2)m,根據條件“無蓋長方體運輸箱的體積為15m3〞,由長方體的體積公式可列出方程求解。答案：設這種運輸箱的下底寬xm.那么下底長為〔x+2)m,張大叔購回這張矩形鐵皮用20(x+2)(x+4)元,據題意,得x(x+2)×1=15.整理,得x2+2x-15=0.解得x1=3,x2=5(不合題意,舍去).所以20(x+2)(x+4)=20×5×7=700〔元).答：張大叔購置這張矩形鐵皮共花700元錢類題突破5如下列圖,張矩形紙片ABCD,假設把△ABE沿折痕BE向上解折,使點A恰好落在CD邊上,設此點是F且這時AE：ED=5:3.BE=5,DF=4,這個矩形的長和寬各為多少?答案:AE:ED=5：3設AE=5x,ED=3x.由折疊的性質,得△EAB≌△EFB,∴AE=EF=5x在Rt△DEF中,(5x)2-(3x)2=42,解得x1=1,x2=-1(不合題意,舍去)∴DE=3,AE=5,AD=8.在Rt△ABE中,AB=BE2-AE答:矩形的長、寬分別是10和8.點撥由折疊可知△EAB≌△EFB,設AE=EF=5x,ED=3x,利用勾股定理可求出x的值,從而求出矩形的長與寬.重點難點重難點1形積問題形積問題中的常見類型:(1)利用勾股定理列一元二飲方程求三角形矩形的邊長;(2)利用三角形、矩形菱形、梯形和圓的面積,以及柱體體積公式建立等量關系列一元二次方程;(3)利用相似三角形的對應比例關系列比例式,通過兩內項之積等于兩外項之積,得到一元二次方程.例1用一面墻(墻的長度不限),另三邊用58m長的籬笆圍成一個面積為200m2的矩形場地,求矩形的長和寬.解析：設垂直于墻的一邊為x米,那么鄰邊長為(58-2x),利用矩形的面積公式列出方程并解答.答案設垂直于墻的邊為x米,得:x(58-2x)=200.解得:x1=25,或x2=4.∴另一邊為8米或50米.答:當矩形長為25米時,寬為8米;當矩形長為50米時,寬為4米.類題突破1如圖,在長為10cm,寬為8cm的矩形的四個角上截去四個全等的小正方形,使得留下的圖形(圖中陰影局部)面積是原矩形面積的80%,求所截去小正方形的邊長.答案設小正方形的邊長為xcm由題意,得80-4x2=80%×10×8.∴解得x1=2,x2=-2.經檢驗x1=2符合題意,x2=-2不符合題意、舍去所以x=2.答:截去的小正方形的邊長為2cm.點撥等量關系為:矩形面積-四個全等的小正方形面積一矩形面積×80%,列方程即可求解.重難點2增長(降低)率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時,要理清原來數量、后來數量、增長率或降低率,以及增長或降低的次數之間的數量關系,如果列出的方程是元二次方程,那么應在原數的根底上增長或降低兩次。如增長率:假設原數是a,每次增長的百分率為x,那么第一次增長后為a(1+x);第二次增長后為a(1+x)+a(l+x)x=a(1+x)(1+x)=a(1+x)2,即原數×(1+增長百分率)2=后來數.同理得降低率問題的關系式:原數×(1-降低百分率)2=后來數.例2某工廠2019年年初投資100萬元生產某種新產品,2019年年底將獲得的利潤與年初的投資之和作為2009年年初的投資,到2009年年底,兩年共獲利潤56萬元2009年的年利潤率比2019年的年利潤率多10個百分點,求2009年的年利潤率,解析如果設2019年的年利潤率為x,那么2009年的年利潤率為(x+10%),那么2019年年底所獲利潤為100x萬元,2009年年初的投資即為(100x＋100)萬元,2009年年底所獲利潤為(100x+100)(x+10%)萬元,而兩年共獲利潤為56萬元,所以可列出方程,答案：設2019年的年利潤率為x,那么2009年的年利潤率為〔x+10%).根據題意,得100x+(100x+100)(x+10%)=56.整理,得50x2+105x-23=0.解得x1=20%,x2=一230%(不合題意,舍去),所以x+10%=30%.答:2009年的年利潤率為30%.類題突破2某商場今年2月份的營業額為400萬元,3月份的營業額比2月份增加10%,5月份的營業額到達633.6萬元,求3月份到5月份營業額的平均月增長率。答案設3月份到5月份的營業額的平均月增長率為x。根據題意,得400(1+10%)(1+x)2=633.6.整理,得(l+x)2=1.44.解得x1=0.2,x2=-2.2(不合題意,舍去).答:3月份到5月份的營業額的平均月增長率為20%.點撥2月份的管業額為400萬元,3月份的營業額,400〔1+10%)萬元,假設設3月份到5月份營業額的平均月增長為x.那么4月份的營業額為400(1+10%)(1+x)萬元,5月份營業額為400(1+10%(1+x)2萬元,又因“5月份的營業額到633.6萬元〞,于是,列一元二次方程,求解即可.重難點3動點問題物體的運動將會沿著一條路線或形成條痕跡,運行的線與其他條件(如作重線段)會構成直角三角形,有時運動的物體在海面上或空中,這就要運用方向標,在使用方向標時,正確理解和描述運動物體任某點的準確位置(包含距離和方向)往往借助方向標構造直角三角形,因此,我們可運用直角形的性質列方程求解,例3如圖,在△ABC中,∠B=900,AB=4cm,BC=10m,P從點B出發沿BC以1cm/s的速度向點C移動,問:經過多后,點P到點A的距離的平方比點P到點B的距離的8倍大1？解析假設當P點移到E點時可滿足此題的條件,由題意得EA2-8EB=1.答案設經過x秒后,點P到點A的距離的平方比點P到B的距離的8倍大1.由題意,得BE=1×x=xcm.AE2=42+x2-8x=1.解得x1=3,x2=5.答:經過3秒或5秒后,點P到點A的距離的平方比點P到點B的距離的8倍大1.類題突破3如圖,矩形ABCD的邊長AB=3cm,BC=6cm,某時刻,動點M從點A出發沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動;同時,動點N從點D沿DA方向以2cm/s的速度向點A勻速運動經過多少時間,△AMN的面積等于矩形ABCD面積的19答案設經過t秒,S△AMN等于S矩形ABCD的19那么AM=t,AN=6-2t.由題意,得12AN·AM=19即12t·(6-2t)=19×3×6,整理,得t2答：經過1秒或2秒時,△AMN的面積等于矩形ABCD面積的1點撥易得AM.AN的長,利用△AMN的面積等于矩形ABCD面積的,列出等式求解即可.重難點4利潤問題在利潤問題中,經常用到的等展關系有:單件利潤=單件售價-單件進價,總利潤=總收入-總本錢或總利潤=每件商品的利潤×銷售量,利潤率=售價例4某商店準備進批來節性小家電,單價40元經市場預測,銷售定價為52元時,可售出180個,定價每增加1元,銷售最凈減少10個;定價每減少1元,銷售量凈增加10個,因受庫存的影響,每批次進貨個數不得超過180個,商店假設將準備獲利2019元,那么應進貨多少個?定價為多少元?解析利用銷售利潤=售價-進價,根據題中條件可以列出利潤與x的關系式,求出即可,答案設每個商品的定價是x元,由題意,得(x-40)[180-10(x-52)]=2019.整理,得x2-110x+3000=0.解得x1=50,或x2=60.當x=50時,進貨180-10(50-52)=200個>180個,不符合題意,舍去;當x=60時進貨180-10(60-52)=100個<180個,符合題意.答：當該商品每個定價為60元時,進貨100個.類題突破4商場某種商品平均每天可銷售30件,每件盈利50元為了盡快減少庫存,商場決定采取適當的降價措施.經調查發現,每件商品每降價1元,商場平均每天可多售出2件.設每件商品降價x元據此規律,請答復:(1)商場日銷售量增加件,每件商品盈利元(用含x的代數式表示);(2)在上述條件不變、銷售正常情況下,每件商品降價多少元時,商場日盈利可到達2100元?答案(1)2x50-t(2)由題意,得:(50-x)(30+2x)=2100.化簡,得:x2-35x+300=0,即(x-15)(x-20)=0.解得:x1=15,或x2=20.∵該商場為了盡快減少庫存∴降得越多,越吸引顧客∴選x=20,答：每件商品降價20元,商場日盈利可達2100元點撥(1)降價1元,可多售出2件,降價x元,可多售出2x件,盈利的錢數=原來的盈利-降低的錢數;(2)等量關系為:每件商品的盈利×可賣出商品的件數=2100,把相關數值代入計算得到適宜的解即可。易錯指導易錯點1不能正確地使用增長率公式例1某經濟開發區今年一月份工業產值達50億元,第一季度總產值達175億元.試求二、三月份平均每月的增長率是多少.設平均每月的增長率為x,根據題意,得方程為錯解50(1+x)2=175錯因分析產生錯解的原因有兩個:一是審題不認真,二是硬套平均增長