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2024屆江蘇省常熟市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為,若,則等于()A.81 B.90 C.99 D.1802.若點(diǎn)(m,n)在反比例函數(shù)y=的圖象上,其中m<0,則m+3n的最大值等于()A.2 B.2 C.﹣2 D.﹣23.已知,則的值域?yàn)锳. B. C. D.4.已知在角終邊上,若,則()A. B.-2 C.2 D.5.若實(shí)數(shù)x,y滿足x2y2A.4,8 B.8,+6.某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告,廣告費(fèi)用不超過9萬(wàn)元,甲、乙電視臺(tái)的廣告費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別是500元/分鐘和200元/分鐘,假設(shè)甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司做的廣告能給公司帶來的收益分別為0.4萬(wàn)元/分鐘和0.2萬(wàn)元/分鐘,那么該公司合理分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間,能使公司獲得最大的收益是()萬(wàn)元A.72 B.80 C.84 D.907.在等差數(shù)列中,已知,數(shù)列的前5項(xiàng)的和為,則()A. B. C. D.8.函數(shù)的圖象如圖所示,為了得到的圖象,可將的圖象()A.向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位9.已知圓的方程為,則圓心坐標(biāo)為()A. B. C. D.10.已知函數(shù)在時(shí)取最大值,在是取最小值,則以下各式:①;②;③可能成立的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知,,則______.12.已知向量,若向量與垂直,則等于_______.13.若存在實(shí)數(shù),使不等式成立,則的取值范圍是_______________.14.在平面直角坐標(biāo)系中,角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊過點(diǎn),則_______;_______.15.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,,則它的前項(xiàng)和為______.16.設(shè)集合,它共有個(gè)二元子集,如、、等等.記這個(gè)二元子集為、、、、,設(shè),定義,則_____.(結(jié)果用數(shù)字作答)三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知:以點(diǎn)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O,A,與y軸交于點(diǎn)O,B,其中0為原點(diǎn)。(1)求證:的面積為定值;(2)設(shè)直線與圓C交于點(diǎn)M,N,若,求圓C的方程.18.已知數(shù)列滿足,且(,且).(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,求證:.19.已知是夾角為的單位向量,且,.(1)求;(2)求與的夾角.20.某“雙一流A類”大學(xué)就業(yè)部從該校2018年已就業(yè)的大學(xué)本科畢業(yè)生中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行問卷調(diào)查,其中一項(xiàng)是他們的月薪收入情況,調(diào)查發(fā)現(xiàn),他們的月薪收入在人民幣1.65萬(wàn)元到2.35萬(wàn)元之間,根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分組,得到如下的頻率分布直方圖:(1)為感謝同學(xué)們對(duì)這項(xiàng)調(diào)查工作的支持,該校利用分層抽樣的方法從樣本的前兩組中抽出6人,各贈(zèng)送一份禮品,并從這6人中再抽取2人,各贈(zèng)送某款智能手機(jī)1部,求獲贈(zèng)智能手機(jī)的2人月薪都不低于1.75萬(wàn)元的概率;(2)同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表.(i)求這100人月薪收入的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(ii)該校在某地區(qū)就業(yè)的本科畢業(yè)生共50人,決定于2019國(guó)慶長(zhǎng)假期間舉辦一次同學(xué)聯(lián)誼會(huì),并收取一定的活動(dòng)費(fèi)用,有兩種收費(fèi)方案:方案一:設(shè)Ω=[x-s-0.018,x+s+0.018),月薪落在區(qū)間Ω左側(cè)的每人收取400元,月薪落在區(qū)間方案二:按每人一個(gè)月薪水的3%收取;用該校就業(yè)部統(tǒng)計(jì)的這100人月薪收入的樣本頻率進(jìn)行估算,哪一種收費(fèi)方案能收到更多的費(fèi)用?參考數(shù)據(jù):174≈13.221.已知為等差數(shù)列,且,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若等比數(shù)列滿足,,求數(shù)列的前項(xiàng)和公式.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】
根據(jù)已知得到的值,利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì),求得的值.【題目詳解】依題意,所以,故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】
根據(jù)題意可得出,再根據(jù)可得,將添上兩個(gè)負(fù)號(hào)運(yùn)用基本不等式,即可求解.【題目詳解】由題意,可得,因?yàn)椋裕裕?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用,其中解答中熟記基本不等式的使用條件,合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】
利用求函數(shù)的周期為,計(jì)算即可得到函數(shù)的值域.【題目詳解】因?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)的周期,所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔬xC.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的周期運(yùn)算,及利用函數(shù)的周期性求函數(shù)的值域.4、C【解題分析】
由正弦函數(shù)的定義求解.【題目詳解】,顯然,∴.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦函數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.解題時(shí)注意的符號(hào).5、A【解題分析】
利用基本不等式得x2y2【題目詳解】∵x2y2≤(x2+y2)24∴x2故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式求最值問題,解題關(guān)鍵是掌握基本不等式的變形應(yīng)用:ab≤(a+b)6、B【解題分析】
設(shè)公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間分別為分鐘,總收益為元,根據(jù)題意得到約束條件,目標(biāo)函數(shù),平行目標(biāo)函數(shù)圖象找到在縱軸上截距最大時(shí)所經(jīng)過的點(diǎn),把點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中即可.【題目詳解】設(shè)公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間分別為分鐘,總收益為元,則由題意可得可行解域:,目標(biāo)函數(shù)為可行解域化簡(jiǎn)得,,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),畫出可行解域,如下圖所示:作直線,即,平行移動(dòng)直線,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值,聯(lián)立,解得,所以點(diǎn)坐標(biāo)為,因此目標(biāo)函數(shù)最大值為,故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了應(yīng)用線性規(guī)劃知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,正確列出約束條件,畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.7、C【解題分析】
由,可求出,結(jié)合,可求出及.【題目詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,公差為,因?yàn)椋裕瑒t,故.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和,考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】
函數(shù)過代入解得,再通過平移得到的圖像.【題目詳解】,函數(shù)過向右平移個(gè)單位得到的圖象故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)圖形,求函數(shù)表達(dá)式,函數(shù)平移,意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)圖形的理解.9、C【解題分析】試題分析:的方程變形為,圓心為考點(diǎn):圓的方程10、A【解題分析】
由余弦函數(shù)性質(zhì)得,(),解出后,計(jì)算,可知三個(gè)等式都不可能成立.【題目詳解】由題意,(),解得,,,,三個(gè)都不可能成立,正確個(gè)數(shù)為1.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),解題時(shí)要注意對(duì)中的整數(shù)要用不同的字母表示,否則可能出現(xiàn)遺漏,出現(xiàn)錯(cuò)誤.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解題分析】
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值,利用二倍角的正切公式,求得,再利用兩角和的正切公式,求得的值,再結(jié)合的范圍,求得的值.【題目詳解】,,,,,,故答案:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和的正切公式,二倍角的正切公式,根據(jù)三角函數(shù)的值求角,屬于基礎(chǔ)題.12、2【解題分析】
根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,列出方程,即可求解.【題目詳解】由題意,向量,因?yàn)橄蛄颗c垂直,所以,解得.故答案為:2.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,以及向量的垂直關(guān)系的應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.13、;【解題分析】
不等式轉(zhuǎn)化為,由于存在,使不等式成立,因此只要求得的最小值即可.【題目詳解】由題意存在,使得不等式成立,當(dāng)時(shí),,其最小值為,∴.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式能成立問題,解題關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.不等式能成立與不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化區(qū)別:在定義域上,不等式恒成立,則,不等式能成立,則,不等式恒成立,則,不等式能成立,則.轉(zhuǎn)化時(shí)要注意是求最大值還是求最小值.14、【解題分析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義直接求得的值,即可得答案.【題目詳解】∵角終邊過點(diǎn),,∴,,,∴.故答案為:;.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的定義,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】
利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比,由此能求出它的前項(xiàng)和.【題目詳解】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為,由,得,且,解得,它的前項(xiàng)和為.故答案:.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、1835028【解題分析】
分別分析中二元子集中較大元素分別為、、、時(shí),對(duì)應(yīng)的二元子集中較小的元素,再利用題中的定義結(jié)合數(shù)列求和思想求出結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)二元子集較大的數(shù)為,則較小的數(shù)為;當(dāng)二元子集較大的數(shù)為,則較小的數(shù)為、;當(dāng)二元子集較大的數(shù)為,則較小的數(shù)為、、;當(dāng)二元子集較大的數(shù)為,則較小的數(shù)為、、、、.由題意可得,令,得,上式下式得,化簡(jiǎn)得,因此,,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查新定義,同時(shí)也考查了數(shù)列求和,解題的關(guān)鍵就是找出相應(yīng)的規(guī)律,列出代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于難題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)或【解題分析】
(1)先計(jì)算半徑,得到圓方程,再計(jì)算AB坐標(biāo),計(jì)算的面積得到答案.(2)根據(jù)計(jì)算得到答案.【題目詳解】(1),過原點(diǎn)取取為定值.(2)設(shè)直線與圓C交于點(diǎn)M,N,若設(shè)中點(diǎn)為,連接圓心在上圓C的方程為:或【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形面積,直線和圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18、(1)詳見解析;(2);(3)詳見解析.【解題分析】
(1)用定義證明得到答案.(2)推出(3)利用錯(cuò)位相減法和分組求和法得到,再證明不等式.【題目詳解】解:(1)由,得,即.∴數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.(2)∵數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,∴,∴.(3).∴,∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的證明,分組求和法,錯(cuò)位相減法,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.19、(1)(2)【解題分析】試題分析:(1)根據(jù)題知,由向量的數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算即可,注意,在去括號(hào)的向量運(yùn)算過程中可采用多項(xiàng)式的運(yùn)算方法;(2)根據(jù)向量數(shù)量積公式,可先求出的值,又,從而可求出的值.試題解析:(1)==(2)20、(1)23;(2)(i)2,0.0174【解題分析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出前2組中的人數(shù),由分層抽樣得抽取的人數(shù),然后把6人編號(hào),可寫出任取2人的所有組合,也可得出獲贈(zèng)智能手機(jī)的2人月薪都不低于1.75萬(wàn)元的所有組合,從而可計(jì)算出概率.(2)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出均值和方差,然后求出區(qū)間Ω,結(jié)合頻率分布直方圖可計(jì)算出兩方案收取的費(fèi)用.【題目詳解】(1)第一組有0.2×0.1×100=2人,第二組有1.0×0.1×100=10人.按照分層抽樣抽6人時(shí),第一組抽1人,記為A,第二組抽5人,記為B,C,D,E,F(xiàn).從這6人中抽2人共有15種:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F).獲贈(zèng)智能手機(jī)的2人月薪都不低于1.75萬(wàn)元的10種:(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F).于是獲贈(zèng)智能手機(jī)的2人月薪都超過1.75萬(wàn)元的概率P=10(2)(i)這100人月薪收入的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別是s2(ii)方案一:s=月薪落在區(qū)間Ω左側(cè)收活動(dòng)費(fèi)用約為(0.02+0.10)×400×50÷10000=0.24(萬(wàn)元);月薪落在區(qū)間Ω收活動(dòng)費(fèi)用約為(0.24+0.31+0.20)×600×50÷10000=2.25(萬(wàn)元);月薪落在區(qū)間Ω右側(cè)收活
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