2024屆江蘇省常熟市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，若，則等于（）A．81 B．90 C．99 D．1802．若點(diǎn)（m，n）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，其中m＜0，則m+3n的最大值等于（）A．2 B．2 C．﹣2 D．﹣23．已知，則的值域?yàn)锳． B． C． D．4．已知在角終邊上，若，則（）A． B．-2 C．2 D．5．若實(shí)數(shù)x,y滿足x2y2A．4，8 B．8，+6．某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告費(fèi)用不超過9萬(wàn)元，甲、乙電視臺(tái)的廣告費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別是500元/分鐘和200元/分鐘，假設(shè)甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司做的廣告能給公司帶來的收益分別為0.4萬(wàn)元/分鐘和0.2萬(wàn)元/分鐘，那么該公司合理分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，能使公司獲得最大的收益是（）萬(wàn)元A．72 B．80 C．84 D．907．在等差數(shù)列中，已知，數(shù)列的前5項(xiàng)的和為，則（）A． B． C． D．8．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（）A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位9．已知圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)在時(shí)取最大值，在是取最小值，則以下各式：①；②；③可能成立的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，則______.12．已知向量，若向量與垂直，則等于_______．13．若存在實(shí)數(shù)，使不等式成立，則的取值范圍是_______________.14．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，則_______；_______.15．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，則它的前項(xiàng)和為______.16．設(shè)集合，它共有個(gè)二元子集，如、、等等．記這個(gè)二元子集為、、、、，設(shè)，定義，則_____．（結(jié)果用數(shù)字作答）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知：以點(diǎn)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中0為原點(diǎn)。（1）求證：的面積為定值；（2）設(shè)直線與圓C交于點(diǎn)M，N，若，求圓C的方程.18．已知數(shù)列滿足，且（，且）.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.19．已知是夾角為的單位向量，且，．（1）求；（2）求與的夾角．20．某“雙一流A類”大學(xué)就業(yè)部從該校2018年已就業(yè)的大學(xué)本科畢業(yè)生中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中一項(xiàng)是他們的月薪收入情況，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，他們的月薪收入在人民幣1.65萬(wàn)元到2.35萬(wàn)元之間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分組，得到如下的頻率分布直方圖：（1）為感謝同學(xué)們對(duì)這項(xiàng)調(diào)查工作的支持，該校利用分層抽樣的方法從樣本的前兩組中抽出6人，各贈(zèng)送一份禮品，并從這6人中再抽取2人，各贈(zèng)送某款智能手機(jī)1部，求獲贈(zèng)智能手機(jī)的2人月薪都不低于1.75萬(wàn)元的概率；（2）同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表.（i）求這100人月薪收入的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2（ii）該校在某地區(qū)就業(yè)的本科畢業(yè)生共50人，決定于2019國(guó)慶長(zhǎng)假期間舉辦一次同學(xué)聯(lián)誼會(huì)，并收取一定的活動(dòng)費(fèi)用，有兩種收費(fèi)方案：方案一：設(shè)Ω=[x-s-0.018,x+s+0.018)，月薪落在區(qū)間Ω左側(cè)的每人收取400元，月薪落在區(qū)間方案二：按每人一個(gè)月薪水的3%收取；用該校就業(yè)部統(tǒng)計(jì)的這100人月薪收入的樣本頻率進(jìn)行估算，哪一種收費(fèi)方案能收到更多的費(fèi)用？參考數(shù)據(jù)：174≈13.221．已知為等差數(shù)列，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和公式．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)已知得到的值，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)，求得的值.【題目詳解】依題意，所以，故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

根據(jù)題意可得出，再根據(jù)可得，將添上兩個(gè)負(fù)號(hào)運(yùn)用基本不等式，即可求解．【題目詳解】由題意，可得，因?yàn)椋裕裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件，合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】

利用求函數(shù)的周期為，計(jì)算即可得到函數(shù)的值域.【題目詳解】因?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)的周期，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔬xC.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的周期運(yùn)算，及利用函數(shù)的周期性求函數(shù)的值域.4、C【解題分析】

由正弦函數(shù)的定義求解．【題目詳解】，顯然，∴．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．解題時(shí)注意的符號(hào)．5、A【解題分析】

利用基本不等式得x2y2【題目詳解】∵x2y2≤(x2+y2)24∴x2故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式求最值問題，解題關(guān)鍵是掌握基本不等式的變形應(yīng)用：ab≤(a+b)6、B【解題分析】

設(shè)公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間分別為分鐘，總收益為元，根據(jù)題意得到約束條件，目標(biāo)函數(shù)，平行目標(biāo)函數(shù)圖象找到在縱軸上截距最大時(shí)所經(jīng)過的點(diǎn),把點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中即可.【題目詳解】設(shè)公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間分別為分鐘，總收益為元，則由題意可得可行解域：，目標(biāo)函數(shù)為可行解域化簡(jiǎn)得，，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，如下圖所示：作直線，即，平行移動(dòng)直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，因此目標(biāo)函數(shù)最大值為，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了應(yīng)用線性規(guī)劃知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，正確列出約束條件，畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.7、C【解題分析】

由，可求出，結(jié)合，可求出及.【題目詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，因?yàn)椋裕瑒t，故.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

函數(shù)過代入解得，再通過平移得到的圖像.【題目詳解】，函數(shù)過向右平移個(gè)單位得到的圖象故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)圖形，求函數(shù)表達(dá)式，函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)圖形的理解.9、C【解題分析】試題分析：的方程變形為，圓心為考點(diǎn)：圓的方程10、A【解題分析】

由余弦函數(shù)性質(zhì)得，()，解出后，計(jì)算，可知三個(gè)等式都不可能成立．【題目詳解】由題意，()，解得，，，，三個(gè)都不可能成立，正確個(gè)數(shù)為1．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)要注意對(duì)中的整數(shù)要用不同的字母表示，否則可能出現(xiàn)遺漏，出現(xiàn)錯(cuò)誤．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，利用二倍角的正切公式，求得，再利用兩角和的正切公式，求得的值，再結(jié)合的范圍，求得的值．【題目詳解】，，，，，，故答案：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正切公式，二倍角的正切公式，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．12、2【解題分析】

根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，列出方程，即可求解．【題目詳解】由題意，向量，因?yàn)橄蛄颗c垂直，所以，解得．故答案為：2.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的垂直關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、；【解題分析】

不等式轉(zhuǎn)化為，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．【題目詳解】由題意存在，使得不等式成立，當(dāng)時(shí)，，其最小值為，∴．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式能成立問題，解題關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．不等式能成立與不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化區(qū)別：在定義域上，不等式恒成立，則，不等式能成立，則，不等式恒成立，則，不等式能成立，則．轉(zhuǎn)化時(shí)要注意是求最大值還是求最小值．14、【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義直接求得的值，即可得答案.【題目詳解】∵角終邊過點(diǎn)，，∴，，，∴.故答案為：；.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的定義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，由此能求出它的前項(xiàng)和.【題目詳解】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，由，得，且，解得，它的前項(xiàng)和為.故答案：.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16、1835028【解題分析】

分別分析中二元子集中較大元素分別為、、、時(shí)，對(duì)應(yīng)的二元子集中較小的元素，再利用題中的定義結(jié)合數(shù)列求和思想求出結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為；當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為、；當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為、、；當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為、、、、.由題意可得，令，得，上式下式得，化簡(jiǎn)得，因此，，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查新定義，同時(shí)也考查了數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵就是找出相應(yīng)的規(guī)律，列出代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）或【解題分析】

（1）先計(jì)算半徑，得到圓方程，再計(jì)算AB坐標(biāo)，計(jì)算的面積得到答案.（2）根據(jù)計(jì)算得到答案.【題目詳解】（1），過原點(diǎn)取取為定值.（2）設(shè)直線與圓C交于點(diǎn)M，N，若設(shè)中點(diǎn)為，連接圓心在上圓C的方程為：或【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形面積，直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18、（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.【解題分析】

（1）用定義證明得到答案.（2）推出（3）利用錯(cuò)位相減法和分組求和法得到，再證明不等式.【題目詳解】解：（1）由，得，即.∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）∵數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴.（3）.∴，∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的證明，分組求和法，錯(cuò)位相減法，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.19、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)題知，由向量的數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算即可，注意，在去括號(hào)的向量運(yùn)算過程中可采用多項(xiàng)式的運(yùn)算方法；（2）根據(jù)向量數(shù)量積公式，可先求出的值，又，從而可求出的值.試題解析：（1）==（2）20、（1）23；（2）（i）2，0.0174【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出前2組中的人數(shù)，由分層抽樣得抽取的人數(shù)，然后把6人編號(hào)，可寫出任取2人的所有組合，也可得出獲贈(zèng)智能手機(jī)的2人月薪都不低于1.75萬(wàn)元的所有組合，從而可計(jì)算出概率．（2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出均值和方差，然后求出區(qū)間Ω，結(jié)合頻率分布直方圖可計(jì)算出兩方案收取的費(fèi)用．【題目詳解】（1）第一組有0.2×0.1×100=2人，第二組有1.0×0.1×100=10人.按照分層抽樣抽6人時(shí)，第一組抽1人，記為A，第二組抽5人，記為B，C，D，E，F(xiàn).從這6人中抽2人共有15種：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F).獲贈(zèng)智能手機(jī)的2人月薪都不低于1.75萬(wàn)元的10種：(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F).于是獲贈(zèng)智能手機(jī)的2人月薪都超過1.75萬(wàn)元的概率P=10（2）（i）這100人月薪收入的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別是s2（ii）方案一：s=月薪落在區(qū)間Ω左側(cè)收活動(dòng)費(fèi)用約為(0.02+0.10)×400×50÷10000=0.24（萬(wàn)元）；月薪落在區(qū)間Ω收活動(dòng)費(fèi)用約為(0.24+0.31+0.20)×600×50÷10000=2.25（萬(wàn)元）；月薪落在區(qū)間Ω右側(cè)收活