2024屆江蘇省蘇州市張家港市外國語學校數學高一下期末達標檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知是圓的一條弦，，則()A． B． C． D．與圓的半徑有關2．在一個平面上，機器人到與點的距離為8的地方繞點順時針而行，它在行進過程中到經過點與的直線的最近距離為（）A． B． C． D．3．對任意實數x，表示不超過x的最大整數，如，，關于函數，有下列命題：①是周期函數；②是偶函數；③函數的值域為；④函數在區間內有兩個不同的零點，其中正確的命題為()A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④4．等差數列中，，，下列結論錯誤的是（）A．，，成等比數列 B．C． D．5．已知，是兩個單位向量，且夾角為，則與數量積的最小值為（）A． B． C． D．6．在中，，，則的最小值是（）A．2 B．4 C． D．127．一個盒子內裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個，從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是（）A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.758．如圖，正方形中，是的中點，若，則（）A． B． C． D．9．從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．“至少有一個黑球”與“都是黑球” B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球” D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”10．已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，若，，，則________．12．已知滿足約束條件，則的最大值為__________．13．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體的所有棱長和為_______.14．下列結論中：①②函數的圖像關于點對稱③函數的圖像的一條對稱軸為④其中正確的結論序號為______．15．已知，是夾角為的兩個單位向量，向量，，若，則實數的值為________.16．已知函數,為的反函數,則_______(用反三角形式表示).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．據說偉大的阿基米德逝世后，敵軍將領馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一個如圖所示的圖案，圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．（1）試計算出圖案中球與圓柱的體積比；（2）假設球半徑．試計算出圖案中圓錐的體積和表面積.18．已知向量．(1)求與的夾角的余弦值；(2)若向量與垂直，求的值．19．已知函數，為實數．（1）若對任意，都有成立，求實數的值；（2）若，求函數的最小值．20．已知直線：，一個圓的圓心在軸上且該圓與軸相切，該圓經過點．（1）求圓的方程；（2）求直線被圓截得的弦長．21．已知函數(1)解關于的不等式；(2)若，令，求函數的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由數量積的幾何意義，利用外心的幾何特征計算即可得解.【題目詳解】是圓的一條弦,易知在方向上的投影恰好為，所以=||||==2.故選C.【題目點撥】本題考查了數量積的運算，利用定義求解要確定模長及夾角，屬于基礎題.2、A【解題分析】

由題意知機器人的運行軌跡為圓，利用圓心到直線的距離求出最近距離．【題目詳解】解：機器人到與點距離為8的地方繞點順時針而行，在行進過程中保持與點的距離不變，機器人的運行軌跡方程為，如圖所示；與，直線的方程為，即為，則圓心到直線的距離為，最近距離為．故選．【題目點撥】本題考查了直線和圓的位置關系，以及點到直線的距離公式，屬于基礎題．3、A【解題分析】

根據的表達式，結合函數的周期性，奇偶性和值域分別進行判斷即可得到結論.【題目詳解】是周期函數，3是它的一個周期，故①正確.,結合函數的周期性可得函數的值域為，則函數不是偶函數，故②錯誤.，故在區間內有3個不同的零點，故④錯誤.故選：A【題目點撥】本題考查了取整函數綜合問題，考查了學習綜合分析，轉化與劃歸，數學運算的能力，屬于難題.4、C【解題分析】

根據條件得到公差，然后得到等差數列的通項，從而對四個選項進行判斷，得到答案.【題目詳解】等差數列中，，所以，所以，所以，，，，，，，，，所以，所以，，成等比數列，故A選項正確，，故B選項正確，，故C選項錯誤，，故D選項正確.故選：C.【題目點撥】本題考查求等差數列的項，等差數列求前項的和，屬于簡單題.5、B【解題分析】

根據條件可得，，，然后進行數量積的運算即可.【題目詳解】根據條件，，，，當時，取最小值.故選：B【題目點撥】本題考查了向量數量積的運算，同時考查了二次函數的最值，屬于基礎題.6、C【解題分析】

根據，，得到，，平方計算得到最小值.【題目詳解】故答案為C【題目點撥】本題考查了向量的模，向量運算，均值不等式，意在考查學生的計算能力.7、D【解題分析】

由題意可知摸出黑球的概率，再根據摸出黑球，摸出紅球為互斥事件，根據互斥事件的和即可求解.【題目詳解】因為從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是，因為從盒子中摸出1個球為黑球或紅球為互斥事件，所以摸出黑球或紅球的概率，故選D.【題目點撥】本題主要考查了兩個互斥事件的和事件，其概率公式，屬于中檔題.8、B【解題分析】

以為坐標原點建立平面直角坐標系，設正方形邊長為，利用平面向量的坐標運算建立有關、的方程組，求出這兩個量的值，可得出的值.【題目詳解】以為坐標原點建立平面直角坐標系，設正方形邊長為，由此，，故，解得.故選B.【題目點撥】本題考查平面向量的線性運算，考查平面向量的基底表示，解題時也可以利用坐標法來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.9、C【解題分析】分析：利用對立事件、互斥事件的定義求解．詳解：從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，在A中，“至少有一個黑球”與“都是黑球”能同時發生，不是互斥事件，故A錯誤；在B中，“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”能同時發生，不是互斥事件，故B錯誤；在C中，“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”不能同時發生，但能同時不發生，是互斥而不對立的兩個事件，故C正確；在D中，“至少有一個黑球”與“都是紅球”是對立事件，故D錯誤．故答案為：C點睛：（1）本題主要考查互斥事件和對立事件的定義，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次試驗中，不可能同時發生的兩個事件，對立事件指的是在一次試驗中，不可能同時發生的兩個事件，且在一次試驗中，必有一個發生的兩個事件.注意理解它們的區別和聯系.10、D【解題分析】

由，，，得解.【題目詳解】解：因為，，，所以，故選：D.【題目點撥】本題考查了指數冪，對數值的大小關系，屬基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2；【解題分析】

利用余弦定理可構造關于的方程，解方程求得結果.【題目詳解】由余弦定理得：解得：或（舍）本題正確結果：【題目點撥】本題考查利用余弦定理解三角形，屬于基礎題.12、57【解題分析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，觀察直線在軸的截距取最大值時的最優解，再將最優解代入目標函數可得出目標函數的最大值.【題目詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：平移直線，當直線經過可行域的頂點時，該直線在軸上的截距取最大值，此時，取最大值，即，故答案為.【題目點撥】本題考查簡單的線性規劃問題，考查線性目標函數的最值問題，一般利用平移直線結合在坐標軸上的截距取最值時，找最優解求解，考查數形結合數學思想，屬于中等題．13、【解題分析】

取半正多面體的截面正八邊形，設半正多面體的棱長為，過分別作于，于，可知，，可求出半正多面體的棱長及所有棱長和.【題目詳解】取半正多面體的截面正八邊形，由正方體的棱長為1，可知，易知，設半正多面體的棱長為，過分別作于，于，則，，解得，故該半正多面體的所有棱長和為.【題目點撥】本題考查了空間幾何體的結構，考查了空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.14、①③④【解題分析】

由兩角和的正切公式的變形，化簡可得所求值，可判斷①正確；由正切函數的對稱中心可判斷②錯誤；由余弦函數的對稱軸特點可判斷③正確；由同角三角函數基本關系式和輔助角公式、二倍角公式和誘導公式，化簡可得所求值，可判斷④正確．【題目詳解】①，故①正確；②函數的對稱中心為，，則圖象不關于點對稱，故②錯誤；③函數，由為最小值，可得圖象的一條對稱軸為，故③正確；④，故④正確．【題目點撥】本題主要考查三角函數的圖象和性質應用以及三角函數的恒等變換，意在考查學生的化簡運算能力．15、【解題分析】

由題意得，且，，由=，解得即可.【題目詳解】已知，是夾角為的兩個單位向量，所以，得，若解得故答案為【題目點撥】本題考查了向量數量積的運算性質，考查了計算能力，屬于基礎題．16、【解題分析】

先將轉化為，，然后求出即可【題目詳解】因為所以所以所以所以把與互換可得即所以故答案為：【題目點撥】本題考查的是反函數的求法，較簡單三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）圓錐體積，表面積【解題分析】

（1）由球的半徑可知圓柱底面半徑和高，代入球和圓柱的體積公式求得體積，作比得到結果；（2）由球的半徑可得圓錐底面半徑和高，從而可求解出圓錐母線長，代入圓錐體積和表面積公式可求得結果.【題目詳解】（1）設球的半徑為，則圓柱底面半徑為，高為球的體積；圓柱的體積球與圓柱的體積比為：（2）由題意可知：圓錐底面半徑為，高為圓錐的母線長：圓錐體積：圓錐表面積：【題目點撥】本題考查空間幾何體的表面積和體積求解問題，考查學生對于體積和表面積公式的掌握，屬于基礎題.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）分別求出，，，再代入公式求余弦值；（2）由向量互相垂直，得到數量積為0，從而構造出關于的方程，再求的值.【題目詳解】(1)，，，∴.(2)．若，則，解得.【題目點撥】本題考查向量數量積公式的應用及兩向量垂直求參數的值，考查基本的運算求解能力.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據二次函數的解析式寫出對稱軸即可；（2）根據對稱軸是否在定義域內進行分類討論，由二次函數的圖象可分別得出函數的最小值．【題目詳解】（1）對任意，都有成立，則函數的對稱軸為，即，解得實數的值為．（2）二次函數，開口向上，對稱軸為①若，即時，函數在上單調遞增，的最小值為；②若，即時，函數在上單調遞減，的最小值為；③若，即時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，的最小值為；綜上可得:【題目點撥】本題考查二次函數的圖象與性質，應用了分類討論的思想，屬于中檔題．20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由題意設圓心，半徑，將點代入圓C的方程可求得a，可得圓的方程；（2）求出圓心C到直線l的距離d，利用勾股定理求出l被圓C所截得弦長．【題目詳解】（1）∵圓心在軸上且該圓與軸相切，∴設圓心，半徑，，設圓的方程為，將點代入得，∴，∴