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文檔簡介

河北省2022年高考[數學]考試真題與答案解析

一、單線選擇題

本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求

的.

1.若集合五<4},N={x|3x21},則〃nN=()

A.{x|0<x<2|B.'x-<x<2>c.{x|3<x<16|D,<x^<x<16>

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合M,N后可求McN.

[詳解]加={xl0Kx<16},N={xIxN;},故A/PIN=<xx<16>,

故選:D

2.若i(l-z)=l,則z+彳=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用復數的除法可求z,從而可求z+N.

]I

【詳解】由題設有l-z=;=jy=-i,故z=l+i,故Z+彳=(l+i)+(l—i)=2,

故選:D

3.在18C中,點。在邊力8上,BD=2DA.記3=流而=斤,則屈=()

A.3/7?-2nB.—2沅+3萬C,3玩+2元D.2in+3n

【答案】B

【解析】

【分析】根據幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出.

【詳解】因為點。在邊力8上,BD=2DA,所以前=2次,即麗-無=2(亂-麗),

所以而=3而-2品=312后=-2行+3萬.

故選:B.

4.南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫

水位為海拔148.5m時,相應水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時,相應水面的面積

為180.0km,,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m上

升到157.5m時,增加的水量約為(77,2.65)()

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】c

【解析】

【分析】根據題意只要求出棱臺的高,即可利用棱臺的體積公式求出.

【詳解】依題意可知棱臺的高為"N=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即為棱臺的體積心

棱臺上底面積S=140.0km2=140xl06m2,=180.0km2=180xl06m2,

r=1/z(5+5,+V5^7)=|x9x(140xl06+180xl06+V140xl80xl0,2)

=3x(320+60V7)xl06?(96+18x2.65)xl07=1.437xl09?1.4xl09(m3).

故選:C.

5.從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數,則這2個數互質的概率為()

1112

A----

6B.323

【答案】D

【解析】

【分析】由古典概型概率公式結合組合、列舉法即可得解.

【詳解】從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數,共有C;=21種不同的取法,

若兩數不互質,不同的取法有:⑵4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7種,

八21-72

故所求概率尸=、-=§.

故選:D.

2

6.記函數/5)=$m[(3+力左、+6(”>0)的最小正周期為7:若且y=/(x)的圖象關

于點中心對稱,則/[三卜()

35

A.1B.~C.~D.3

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函數的圖象與性質可求得參數,進而可得函數解析式,代入即可得解.

2萬f272萬~~

【詳解】由函數的最小正周期7■滿足/-</<",得解得2</<3,

5JCD

又因為函數圖象關于點(技,2)對稱,所以冷0+?=左犯左62,且6=2,

12,,?5,/、?(57ry

所以0==+/,左eZ,所以0=3,/(x)=sin曰+彳+2,

03247

所以尸血匕乃+zj+2=l.

故選:A

7,設a=O.le°」,b=—,c=-ln0.9,貝|J(

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<h

【答案】C

【解析】

【分析】構造函數〃x)=ln(l+x)-x,導數判斷其單調性,由此確定a,b,c的大小.

\x

[詳解]ig/W=ln(l+x)-x(x>-l)因為/(x)=^----1=---,

fl+x1+X

當XG(-1,0)時,f'(x)>0(當xw(0,+oo)時/'(x)<0,

所以函數/(X)=ln(l+x)-x在(0,+8)單調遞減,在(-1,0)上單調遞增,

所以/(:)</(0)=0,所以故gAln^u-lnOg,即b〉c,

777yy

191Q--I-I

所以/(-而)</(。)=0,所以比歷+記<0,故歷<釘°,所以歷”<§,

故"b,

1(x2—1)eA4-1

設g(x)=xev+ln(l-x)(0<x<l),貝Ijg,(x)=(x+l)ev+——=----------,

x-lx-l

令〃(x)=ev(x2-1)+1,h'(x)=e'(x2+2x-\),

當0<x<&-1時,函數〃(x)=e'(x2-1)+1單調遞減,

當1<X<1時,〃'(x)>0,函數%x)=e、(x2—1)+1單調遞增,

又A(0)=0,

所以當0<x<VI-l時,h(x)<0,

所以當0<x(拉-1時,g'(x)>。,函數8(幻=吹'+皿1-》)單調遞增,

所以g(O/)>g(O)=O,gpO.leol>-lnO.9,所以

故選:C.

8.已知正四棱錐的側棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬,且

3</<3>/3,則該正四棱錐體積的取值范圍是()

'811「27811「27641皿

A.18,—B.—C.—D.r[(1o8,27]

_4J[44JL43_

【答案】C

【解析】

【分析】設正四棱錐的高為力,由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系,

由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】???球的體積為36件所以球的半徑蟲=3,

設正四棱錐的底面邊長為2。,高為〃,

則『=2/+人2,32=2a2+(3-/?)2,

所以6,=廣,2a~-1~—h~

11,2,2〃2I21

所以正四棱錐的體積rz展L=4axA.-x(/--)x-=-Z4-—

36小

'5、24-/、

所以廣-4/3--=-/3

96;96>

當3W/W2#時,r>0,當2n</436時,r<o,

所以當/=26時,正四棱錐的體積/取最大值,最大值為理,

27Qi

又/=3時,「=彳,/=3百時,V=~,

27

所以正四棱錐的體積廠的最小值為

4,

2764

所以該正四棱錐體積的取值范圍是了,§

故選:C.

二、選擇題

本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部

選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.

9.已知正方體/8C0-44CQ,貝ij()

A.直線8G與所成的角為90°B.直線8G與所成的角為90°

C.直線8G與平面8BQZ)所成的角為45°D,直線8G與平面所成的角為45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】數形結合,依次對所給選項進行判斷即可.

【詳解】如圖,連接8。、BC、,因為O4//8C,所以直線8G與8。所成的角即為直線8G與

所成的角,

因為四邊形84GC為正方形,則8CL8G,故直線8G與04所成的角為90。,A正確;

連接4C,因為4用,平面BBC。,8£u平面8耳GC,則4AL8G,

因為8C,8G,44nBe=4,所以8G,平面44C,

又4Cu平面4緯7,所以8G~LC4,故B正確;

連接4G,設4GnBR=o,連接BO,

因為34_L平面44GA,G。u平面44GA,則cp±B]B,

因為CQLBQ,B\DcB&=Bi,所以C0_L平面88Q。,

所以NCR。為直線BG與平面8BQO所成的角,

設正方體棱長為1,則C0=*,5C,=V2,sinZC1SO=1^=lj

所以,直線8c與平面MQO所成的角為30。,故C錯誤;

因為平面Z88,所以NG8C為直線8G與平面Z6C。所成的角,易得NC;8C=45。,

故D正確.

故選:ABD

10.已知函數,/8)=x3—x+1,則()

A.A')有兩個極值點B.〃x)有三個零點

C?點(0,1)是曲線夕=〃力的對稱中心D.直線》=2x是曲線V=〃x)的切線

【答案】AC

【解析】

【分析】利用極值點的定義可判斷A,結合"X)的單調性、極值可判斷B,利用平移可判斷

C;利用導數的幾何意義判斷D.

【詳解】由題,/'(x)=3x2-1,令r(x)>0得X邛或x<q,

令./(X)<。得..-<X<,

所以“X)在(-害,$)上單調遞減,在(-叫-理),(等,+8)上單調遞增,

所以x=±1-是極值點,故A正確;

因/(-當=1+乎>0,/(§=1-平>0,7(-2)=-5<0,

所以,函數/(x)在-°0,一曰)上有一個零點,

當xj時,/(x)2/用>0,即函數/(X)在Yl+o0上無零點,

綜上所述,函數/(X)有一個零點,故B錯誤;

令久X)=》3—x,該函數的定義域為R,//(-x)=(-x)3-(-》)=一/+'=一〃3,

則〃(X)是奇函數,(0,0)是〃(X)的對稱中心,

將"(x)的圖象向上移動一個單位得到的圖象,

所以點(°,1)是曲線y=/(x)的對稱中心,故C正確;

令/?)=3/—1=2,可得x=±l,又/⑴=,/'(—1)=1,

當切點為(LD時,切線方程為^=2x7,當切點為(-1,1)時,切線方程為了=2X+3,

故D錯誤.

故選:AC

11.已知。為坐標原點,點"(I/)在拋物線Ux2=2py(p>0)上,過點8(0,-1)的直線交C于

P,Q兩點,貝U()

A.C的準線為V=TB.直線49與C相切

c.\OP\-\OQ\>\OA\"D.\BP\-\BQ\y\BA\1

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出拋物線方程可判斷A,聯立與拋物線的方程求交點可判斷B,利用距離公式

及弦長公式可判斷C、D.

【詳解】將點A的代入拋物線方程得l=2p,所以拋物線方程為》2=九故準線方程為

1

歹=-4,A錯誤;

38=下不一=2,所以直線的方程為歹=2x-l,

1—U

y=2x-l

聯立口_、,,可得x2-2x+l=0,解得x=l,故B正確;

設過s的直線為/,若直線/與了軸重合,則直線/與拋物線。只有一個交點,

所以,直線/的斜率存在,設其方程為N=HT,尸(占,必),。(》2/2),

y=Ax-1

聯立/、,,得/一日+1=0,

x=y

△=/一4>0

所以-x,+x2=k,所以左>2或%<—2,乂必=(%々)2=1,

XjX2=1

又|。尸|=+K=7^1+K,\OQ|=&+貨=M+y;,

所以|OP|?|。。|=Jji%(1+乂)(1+必)=M乂風=1^|>2=|OAI2,故c正確;

因為|8尸|=5/17正|陽|,\BQ\=y/17e\x2\,

所以15Pl?|8。|=(1+左2)]%/1=1+公>5,而|8川2=5,故D正確.

故選:BCD

12.已知函數〃x)及其導函數/'(X)的定義域均為R,記g(x)=/'(x),若/(|-2x),g(2+x)

均為偶函數,貝I()

A./(0)=0B.g[一£|=°C./(-1)=/(4)D.g(—D=g⑵

【答案】BC

【解析】

【分析】轉化題設條件為函數的對稱性,結合原函數與導函數圖象的關系,根據函數的性質逐

項判斷即可得解.

【詳解】因為/(|―2x),g(2+x)均為偶函數,

所以/(|_2x)=/1|+2x]即=+g(2+x)=g(2-x),

所以/(3-力=/(力,g(4-x)=g(x),則/(-1)=/(4),故C正確;

3

函數/(x),g(x)的圖象分別關于直線x=萬,x=2對稱,

又g(x)=/"(x),且函數/(x)可導,

所以g(m)=°'g(3一外=一8卜),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=_g(x+l)=g(x),

所以==g(T)=g(D=-g(2),故B正確,D錯誤;

若函數〃x)滿足題設條件,則函數/(x)+C(C為常數)也滿足題設條件,所以無法確定〃x)

的函數值,故A錯誤.故選:BC.

三、填空題

本題共4小題,每小題5分,共20分.

13.11-5)(x+vF的展開式中彳2/的系數為(用數字作答).

【答案】-28

【解析】

【分析】卜一?)(》+田'可化為(彳+田^-《0+日二結合二項式展開式的通項公式求解.

【詳解】因為1一口(X+城=(x+城-1(x+城,

所以(心卜+域的展開式中含"的項為衿=-28》2播,

1-3(》+城的展開式中的系數為一28

故答案為:-28

14.寫出與圓/+/=1和(計3)2+3-4)2=16都相切的一條直線的方程

35—725,

【答案】八一二十1或尸五“一五或*=T

【詳解】圓/+/=1的圓心為°(0,0),半徑為1,圓(X-3)2+(k4)2=16的圓心Q為(3,4),

半徑為4,

兩圓圓心距為J32+42=5,等于兩圓半徑之和,故兩圓外切,

如圖,

433

當切線為/時,因為自。二3,所以勺=-%,設方程為^=-^^+'”>())

d='=1535

。到/的距離J',解得/="所以/的方程為"一片+小

當切線為。時,設直線方程為云+y+P=°,其中">°,左<0,

.同7

7竺

4^+k2

24y=一X-

由題意件+4+p|;解得'25

一2424

,J1+一24

35725

當切線為〃時,易知切線方程為x=T,故答案為:y=~4X+4^y=24X~2A^X=~i-

15.若曲線V=(x+a)e*有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是________________.

【答案】4)u(O,+a))

【詳解】:y=(x+a)e",r.y'=(x+l+a)e",

設切點為(%,%),則%=(%+。)物,切線斜率%=伉+1+a)鏟,

切線方程為:y_(xo+a)e'。=(/+1+4)小卜―/),

???切線過原點,?.?一(工。+。)*=(%+1+。)△(-5),

整理得:X;+ax。-a=0,

切線有兩條,.??6=。2+4。>0,解得4<一4或4〉0,

。的取值范圍是(一0°,-4)5°,+動,

故答案為:(-咫-4)u(O,+力)

V*2V2.

16.已知橢圓C:/+%=l(a>b>0),C的上頂點為“,兩個焦點為耳,離心率為一過

耳且垂直于工工的直線與C交于。,E兩點,1°色=6,則的周長是

【答案】13

c1

【詳解】??,橢圓的離心率為e=-=3,/.a=2c,.-.h2^a2-c2=3c2,.??橢圓的方程為

a2

22

2+^=1,BP3X2+4/-12C2=0,不妨設左焦點為6,右焦點為B,如圖所示,V

AFi=??°E=c,a=2c,二△/乃為正三角形,?.?過百且垂直于N巴的直

線與C交于。E兩點,OE為線段“鳥的垂直平分線,,直線的斜率為日,斜率倒數為

右,直線。E的方程:x=^3y-c,代入橢圓方程3犬+4/-12,2=0,整理化簡得到:

13/-6V3cy-9c2=0,

判別式.二僅石。)+4x13x9c2=62xl6xc2,

|。。|=Jl+(百)比-夕2〕=2x4=2x6x4x^=6,

13Pn13

得a=2c=1

~8,

.?.。£為線段/工的垂直平分線,根據對稱性,AD=DF2,/£=%,二”OK的周長等于

△BDE的周長,利用橢圓的定義得到△月。£周長為

\DF2\+\EF2\+\DE\=|DF21+|EF21+|DFi|+|EF}|=|DFy|+|DF2\+\EF}\+\EF2\=2a+2a=4a=13^

故答案為:13.

四、解答題

本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

S]1

17.記S,為數列{%}的前〃項和,已知%=1,:是公差為鼻的等差數列.

.nJJ

(1)求WJ的通項公式;

111c

(2)證明:—+—+,-+—<2.

U\U2Un

【答案】(1)4=-^

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)利用等差數列的通項公式求得丁=I+Q(〃T)=—「,得到s〃=’丁〃,利

UnJJJ

八(〃+2)a“+?〃+l

用和與項的關系得到當〃22時,丹幺_產L,進而得丁二力,利

JJUn-\n1

用累乘法求得可檢驗對于〃=1也成立,得到{可}的通項公式

111/1)

(2)由(1)的結論,利用裂項求和法得到丁+丁+?一+7=21-二,進而證得.

U\U2UnV〃十1/

【小問1詳解】

s

,?a.=1,S.=a.=1,-=1

,12J*'11'…q'

S〃[1

又???二是公差為T的等差數列,

.wJ,

.也=1+4〃一1)=3.S=("+2”“

,

-an3、'3""3'

.?.當“22時,S,i=^一―,

.〃一〈<一(〃+2)/(〃+1)%

整理得:(〃T)a“=("+l)%,

Ea”—〃+1

a.a,a,a

?a=qx=x」x.?.x——l1:

%。2an-2%

i34n〃+l+

=lx—x—x...x------x------=-------

23n-2n-\2

顯然對于〃=1也成立,

{%}的通項公式可="叨;

【小問2詳解】

匚^=2?一口

an拉(〃+1)7?+lJ

…八cosAsin25

18.記△ABC的內角力,B,C的對邊分別為ab,c,已知------=-------

1+sinZ1+cos25

(1)若C=7,求6;

2.i2

(2)求一「的最小值.

c~

71

【答案】(1)T;

0

(2)472-5.

【解析】

,cosAsin28

【分析】(1)根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將工廠7=7^一京化成

1+sin/1+cos28

cos(4+8)=sin5,再結合0<8<],即可求出;

(2)由(1)知,C=^+B,A=^-2B,再利用正弦定理以及二倍角公式將三J化成

22c

2

4cos26+—T--5,然后利用基本不等式即可解出.

COSD

【小問1詳解】

cos/_sin28_2sinScos5_sinB

因'、1+sin/1+cos2B2cos2Bcos55即

sin5=cos力cosB-sin4sin5=cos(4+3)=—cosC=—,

而。<6苦,所以8=2;

【小問2詳解】

兀71

由(1)知,sin5=-cosC>0,所以5<C<兀,0<8<5,

而sinB=-cosC=sin(。一,

TT7T

所以。=萬+凡即有4=5-2比

l/+/sin2/4+sin2Bcos225+1-cos2B

斫兇——:—=-------:-------=----------:---------

22

(2cos5-1)+1-cosB4cos25+-^——522&-5=4/-5-

cos2Bcos25

當且僅當COS2B*時取等號,所以的最小值為4V2-5.

2c

19.如圖,直三棱柱N8C-4AC的體積為4,△48C的面積為2近.

(1)求力到平面48c的距離;

(2)設。為4c的中點,44=4B,平面48C,平面N8及4,求二面角4-80-C的正弦

值.

【答案】(1)V2

⑵~

【小問1詳解】

在直三棱柱NBC-48cl中,設點/到平面4BC的距離為h,

hV=

則%削=1,=h=VAi_ABC=1S“BC.4/=;ABC-W,|>

解得h=e,

所以點/到平面48c的距離為血;

【小問2詳解】

取48的中點£連接力£如圖,因為所以”E_L48,

又平面48C,平面,平面/fen平面=48,

且/Eu平面所以平面43C,

在直三棱柱/8C—中,88]_L平面/8C,

由8Cu平面48C,8Cu平面/8C可得/EL8C,BBJBC,

又〃旦84u平面Z陰&且相交,所以8CJ_平面/陰4,

所以8C,氏4,84兩兩垂直,以8為原點,建立空間直角坐標系,如圖,

由(1)得AE=6,所以〃4=/8=2,4臺=2&,所以8。=2,

則/(0,2,0),4(0,2,2),8(0,0,0),。(2,0,0),所以4c的中點。(1,1,1),

貝IJ而=(1』,1),或=(0,2,0),死=(2,0,0),

r■■''…

—m-BD=x+y+z=0

設平面力8。的一個法向量加=(x/,z),貝IJ一.,

m-BA=2y=0

可取而=(l,o,-1),

-/、BD=a+b+c=0

設平面3DC的一個法向量,?=(",8c),貝|J一,

[m-BC=2a=0

?/---\m-n11

可取〃=(。廿1),則叫九〃六麗=萬花=5,

所以二面角的正弦值為=y,

20.一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣(衛生習慣分為良好和不

夠良好兩類)的關系,在已患該疾病的病例中隨機調查了100例(稱為病例組),同時在未患

該疾病的人群中隨機調查了100人(稱為對照組),得到如下數據:

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異?

(2)從該地的人群中任選一人,“表示事件"選到的人衛生習慣不夠良好”,8表示事件"選

P(B\A)P(BIA)

到的人患有該疾病”./瓦刀與反百石的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的

一項度量指標,記該指標為8

(?)證明.P(A\B)P{A\B),

(ii)利用該調查數據,給出P(川8),P(川月)的估計值,并利用(i)的結果給出用的估計

值.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)答案見解析(2)⑴證明見解析;(ii}R=6;

【解析】

【分析】(1)由所給數據結合公式求出K?的值,將其與臨界值比較大小,由此確定是否有99%

的把握認為患該疾病群體與未黃該疾病群體的衛生習慣有差異;(2)(i)根據定義結合條件概率

公式即可完成證明;間根據⑴結合已知數據求火.

【小問1詳解】

叱2n(ad-hc)2200(40x90-60xlO)2?

由日知K=---------------------=------------------=24

RD入(a+b)(c+d)(Q+c)S+d)50x150x100x100'

又P(K2>6.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異.

【小問2詳解】

(I)口為~P(B\A)P(B\A)P(4)P(AB)P(N)P(AB),

所以R=33.嗎0

“I叢P(B)P(AB)P(B)P(AB)

P(A\B)

所以P(A\B)P(A|5),

(ii)

由已知P(*8)=器,尸(川加卷

_60--90

又尸(小5)=面,尸⑷B)=而,

所以心皿=6

ni人P(A\B)P(4|B)

r22

21.已知點火2,1)在雙曲線C:T-*v=1(。>1)上,直線/交C于尺Q兩點,直線4P,N。

aa-1

的斜率之和為0.

(1)求/的斜率;

(2)若tan/尸/0=2正,求△E4。的面積.

【答案】(1)-1;

(2)"

9

【解析】

【分析】(1)由點4(2/)在雙曲線上可求出。,易知直線/的斜率存在,設/i=履+掰,

尸(石,必),。(》2,%),再根據%+磯=0,即可解出/的斜率;

(2)根據直線“P,/。的斜率之和為0可知直線/P,/。的傾斜角互補,再根據

12?&。=2血即可求出直線”,/。的斜率,再分別聯立直線NP/。與雙曲線方程求出點

P,。的坐標,即可得到直線PQ的方程以及°。的長,由點到直線的距離公式求出點A到直線PQ

的距離,即可得出△P/。的面積.

【小問1詳解】

r2V241

因為點"⑷)在雙曲線C:/-當=1伍>1)上,所以/-口=1,解得八2,即雙曲線

易知直線/的斜率存在,設/:少=履+加,尸(西,弘),0&,%),

y=kx+m

2

聯立可得,(1一2公卜2-4mkx-2m-2=0

所以,否+七=一卅一,中2=黑=,△=16/F+4(2/+2)(2左2T>0=加T+2公>o

ZK—12.K—1

所以由旗p+怎P=0可得,+=

即(玉一2)(任2+加一1)+(&-2)(向+?!-1)=0,

即2kxix2+(加一1一24)(西+Z)-4(加-1)=0,

“2加2+2/4mk、人/八八

所以202+(〃_1_2%)-Zp--4(/M-1)=0,

ZK—1yZK-1J

化簡得,8A2+4%—4+4加(后+1)=0,即(左+1)(2左一1+血)=0,

所以左=T或僧=1一2后,

當帆=1-2%時,直線/:丁=丘+加=4(》-2)+1過點2(2,1),與題意不符,舍去,

故k=T.

【小問2詳解】

不妨設直線04PB的傾斜角為a,〃(a<#,因為L+G=0,所以&+£=兀,

因為tanNP/0=20,所以tan(£—a)=20,即tan2a=-2虛,

gpx/2tan2a-tan-V2=0,解得tan0=0,

于是,直線PZ:y=V^(x-2)+l,直線P8:尸-亞(x-2)+l,

y=V2(x-2)+l2

聯立i可得,|x2+2(l-2V2)x+10-4V2=0,

-----y=1

10-4A/24J2-5

因為方程有一個根為2,所以-六,4=弋一,

日工用「但10+472v--4V2-5

同理可付,XQ=--—,yQ---—.

所以PO:x+y-g=o,|尸。|=修,

2+1--

點A到直線尸。的距離[=3=20r,

近3

故△4。的面積為;*?*平=噌.

2339

22.已知函數/(x)=e*-辦和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求5

(2)證明:存在直線歹=牝其與兩條曲線y=〃x)和y=g。)共有三個不同的交點,并且從左

到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

【答案】(1)"1

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)根據導數可得函數的單調性,從而可得相應的最小值,根據最小值相等可求。

注意分類討論.

(2)根據(1)可得當6>1時,e*-x=b的解的個數、x-lnx=6的解的個數均為2,構建新

函數〃(x)=e'+lnx-2x,利用導數可得該函數只有一個零點且可得/(x),g(x)的大小關系,

根據存在直線N=b與曲線V=/(x)、V=g(x)有三個不同的交點可得b的取值,再根據兩類

方程的根的關系可證明三根成等差數列.

【小問1詳解】

/(X)=ev-ax的定義域為R,而/'(x)=e*-a,

若a40,則/'(x)〉0,此時〃x)無最小值,故a>0.

g(x)="一InX的定義域為(0,+oo),而g'(x)=<?-1=竺二1

XX

當x<lna時,/'(x)<°,故/(x)在(-00,Ina)上為減函數,

當x>lna時,/'(x)>°,故/(x)在(Ina,+00)上為增函數,

故/(x)min=/(lna)=a—alna.當0<x<,時,g'(x)<0,故g(x)在0—上為減函數,

a\aj

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