河北省2022年高考［數(shù)學(xué)］考試真題與答案解析

一、單線選擇題

本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.若集合五<4},N={x|3x21},則〃nN=()

A.{x|0<x<2|B.'x-<x<2>c.{x|3<x<16|D,<x^<x<16>

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合M，N后可求McN.

［詳解］加={xl0Kx<16},N={xIxN；},故A/PIN=<xx<16>,

故選：D

2.若i(l-z)=l,則z+彳=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求z,從而可求z+N.

］I

【詳解】由題設(shè)有l(wèi)-z=；=jy=-i,故z=l+i,故Z+彳=(l+i)+(l—i)=2,

故選：D

3.在18C中，點。在邊力8上，BD=2DA.記3=流而=斤，則屈=()

A.3/7?-2nB.—2沅+3萬C,3玩+2元D.2in+3n

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出.

【詳解】因為點。在邊力8上，BD=2DA,所以前=2次，即麗-無=2(亂-麗)，

所以而=3而-2品=312后=-2行+3萬.

故選：B.

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫

水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時，相應(yīng)水面的面積

為180.0km,,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上

升到157.5m時，增加的水量約為(77,2.65)()

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出.

【詳解】依題意可知棱臺的高為"N=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即為棱臺的體積心

棱臺上底面積S=140.0km2=140xl06m2,=180.0km2=180xl06m2,

r=1/z(5+5,+V5^7)=|x9x(140xl06+180xl06+V140xl80xl0,2)

=3x(320+60V7)xl06?(96+18x2.65)xl07=1.437xl09?1.4xl09(m3).

故選：C.

5.從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為()

1112

A----

6B.323

【答案】D

【解析】

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：⑵4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種，

八21-72

故所求概率尸=、-=§.

故選：D.

2

6.記函數(shù)/5）=$m［（3+力左、+6（”>0）的最小正周期為7：若且y=/（x）的圖象關(guān)

于點中心對稱，則/［三卜（）

35

A.1B.~C.~D.3

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.

2萬f272萬~~

【詳解】由函數(shù)的最小正周期7■滿足/-</<",得解得2</<3,

5JCD

又因為函數(shù)圖象關(guān)于點（技，2）對稱，所以冷0+?=左犯左62,且6=2,

12,,?5,/、?（57ry

所以0==+/，左eZ,所以0=3,/（x）=sin曰+彳+2,

03247

所以尸血匕乃+zj+2=l.

故選：A

7,設(shè)a=O.le°」,b=—,c=-ln0.9,貝|J(

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<h

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃x）=ln（l+x）-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定a，b,c的大小.

\x

［詳解］ig/W=ln（l+x）-x（x>-l）因為/（x）=^----1=---,

fl+x1+X

當(dāng)XG(-1,0)時，f'(x)>0(當(dāng)xw(0,+oo)時/'(x)<0,

所以函數(shù)/(X)=ln(l+x)-x在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以/(：)</(0)=0,所以故gAln^u-lnOg,即b〉c,

777yy

191Q--I-I

所以/(-而)</(。)=0,所以比歷+記<0,故歷<釘°，所以歷”<§,

故"b,

1(x2—1)eA4-1

設(shè)g(x)=xev+ln(l-x)(0<x<l),貝Ijg，(x)=(x+l)ev+——=----------，

x-lx-l

令〃(x)=ev(x2-1)+1,h'(x)=e'(x2+2x-\),

當(dāng)0<x<&-1時，函數(shù)〃(x)=e'(x2-1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)1<X<1時，〃'(x)>0,函數(shù)%x)=e、(x2—1)+1單調(diào)遞增，

又A(0)=0,

所以當(dāng)0<x<VI-l時，h(x)<0,

所以當(dāng)0<x(拉-1時，g'(x)>。，函數(shù)8(幻=吹'+皿1-》)單調(diào)遞增，

所以g(O/)>g(O)=O,gpO.leol>-lnO.9,所以

故選：C.

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且

3</<3>/3,則該正四棱錐體積的取值范圍是()

'811「27811「27641皿

A.18,—B.—C.—D.r[(1o8,27]

_4J[44JL43_

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)正四棱錐的高為力，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，

由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】???球的體積為36件所以球的半徑蟲=3,

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2。，高為〃，

則『=2/+人2,32=2a2+(3-/?)2,

所以6,=廣，2a~-1~—h~

11,2,2〃2I21

所以正四棱錐的體積rz展L=4axA.-x(/--)x-=-Z4-—

36小

'5、24-/、

所以廣-4/3--=-/3

96；96>

當(dāng)3W/W2#時，r>0,當(dāng)2n</436時，r<o,

所以當(dāng)/=26時，正四棱錐的體積/取最大值，最大值為理,

27Qi

又/=3時，「=彳，/=3百時，V=~,

27

所以正四棱錐的體積廠的最小值為

4，

2764

所以該正四棱錐體積的取值范圍是了，§

故選：C.

二、選擇題

本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知正方體/8C0-44CQ,貝ij（）

A.直線8G與所成的角為90°B.直線8G與所成的角為90°

C.直線8G與平面8BQZ）所成的角為45°D,直線8G與平面所成的角為45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接8。、BC、,因為O4//8C,所以直線8G與8。所成的角即為直線8G與

所成的角，

因為四邊形84GC為正方形，則8CL8G,故直線8G與04所成的角為90。，A正確；

連接4C,因為4用,平面BBC。，8￡u平面8耳GC,則4AL8G,

因為8C，8G,44nBe=4,所以8G，平面44C,

又4Cu平面4緯7,所以8G~LC4,故B正確；

連接4G,設(shè)4GnBR=o,連接BO,

因為34_L平面44GA,G。u平面44GA,則cp±B]B,

因為CQLBQ,B\DcB&=Bi,所以C0_L平面88Q。，

所以NCR。為直線BG與平面8BQO所成的角，

設(shè)正方體棱長為1,則C0=*,5C,=V2,sinZC1SO=1^=lj

所以，直線8c與平面MQO所成的角為30。，故C錯誤；

因為平面Z88,所以NG8C為直線8G與平面Z6C。所成的角，易得NC；8C=45。，

故D正確.

故選：ABD

10.已知函數(shù),/8)=x3—x+1,則()

A.A')有兩個極值點B.〃x)有三個零點

C?點(0,1)是曲線夕=〃力的對稱中心D.直線》=2x是曲線V=〃x)的切線

【答案】AC

【解析】

【分析】利用極值點的定義可判斷A,結(jié)合"X)的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判斷

C;利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.

【詳解】由題，/'(x)=3x2-1,令r(x)>0得X邛或x<q,

令./(X)<。得..-<X<,

所以“X)在(-害,$)上單調(diào)遞減，在(-叫-理)，(等,+8)上單調(diào)遞增，

所以x=±1-是極值點，故A正確；

因/(-當(dāng)=1+乎>0,/(§=1-平>0,7(-2)=-5<0,

所以，函數(shù)/(x)在-°0，一曰)上有一個零點，

當(dāng)xj時，/(x)2/用>0,即函數(shù)/(X)在Yl+o0上無零點，

綜上所述，函數(shù)/(X)有一個零點，故B錯誤；

令久X)=》3—x,該函數(shù)的定義域為R,//(-x)=(-x)3-(-》)=一/+'=一〃3,

則〃(X)是奇函數(shù)，(0,0)是〃(X)的對稱中心，

將"(x)的圖象向上移動一個單位得到的圖象，

所以點(°，1)是曲線y=/(x)的對稱中心，故C正確；

令/?)=3/—1=2,可得x=±l,又/⑴=,/'(—1)=1,

當(dāng)切點為(LD時，切線方程為^=2x7,當(dāng)切點為(-1,1)時，切線方程為了=2X+3,

故D錯誤.

故選：AC

11.已知。為坐標(biāo)原點，點"(I/)在拋物線Ux2=2py(p>0)上，過點8(0,-1)的直線交C于

P,Q兩點，貝U()

A.C的準(zhǔn)線為V=TB.直線49與C相切

c.\OP\-\OQ\>\OA\"D.\BP\-\BQ\y\BA\1

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出拋物線方程可判斷A,聯(lián)立與拋物線的方程求交點可判斷B,利用距離公式

及弦長公式可判斷C、D.

【詳解】將點A的代入拋物線方程得l=2p,所以拋物線方程為》2=九故準(zhǔn)線方程為

1

歹=-4,A錯誤；

38=下不一=2,所以直線的方程為歹=2x-l,

1—U

y=2x-l

聯(lián)立口_、，，可得x2-2x+l=0,解得x=l,故B正確；

設(shè)過s的直線為/,若直線/與了軸重合，則直線/與拋物線。只有一個交點，

所以，直線/的斜率存在，設(shè)其方程為N=HT,尸(占，必)，。(》2/2),

y=Ax-1

聯(lián)立/、,,得/一日+1=0,

x=y

△=/一4>0

所以-x,+x2=k,所以左>2或％<—2,乂必=(%々)2=1,

XjX2=1

又|。尸|=+K=7^1+K,\OQ|=&+貨=M+y；,

所以|OP|?|。。|=Jji%(1+乂)(1+必)=M乂風(fēng)=1^|>2=|OAI2,故c正確；

因為|8尸|=5/17正|陽|,\BQ\=y/17e\x2\,

所以15Pl?|8。|=(1+左2)]%/1=1+公>5,而|8川2=5,故D正確.

故選：BCD

12.已知函數(shù)〃x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域均為R,記g(x)=/'(x),若/(|-2x),g(2+x)

均為偶函數(shù)，貝I()

A./(0)=0B.g[一￡|=°C./(-1)=/(4)D.g(—D=g⑵

【答案】BC

【解析】

【分析】轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐

項判斷即可得解.

【詳解】因為/(|―2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，

所以/(|_2x)=/1|+2x］即=+g(2+x)=g(2-x),

所以/(3-力=/(力，g(4-x)=g(x),則/(-1)=/(4),故C正確;

3

函數(shù)/(x),g(x)的圖象分別關(guān)于直線x=萬,x=2對稱，

又g(x)=/"(x),且函數(shù)/(x)可導(dǎo)，

所以g(m)=°'g(3一外=一8卜)，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=_g(x+l)=g(x),

所以==g(T)=g(D=-g(2)，故B正確，D錯誤；

若函數(shù)〃x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定〃x)

的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.

三、填空題

本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.11-5)(x+vF的展開式中彳2/的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【答案】-28

【解析】

【分析】卜一?)(》+田'可化為(彳+田^-《0+日二結(jié)合二項式展開式的通項公式求解.

【詳解】因為1一口(X+城=(x+城-1(x+城，

所以(心卜+域的展開式中含"的項為衿=-28》2播，

1-3(》+城的展開式中的系數(shù)為一28

故答案為：-28

14.寫出與圓/+/=1和(計3)2+3-4)2=16都相切的一條直線的方程

35—725,

【答案】八一二十1或尸五“一五或*=T

【詳解】圓/+/=1的圓心為°(0,0),半徑為1,圓(X-3)2+(k4)2=16的圓心Q為(3,4),

半徑為4,

兩圓圓心距為J32+42=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，

如圖，

433

當(dāng)切線為/時，因為自。二3,所以勺=-%,設(shè)方程為^=-^^+'”>())

d='=1535

。到/的距離J'，解得/="所以/的方程為"一片+小

當(dāng)切線為。時，設(shè)直線方程為云+y+P=°,其中">°,左<0,

.同7

一

7竺

4^+k2

24y=一X-

由題意件+4+p|；解得'25

一2424

,J1+一24

35725

當(dāng)切線為〃時，易知切線方程為x=T,故答案為：y=~4X+4^y=24X~2A^X=~i-

15.若曲線V=（x+a）e*有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是________________.

【答案】4）u（O,+a））

【詳解】：y=（x+a）e",r.y'=（x+l+a）e",

設(shè)切點為（%，％），則%=（%+。）物,切線斜率%=伉+1+a）鏟，

切線方程為：y_（xo+a）e'。=（/+1+4）小卜―/）,

???切線過原點，?.?一（工。+。）*=（%+1+。）△（-5）,

整理得：X；+ax。-a=0,

切線有兩條，.??6=。2+4。>0,解得4<一4或4〉0,

。的取值范圍是（一0°，-4）5°，+動，

故答案為：（-咫-4）u（O,+力）

V*2V2.

16.已知橢圓C：/+%=l（a>b>0）,C的上頂點為“，兩個焦點為耳，離心率為一過

耳且垂直于工工的直線與C交于。，E兩點，1°色=6,則的周長是

【答案】13

c1

【詳解】??,橢圓的離心率為e=-=3，/.a=2c,.-.h2^a2-c2=3c2,.??橢圓的方程為

a2

22

2+^=1，BP3X2+4/-12C2=0,不妨設(shè)左焦點為6,右焦點為B,如圖所示，V

兀

AFi=??°E=c，a=2c,二△/乃為正三角形，?.?過百且垂直于N巴的直

線與C交于。E兩點，OE為線段“鳥的垂直平分線，，直線的斜率為日，斜率倒數(shù)為

右，直線。E的方程：x=^3y-c,代入橢圓方程3犬+4/-12,2=0,整理化簡得到：

13/-6V3cy-9c2=0,

判別式.二僅石。）+4x13x9c2=62xl6xc2,

|。。|=Jl+（百）比-夕2〕=2x4=2x6x4x^=6,

13Pn13

得a=2c=1

~8,

.?.。￡為線段/工的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD=DF2,/￡=%，二”O(jiān)K的周長等于

△BDE的周長，利用橢圓的定義得到△月。￡周長為

\DF2\+\EF2\+\DE\=|DF21+|EF21+|DFi|+|EF}|=|DFy|+|DF2\+\EF}\+\EF2\=2a+2a=4a=13^

故答案為：13.

四、解答題

本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

S]1

17.記S,為數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知％=1，:是公差為鼻的等差數(shù)列.

.nJJ

(1)求WJ的通項公式；

111c

(2)證明：—+—+，-+—<2.

U\U2Un

【答案】(1)4=-^

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)利用等差數(shù)列的通項公式求得丁=I+Q(〃T)=—「，得到s〃=’丁〃,利

UnJJJ

八(〃+2)a“+?〃+l

用和與項的關(guān)系得到當(dāng)〃22時，丹幺_產(chǎn)L,進(jìn)而得丁二力，利

JJUn-\n1

用累乘法求得可檢驗對于〃=1也成立，得到｛可｝的通項公式

111/1)

(2)由(1)的結(jié)論，利用裂項求和法得到丁+丁+?一+7=21-二，進(jìn)而證得.

U\U2UnV〃十1/

【小問1詳解】

s

,?a.=1,S.=a.=1,-=1

,12J*'11'…q'

S〃[1

又???二是公差為T的等差數(shù)列，

.wJ,

.也=1+4〃一1)=3.S=("+2”“

,

-an3、'3""3'

.?.當(dāng)“22時，S,i=^一―，

.〃一〈<一(〃+2)/(〃+1)%

整理得：(〃T)a“=("+l)%,

Ea”—〃+1

a.a,a,a

?a=qx=x」x.?.x——l1：

%。2an-2%

i34n〃+l+

=lx—x—x...x------x------=-------

23n-2n-\2

顯然對于〃=1也成立，

｛%｝的通項公式可="叨；

【小問2詳解】

匚^=2?一口

an拉(〃+1)7?+lJ

…八cosAsin25

18.記△ABC的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為ab,c,已知------=-------

1+sinZ1+cos25

（1）若C=7,求6;

2.i2

（2）求一「的最小值.

c~

71

【答案】（1）T；

0

（2）472-5.

【解析】

,cosAsin28

【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將工廠7=7^一京化成

1+sin/1+cos28

cos（4+8）=sin5,再結(jié)合0<8<],即可求出；

（2）由（1）知，C=^+B,A=^-2B,再利用正弦定理以及二倍角公式將三J化成

22c

2

4cos26+—T--5,然后利用基本不等式即可解出.

COSD

【小問1詳解】

cos/_sin28_2sinScos5_sinB

因'、1+sin/1+cos2B2cos2Bcos55即

sin5=cos力cosB-sin4sin5=cos（4+3）=—cosC=—,

而。<6苦,所以8=2；

【小問2詳解】

兀71

由（1）知，sin5=-cosC>0,所以5<C<兀,0<8<5，

而sinB=-cosC=sin（。一,

TT7T

所以。=萬+凡即有4=5-2比

l/+/sin2/4+sin2Bcos225+1-cos2B

斫兇——：—=-------：-------=----------：---------

22

(2cos5-1)+1-cosB4cos25+-^——522&-5=4/-5-

cos2Bcos25

當(dāng)且僅當(dāng)COS2B*時取等號，所以的最小值為4V2-5.

2c

19.如圖，直三棱柱N8C-4AC的體積為4,△48C的面積為2近.

(1)求力到平面48c的距離；

(2)設(shè)。為4c的中點，44=4B,平面48C,平面N8及4,求二面角4-80-C的正弦

值.

【答案】(1)V2

⑵~

【小問1詳解】

在直三棱柱NBC-48cl中，設(shè)點/到平面4BC的距離為h,

hV=

則%削=1,=h=VAi_ABC=1S“BC.4/=；ABC-W,|>

解得h=e,

所以點/到平面48c的距離為血；

【小問2詳解】

取48的中點￡連接力￡如圖，因為所以”E_L48,

又平面48C，平面,平面/fen平面=48,

且/Eu平面所以平面43C,

在直三棱柱/8C—中，88]_L平面/8C,

由8Cu平面48C,8Cu平面/8C可得/EL8C,BBJBC,

又〃旦84u平面Z陰&且相交，所以8CJ_平面/陰4,

所以8C,氏4,84兩兩垂直，以8為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

由（1）得AE=6,所以〃4=/8=2,4臺=2&,所以8。=2,

則/（0,2,0）,4（0,2,2）,8（0,0,0）,。（2,0,0）,所以4c的中點。（1,1,1）,

貝IJ而=（1』,1）,或=（0,2,0）,死=（2,0,0）,

r■■''…

—m-BD=x+y+z=0

設(shè)平面力8。的一個法向量加=（x/，z）,貝IJ一.，

m-BA=2y=0

可取而=（l,o,-1）,

-/、BD=a+b+c=0

設(shè)平面3DC的一個法向量，?=（",8c）,貝|J一，

[m-BC=2a=0

?/---\m-n11

可取〃=（。廿1）,則叫九〃六麗=萬花=5，

所以二面角的正弦值為=y,

20.一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不

夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患

該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，“表示事件"選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，8表示事件"選

P（B\A）P（BIA）

到的人患有該疾病”./瓦刀與反百石的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的

一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為8

（?）證明.P（A\B）P{A\B）,

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（川8），P（川月）的估計值，并利用（i）的結(jié)果給出用的估計

值.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）答案見解析（2）⑴證明見解析；（ii}R=6;

【解析】

【分析】（1）由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出K?的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%

的把握認(rèn)為患該疾病群體與未黃該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；（2）（i）根據(jù)定義結(jié)合條件概率

公式即可完成證明；間根據(jù)⑴結(jié)合已知數(shù)據(jù)求火.

【小問1詳解】

叱2n（ad-hc）2200（40x90-60xlO）2?

由日知K=---------------------=------------------=24

RD入（a+b）（c+d）（Q+c）S+d）50x150x100x100'

又P(K2>6.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

【小問2詳解】

(I)口為~P(B\A)P(B\A)P(4)P(AB)P(N)P(AB),

所以R=33.嗎0

“I叢P(B)P(AB)P(B)P(AB)

P(A\B)

所以P(A\B)P(A|5),

(ii)

由已知P(*8)=器，尸(川加卷

_60--90

又尸(小5)=面,尸⑷B)=而,

所以心皿=6

ni人P(A\B)P(4|B)

r22

21.已知點火2，1)在雙曲線C：T-*v=1(。>1)上，直線/交C于尺Q兩點，直線4P，N。

aa-1

的斜率之和為0.

(1)求/的斜率；

(2)若tan/尸/0=2正,求△E4。的面積.

【答案】(1)-1；

(2)"

9

【解析】

【分析】(1)由點4(2/)在雙曲線上可求出。，易知直線/的斜率存在，設(shè)/i=履+掰，

尸(石,必),。(》2，%),再根據(jù)%+磯=0,即可解出/的斜率；

(2)根據(jù)直線“P，/。的斜率之和為0可知直線/P，/。的傾斜角互補(bǔ)，再根據(jù)

12?&。=2血即可求出直線”,/。的斜率，再分別聯(lián)立直線NP/。與雙曲線方程求出點

P，。的坐標(biāo),即可得到直線PQ的方程以及°。的長，由點到直線的距離公式求出點A到直線PQ

的距離，即可得出△P/。的面積.

【小問1詳解】

r2V241

因為點"⑷）在雙曲線C：/-當(dāng)=1伍>1）上,所以/-口=1,解得八2,即雙曲線

易知直線/的斜率存在，設(shè)/：少=履+加，尸（西,弘）,0&,%）,

y=kx+m

2

聯(lián)立可得，（1一2公卜2-4mkx-2m-2=0

所以，否+七=一卅一,中2=黑=，△=16/F+4（2/+2）（2左2T>0=加T+2公>o

ZK—12.K—1

所以由旗p+怎P=0可得，+=

即（玉一2）（任2+加一1）+（&-2）（向+?!-1）=0,

即2kxix2+（加一1一24）（西+Z）-4（加-1）=0,

“2加2+2/4mk、人/八八

所以202+（〃_1_2%）-Zp--4（/M-1）=0,

ZK—1yZK-1J

化簡得，8A2+4%—4+4加（后+1）=0,即（左+1）（2左一1+血）=0,

所以左=T或僧=1一2后，

當(dāng)帆=1-2%時，直線/:丁=丘+加=4（》-2）+1過點2（2,1）,與題意不符，舍去,

故k=T.

【小問2詳解】

不妨設(shè)直線04PB的傾斜角為a,〃（a<#,因為L+G=0,所以&+￡=兀，

因為tanNP/0=20,所以tan（￡—a）=20,即tan2a=-2虛，

gpx/2tan2a-tan-V2=0,解得tan0=0,

于是，直線PZ：y=V^（x-2）+l,直線P8:尸-亞（x-2）+l,

y=V2（x-2）+l2

聯(lián)立i可得,|x2+2（l-2V2）x+10-4V2=0,

-----y=1

10-4A/24J2-5

因為方程有一個根為2,所以-六，4=弋一，

日工用「但10+472v--4V2-5

同理可付，XQ=--—,yQ---—.

所以PO：x+y-g=o,|尸。|=修，

2+1--

點A到直線尸。的距離［=3=20r,

近3

故△4。的面積為;*?*平=噌.

2339

22.已知函數(shù)/(x)=e*-辦和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求5

(2)證明：存在直線歹=牝其與兩條曲線y=〃x)和y=g。)共有三個不同的交點，并且從左

到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【答案】(1)"1

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求。

注意分類討論.

(2)根據(jù)(1)可得當(dāng)6>1時，e*-x=b的解的個數(shù)、x-lnx=6的解的個數(shù)均為2,構(gòu)建新

函數(shù)〃(x)=e'+lnx-2x,利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得/(x),g(x)的大小關(guān)系，

根據(jù)存在直線N=b與曲線V=/(x)、V=g(x)有三個不同的交點可得b的取值，再根據(jù)兩類

方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.

【小問1詳解】

/(X)=ev-ax的定義域為R,而/'(x)=e*-a,

若a40,則/'(x)〉0,此時〃x)無最小值,故a>0.

g(x)="一InX的定義域為(0,+oo),而g'(x)=<?-1=竺二1

XX

當(dāng)x<lna時，/'(x)<°,故/(x)在(-00,Ina)上為減函數(shù)，

當(dāng)x>lna時，/'(x)>°,故/(x)在(Ina,+00)上為增函數(shù)，

故/(x)min=/(lna)=a—alna.當(dāng)0<x<,時，g'(x)<0,故g(x)在0—上為減函數(shù),

a\aj

當(dāng)