鄭州市第十八中學2023-2024學年度期末考試模擬題三一?單選題1.已知數列是等差數列，且，則（）A.4B.6C.8D.102.方程的化簡結果是（）A.B.C.D.3.直線與直線平行，則實數的值是（）A.-2B.1C.-2或1D.-1或24.已知平行六面體的所有棱長均為分別為的中點，則的長為（）A.2B.3C.D.5.若直線與曲線恰有一個公共點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6.已知四棱錐的底面為正方形，平面，點是的中點，則點到直線的距離是（）A.B.C.D.7.已知是數列的前項和，則“是遞增數列”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.已知四面體是的重心，若，則（）A.4B.C.D.更多優質資源可進入/二?多選題9.下列選項正確的是（）A.兩條不重合直線的方向向量分別是，則B.直線的方向向量，平面的法向量是，則C.直線的方向向量，平面的法向量是，則D.兩個不同的平面的法向量分別是，則10.已知圓，下列說法正確的是（）A.過點作直線與圓交于兩點，則范圍為B.過直線上任意一點作圓的切線，切點分別為，則直線必過定點C.圓與圓有且僅有兩條公切線，則實數的取值范圍為D.圓上有2個點到直線的距離等于111.已知在等比數列中，滿足是的前項和，則下列說法正確的是（）A.數列是等比數列B.數列是遞增數列C.數列是等差數列D.數列中，仍成等比數列12.已知拋物線上存在一點到其焦點的距離為3，點為直線上一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為為坐標原點.則（）A.拋物線的方程為B.直線一定過拋物線的焦點C.線段長的最小值為D.三?填空題13.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是__________.14.已知橢圓的焦點在軸上，若橢圓的焦距為4，則的值為__________.15.已知數列的前項和為，則__________.16.過橢圓的右焦點且與長軸垂直的弦的長為，過點且斜率為-1的直線與相交于兩點，若恰好是的中點，則橢圓上一點到的距離的最大值為__________.四?解答題17.已知等差數列滿足，等比數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設數列滿足，求數列的前項和.18.在三棱錐中，是邊長為4的正三角形，平面平面分別為的中點.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值的大小.19.已知點是拋物線上的動點，過點向軸作垂線段，垂足為，垂線段中點為，設的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設過點且斜率為1的直線交曲線于兩點，為坐標原點，求的面積.20.已知各項均為正數的數列的前項和為，且對一切都成立.若是公差為2的等差數列，.（1）求數列與的通項公式；（2）求數列的前項和.21.已知橢圓的左右焦點分別為，離心率為，點在橢圓上，且滿足軸，.（1）求橢圓的方程；（2）若直線交橢圓于兩點，求（為坐標原點）面積的最大值.22.如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，?分別為的中點，.（1）證明：平面平面；（2）若與所成角為，求二面角的余弦值.參考答案：1.C【分析】由等差數列的性質得到，結合已知即可求結果.【詳解】由題設，故.故選：C2.C【分析】由方程的幾何意義及橢圓定義得出結果即可.【詳解】方程的幾何意義為動點到定點和的距離和為10，并且，所以動點的軌跡為以兩個定點為焦點，定值為的橢圓，所以，根據，所以橢圓方程為.故選：C.3.B【分析】由，解得，經過驗證即可得出.【詳解】由，解得或，經過驗證時兩條直線重合，舍去.故選：【點睛】本題考查了直線的平行關系，考查了學生概念理解，轉化與劃歸，數學運算的能力，屬于基礎題.4.D【分析】以為基底表示出，再根據數據量的運算律計算可得.【詳解】因為平行六面體的所有棱長均為，所以，依題意可得，所以，所以.故選：D5.C【分析】由題意作圖，根據直線與圓的位置關系，可得答案.【詳解】由曲線，可得，其中，表示以原點為圓心，半徑為1的右半圓，是傾斜角為的直線，其與曲線有且只有一個公共點有兩種情況：（1）直線與半圓相切，根據，所以，結合圖象，可得：；（2）直線與半圓的下半部分相交于一個交點，由圖可知.綜上可知：.故選：C.6.D【分析】利用坐標法，根據點到直線的距離的向量求法即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以點到直線的距離是.故選：D.7.B【分析】利用，結合充分必要條件的定義即可判斷.【詳解】當是遞增數列，則，則，但是的符號不確定，故充分性不成立；當時，則，故是遞增數列，即必要性成立；綜上，“是遞增數列”是“”的必要不充分條件.故選：B.8.B【分析】取的中點，根據空間向量線性運算法則及空間向量基本定理計算可得.【詳解】取的中點，所以，又，可得，所以.故選：B.9.AD【分析】對于A由不重合兩直線方向向量平行可判斷；對于要考慮直線可能在面內；對于，直線方向向量與法向量平行，則直線與面垂直；對于，由兩法向量垂直可得兩平面垂直.【詳解】對于，兩條不重合直線的方向向量分別是：，則，所以，即，故A正確；對于B，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故B錯誤；對于C，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故錯誤；對于，兩個不同的平面的法向量分別是，則，所以，故正確.故選：AD.10.AB【分析】對于A：可知點在圓內，根據圓心到過點的直線的距離結合弦長公式分析求解；對于B：作以為圓心，為半徑的圓，由題意可知：直線為圓與圓的公共弦所在的直線，結合兩圓方程分析求解；對于根據點到直線的距離公式結合圓的性質分析判斷.【詳解】因為圓的圓心為，半徑，對于選項A：因為，可知點在圓內，可得圓心到過點的直線的距離，所以，故A正確；對于選項B：設，則，可得，以為圓心，為半徑的圓的方程為，整理得，由題意可知：直線為圓與圓的公共弦所在的直線，可得，整理得，令，解得，所以直線必過定點，故B正確；對于選項C：圓的圓心，半徑為，則，若圓與圓有且僅有兩條公切線，則，即，解得，所以實數的取值范圍為，故C錯誤；對于選項D：因為圓心到直線的距離，所以圓上有4個點到直線的距離等于1，故D錯誤.故選：AB.11.AC【分析】根據等比數列?遞增數列?等差數列等知識對選項進行分析，由此確定正確答案.【詳解】依題意可知，所以，所以數列是等比數列，A選項正確.，所以，且，所以數列是遞減數列，B選項錯誤.設，則，所以數列是等差數列，選項正確.，因為，故數列中，不成等比數列，所以選項錯誤.故選：AC.12.ACD【分析】根據拋物線的定義，求得拋物線的方程，可判定正確；設，得出和的方程，聯立方程組，結合，得到是方程的兩個不等式的實數根，再由韋達定理和，可判定D正確；由，得出直線，結合直線的點斜式的形式，可判定不正確，再由圓錐曲線的弦長公式，結合二次函數的性質，可判定C正確.【詳解】由拋物線，可得焦點坐標，準線方程為，因為拋物線上存在一點到其焦點的距離為3，由拋物線的定義可得，可得，所以拋物線的方程為，所以正確；設，顯然直線的斜率存在且不為0，設斜率為，可得的方程為，聯立方程組，整理得，因為是拋物線的切線，所以，即，且點的縱坐標為，代入拋物線方程，可得橫坐標為，即，設直線的斜率存在且不為0，設斜率為，同理可得：，且，所以是方程的兩個不等式的實數根，所以，因為，所以，所以正確；由，且，可得，則直線的方程為，即，又由，可得，所以，即，所以直線一定過定點，該點不是拋物線的焦點，所以不正確.由直線的斜率不為0，設直線的方程為，且，聯立方程組，整理得，所以，則，當且僅當時，等號成立，即的最小值為，所以正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：解決直線與拋物線有關問題的方法與策略：1?涉及拋物線的定義問題：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離（拋物線上的點到焦點的距離?拋物線上的點到準線的距離）進行等量轉化.如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯系起來，那么用拋物線定義就能解決問題.因此，涉及拋物線的焦半徑?焦點弦問題，可以優先考慮利用拋物線的定義轉化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化.2?涉及直線與拋物線的綜合問題：通常設出直線方程，與拋物線方程聯立方程組，結合根與系數的關系，合理進行轉化運算求解，同時注意向量?基本不等式?函數及導數在解答中的應用.13.【分析】根據空間向量投影向量的坐標運算即可得答案.【詳解】空間向量，則向量在向量上的投影向量是：.故答案為：.14.【分析】首先將橢圓方程化為標準式，即可得到，根據焦距求出.【詳解】橢圓即，焦點在軸上，所以，所以，又橢圓的焦距為4，所以，解得.故答案為：15.16【分析】根據遞推公式，可求出，即可求解.【詳解】由題意得，即，因為，所以為首項為，公比為2的等比數列，所以所以.故答案為：16.16.【分析】利用點差法可求基本量的關系，再結合通徑的長可求基本量，故可求焦半徑的最大值.我們也可以聯立直線方程和橢圓方程，從而可用基本量表示中點，從而得到基本量的一個關系式，同樣結合通徑長可取基本量，故可求焦半徑的最大值.【詳解】法一：將代入橢圓的方程得，所以①，設，則，兩式相減得，又，所以②，解①②得，所以，所以上的點到焦點的距離的最大值為.法二：將代入橢圓的方程得，所以①，直線的方程是，即，代入橢圓的方程并消去整理得，則，設，則，即②，解①②得，滿足，所以，所以上的點到焦點的距離的最大值為.故答案為：.17.（1）（2）【分析】（1）根據等差數列和等比數列的概念以及通項公式直接求解即可.（2）利用錯位相減法求解即可.【詳解】（1）設等差數列的公差為.由，可得，解得，則.由，可得是首項為3，公比為3的等比數列，則.（2）由（1）得，，，所以，，故.18.（1）證明見解析（2）【分析】（1）取得中點，得，可知平面，進而得結論；（2）建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，根據向量的夾角公式求解.【詳解】（1）取得中點，連接，，又平面平面，所以平面，又平面；（2）平面平面，平面平面平面，平面，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，設為平面的一個法向量，則，取，則，故，又為平面的一個法向量，，故二面角的正弦值為.19.（1）（2）【分析】（1）根據中點坐標即可將代入求解，（2）聯立直線與拋物線方程得韋達定理，即可由面積公式求解.【詳解】（1）設，則，由于在拋物線上，所以，即（2）根據題意可設直線的方程為聯立，設，則，因此面積為20.（1）；（2）.【分析】（1）利用的關系結合條件及等比數列的定義可得，再根據等差數列的概念計算求；（2）利用分組求和及等比數列求和公式計算即可.【詳解】（1）由，且對一切都成立，可得，又，所以，則，所以數列是首項為1，公比為2的等比數列，則.又是公差為