第。講拋體運動

［教材閱讀指導］

（對應人教版新教材必修第二冊頁碼及相關問題）

KPI4J5閱讀“平拋運動的速度”這一部分內容，思考要使物體做平拋

運動，應該保證什么前提？平拋運動是勻變速運動嗎？

提示：初速度沿水平方向，只受重力；平拋運動是勻變速曲線運動，。=g。

BPl8［思考與討論］,試導出斜拋物體運動的軌跡表達式。

2

提示：由x=00cos和y=-&-，得：y=xtan^-赤氏濟。

自Pl8［練習與應用仃4。

Ft

提示：（1）水平分速度：豎直分速度：gto

（2）以水平方向的位移x和豎直方向的位移），分別為軸建立直角坐標系，則代

表物體運動軌跡的關系式為曠=半先運動軌跡是一條與豎直方向夾角。滿足tan。

=今的斜向下的直線。

10P2。［復習與提高］A組T7。

提示：設A、8間距離為L,

Lcos30°=vot

Lsin30°=%尸

聯立得：vo=10\/3m/s,r=2So

設運動員在空中距坡面最遠時經歷時間為〃，則

i?otan3O0

-------=1s

8

一上,4q,clq,wsin30°,5小

禺坡面的取大距禺d=一2—1=2m°

顓P20［復習與提高］B組T2。

提示：設水從管口落到地面的時間為f,豎直方向的位移為兒水平方向的位

移為L,則有"二*/2,L=",聯立得v=L\標。設管口直徑為。，每秒排污體

積』圖。=啜修。

可見，需要測量。、L、ho

物理觀念回顧與重建I

物理觀念1拋體運動

1.定義：以畫一定的速度將物體拋出,在空氣阻力可以忽略的情況下，物

體只受國重力的作用，這時的運動叫作拋體運動。

2.運動的性質：加速度為&的函］勻變速曲線運動,運動軌跡是畫拋物線。

3.分類

(1)平拋運動

①定義：初速度沿畫水平方向的拋體運動。

②條件：a.ooWO,且沿南水平方向;b.只受畫重力的作用。

(2)斜拋運動

①定義：物體被拋出時的速度加不沿水平方向，而是畫斜向上方或畫斜

向下方的拋體運動。

②條件：a.ooWO,且沿面斜向上方或斜向下方;b.只受回重力的作用。

物理觀念2拋體運動的基本規律

1.平拋運動

⑴研究方法：平拋運動可以分解為水平方向的回1勻速直線運動和豎直方向

的同自由落體運動。

(2)基本規律(如圖所示)

①速度關系

②位移關系

③軌跡方程:>=回暴。

2.斜拋運動

(1)研究方法：斜拋運動可以分解為水平方向的向勻速直線運動和豎直方向

的豎直上拋或豎直下拋運動。

(2)基本規律(以斜向上拋為例，如圖所示)

①水平方向

vox=112|z?ocos^,x=wrcos^o

②豎直方向

VQy113loosing,y=votsinf)-

3.類平拋運動的分析

所謂類平拋運動，就是受力特點和運動特點類似于平拋運動，即受到一個恒

定的外力且外力與初速度方向垂直，物體做勻變速曲線運動。

（1）受力特點：物體所受合力為恒力，且與初速度的方向垂直。

（2）運動特點：沿初速度優方向做勻速直線運動，沿合力方向做初速度為零的

勻加速直線運動。

Z必備知識夯實

-堵點疏通

1.以一定的初速度水平拋出的物體的運動是平拋運動。（）

2.做平拋運動的物體初速度越大，水平位移越大。（）

3.做平拋運動的物體，在任意相等的時間內速度的變化量相同。（）

4.平拋運動的時間由高度決定。（）

5.平拋運動是勻變速曲線運動，速度不斷變大。（）

6.斜拋運動是勻變速曲線運動。（）

7.類平拋運動的合力可以是變力。（）

答案l.X2.X3.V4.V5.V6.V7.X

二對點激活

1.（人教版必修第二冊-Pw參考案例改編X多選）為了驗證平拋運動的小球在豎

直方向上做自由落體運動，用如圖所示的裝置進行實驗。小錘擊打彈性金屬片，

A球水平拋出，同時B球被松開，自由下落，關于該實驗，下列說法正確的是（）

A.兩球的質量應相等

B.兩球應同時落地

C.應改變裝置的高度，多次實驗

D.實驗也能說明A球在水平方向上做勻速直線運動

答案ABC

解析小錘擊打彈性金屬片后，A球做平拋運動，B球做自由落體運動。A

球在豎直方向上的運動情況與B球相同，也做自由落體運動，因此兩球同時落地,

B正確；實驗時，為控制變量，兩球質量應相同，應該改變兩球的初始高度及擊

打力度，從而得出普遍結論，故A、C正確；本實驗不能說明A球在水平方向上

的運動性質，D錯誤。

2.（人教版必修第二冊R5?例題1改編）將一個物體以10m/s的速度從20m

的高度水平拋出（不計空氣阻力，取g=10m/s2）,下列說法正確的是（）

A.落地時間為2s

B.落地時速度為20m/s

c.落地時速度方向與水平地面夾角的正切值為:

D.物體的位移為20m

答案A

解析由/?=%尸得，=\年=2s,故A正確；落地時豎直分速度o、=gf=

20m/s,落地速度為。=［於+宿=1弗m/s,故B錯誤；落地時速度方向與水

Vv

平地面夾角的正切值tanO=U=2,故C錯誤；物體的水平位移x=優仁20m,位

移為**+序=2即m,故D錯誤。

核心素養發展與提升|

考點1平拋運動的基本規律fl

［科學思維梳理］

1.關于平拋運動必須掌握的四個物理量

物理量相關分析

號,飛行時間取決于下落高度m與初速度。。無關

飛行時間⑺

[2h

x=vot=voyl—,即水平射程由初速度優和下落高度h共同

水平射程（X）

決定，與其他因素無關

。’這+沃=+2gh,以6表示落地時速度與水平方向間

的夾角，有tan0=￡=噂，所以落地速度也只與初速度°。

落地速度（。）

和下落高度h有關

因為平拋運動的加速度為恒定的重力加速度g,所以做平拋

運動的物體在任意相等時間間隔加內的速度改變量△"=8加

相同，方向恒為豎直向下，如圖所示

速度的改變量（加0（）%=%X

2.平拋運動的兩個重要推論

⑴做平拋運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平

位移的中點，如圖甲所示。其推導過程為tan。=a

（zuU\）l人

2

（2）做平拋運動的物體在任一時刻任一位置處，設其速度方向與水平方向的夾

角為仇位移與水平方向的夾角為明則tan0=2tana。如圖乙所示。其推導過程

VyQt't2y

為tan<9=—vo=v(rt=~x^=2tan?o

例1（2020.江蘇高考）（多選）如圖所示，小球A、3分別從2/和/的高度水平

拋出后落地，上述過程中A、B的水平位移分別為/和2/o忽略空氣阻力，貝版）

A.A和B的位移大小相等

B.A的運動時間是8的2倍

C.A的初速度是8的g

D.A的末速度比B的大

［答案］AD

［解析］位移為由初位置到末位置的有向線段，由圖可得A、8的位移大小分

別為SA=鄧+(21)2=?SB=q(2/)2+/2=@故A和8的位移大小相等，A

正確；小球A、B在豎直方向上做自由落體運動，則A、8的運動時間分別為〃

==2y1,\月，故A的運動時間是B的g倍，B錯誤；小球A、

3在水平方向上做勻速直線運動，則A、5的初速度分別為9=上乎V

=迎，故A的初速度是8的金，C錯誤；小球A、8在豎直方向上的末速度

分別為VyA=72g-2l=2y［gl,VyB=-\l2gl,所以A、B的末速度分別為ZM=+

="詈,VB=-\lvh+vh=2-\［gl=,故A的末速度比8的大，D正確。

［關鍵能力升華］

1.“化曲為直”思想在平拋運動中的應用

根據合運動與分運動的等效性，利用運動分解的方法，將其轉化為我們所熟

悉的兩個方向上的直線運動：

(1)水平方向的勻速直線運動；

⑵豎直方向的自由落體運動。

2.對多體平拋問題的四點提醒

（1）若兩物體同時從同一高度（或同一點）拋出，則兩物體始終在同一高度，二

者間距只取決于兩物體的水平分運動。

（2）若兩物體同時從不同高度拋出，則兩物體高度差始終與拋出點高度差相

同，二者間距由兩物體的水平分運動和豎直高度差決定。

（3）若兩物體從同一點先后拋出，兩物體豎直高度差隨時間均勻增大，二者間

距取決于兩物體的水平分運動和豎直分運動。

（4）兩條平拋運動軌跡的相交處是兩物體的可能相遇處，兩物體要在此處相

遇，必須同時到達此處。

［對點跟進訓練］

1.（平拋運動基本規律的應用）（2020?海南高考）（多選）小朋友玩水槍游戲時，

若水從槍口沿水平方向射出的速度大小為lOm/s,水射出后落到水平地面上。已

知槍口離地高度為L25m,g=10m/s2,忽略空氣阻力，則射出的水（）

A.在空中的運動時間為0.25s

B.水平射程為5m

C.落地時的速度大小為15m/s

D.落地時豎直方向的速度大小為5m/s

答案BD

解析射出的水做平拋運動，根據卜=素,可得水在空中的運動時間t=

f2h/2X1.25

=-s=0.5s,故A錯誤；水平射程為x=oof=10X0.5m=5m,

故B正確；落地時豎直方向的分速度大小為6,=gf=10X0.5m/s=5m/s,水平方

向的分速度大小為vx=vo=10m/s,則落地時的速度大小為0=7V3,+度=5小

m/s,故C錯誤，D正確。

2.（平拋運動基本規律的應用）（2018.江蘇高考）某彈射管每次彈出的小球速度

相等。在沿光滑豎直軌道自由下落過程中，該彈射管保持水平，先后彈出兩只小

球。忽略空氣阻力，兩只小球落到水平地面的（）

A.時刻相同，地點相同

B.時刻相同，地點不同

C.時刻不同，地點相同

D.時刻不同，地點不同

答案B

解析彈射管在豎直方向做自由落體運動，所以彈出小球在豎直方向運動的

時間相等，因此兩球應同時落地；由于兩小球先后彈出，所以小球在水平方向運

動的時間不等，因小球在水平方向做勻速運動，且彈出小球的水平初速度相同，

所以水平位移不相等，因此落點不相同，故B正確。

3.（平拋運動基本規律的應用）如圖所示，A、B兩小球從相同高度同時水平拋

出，不計空氣阻力，下落高度為〃時在空中相遇。若兩球的拋出位置不變，但水

平拋出的速度都變為原來的2倍，則兩球在空中相遇時下落的高度為（）

c.于D.0

答案D

解析兩球的拋出位置不變，則水平位移大小之和不變，兩球在水平方向上

做勻速直線運動，根據》=（切+。2＞知，水平拋出的速度都變為原來的2倍后，

從拋出至相遇所用的時間變為原來的;；兩球在豎直方向上做自由落體運動，根據

力=上尸知，兩球相遇時下落的高度變為原來的"，故D正確，A、B、C錯誤。

考點2斜面上的平拋運動僵

［科學思維梳理］

斜面上的平拋運動問題是一種常見的題型，在解答這類問題時除要運用平拋

運動的位移和速度規律，還要充分運用斜面傾角，找出斜面傾角同位移和速度與

水平方向夾角的關系，從而使問題得到順利解決。

I.常見的模型

；從斜面頂點：

:水平拋出且：刁

『最近窗，一

L漁他般叫！三。/

模型j到斜面j

//%版

分解位移，構建位

分解速度，構建速度三移三角形，隱含條

分解速度，構建速

方法角形，找到斜面傾角。件：斜面傾角。等

度的矢量三角形

與速度方向的關系于位移與水平方向

的夾角

水平：Vx=VO水平：Vx=V0水平：x=vot

豎直：Vy=gt豎直：Vy=gt豎直：

合速度：合速度：

基本規律合位移：

V=\jVx+VyV=yjVx+Vy

Vx

方向：方向：tanO二：

tanO=TvyVx方向：tanO=?

Vy

由。=一由由

tanVytan9=—VOtan/9=X

現曰《得一圓-得

運動時間=7得一2。0倚

Uotani2ootan9

t=t-

gtan。gg

2.從斜面上某點水平拋出，又落到斜面上的平拋運動的五個特點

(1)位移方向相同，豎直位移與水平位移之比等于斜面傾斜角的正切值。

(2)末速度方向平行，豎直分速度與水平分速度(初速度)之比等于斜面傾斜角

正切值的2倍。

(3)運動的時間與初速度成正比(=生詈)。

(4)位移與初速度的二次方成正比鬻)。

(5)當速度與斜面平行時，物體到斜面的距離最遠，且從拋出到距斜面最遠所

用的時間為平拋運動時間的一半o

例2橫截面為直角三角形的兩個相同斜面緊靠在一起，固定在水平面上，

如圖所示。它們的豎直邊長都是底邊長的一半。現有三個小球從左邊斜面的頂點

以不同的初速度向右平拋，最后落在斜面上，其落點分別是。、從Co下列判斷

正確的是（）

A.落在。點的小球落在斜面上的速度方向與斜面平行

B.三小球比較，落在c點的小球飛行時間最長

C.三小球比較，落在8點的小球飛行過程速度變化最快

D.無論小球拋出時初速度多大，落到斜面上的瞬時速度都不可能與斜面垂

直

（答案］D

［解析］設落在。點的小球落在斜面上的速度方向與水平方向夾角為。，位移

方向與水平方向夾角為a,根據平拋運動的推論可知，tan8=2tana,即落在。點

的小球落在斜面上的速度方向不可能與斜面平行，A錯誤；根據平拋運動規律可

知，三小球飛行時間，=乎，落在。點的小球豎直方向下落距離最大，所以落在

O

。點的小球飛行時間最長，B錯誤；三小球都做平拋運動，速度變化快慢（加速度）

均相同，C錯誤；通過A項的分析可知，落在。點的小球不可能與斜面垂直，對

于落在從c點的小球而言，落在斜面上時豎直方向分速度為gr,水平方向分速度

為優，假設落到斜面上的瞬時速度能與斜面垂直，則方=tana=；,對應的豎直方

向的位移為尸耳，水平方向的位移為》=加=&>=>，顯然這是不可能滿足

的，因此D正確。

［關鍵能力升華］

有約束條件的平拋運動

做平拋運動的物體，落點不在水平面上，而是在斜面、豎直面、弧面上時，

將平拋運動的知識與幾何知識結合起來，分解速度或分解位移，在水平方向和豎

直方向分別列式求解。

［對點跟進訓練］

1.（斜面上的平拋運動）（2021.河北省張家口市高三下三模）如圖所示，在一次

投彈演習中，戰機釋放的炸彈（近似于平拋運動）未能擊中山坡上的目標S,你認為

飛行員應如何調整才可能準確命中目標（）

o->-一.

A.保持原航速和飛行高度，稍微提前投彈

B.保持原航速和飛行高度，稍微延后投彈

C.保持原航速、降低飛行高度，提前投彈

D.保持原航速，到S正上方投彈

答案B

解析由〃=上於，x=可得，保持原航速時，炸彈的軌跡形狀不變。為擊

中目標，保持原航速和飛行高度時，應稍微延后投彈，A錯誤，B正確；保持原

航速、降低飛行高度時，應延后投彈，C錯誤；保持原航速，到S正上方投彈，

炸彈會落在S右側，將不能命中S,D錯誤。

2.（從斜面頂端拋出）如圖所示，。點為固定斜面AC的中點，在A點先后分別

以初速度P0I和002水平拋出一個小球，結果小球分別落在斜面上的D點和C點。

空氣阻力不計。設小球在空中運動的時間分別為t\和t2,落到。點和C點前瞬間

的速度大小分別為V1和。2,落到D點和C點前瞬間的速度方向與水平方向的夾

角分別為仇和仇，則下列關系式正確的是（）

A，T*=

ti

v\1tan^i_1

,tan仇一取

答案C

解析小球先后兩次在豎直方向下降的高度之比為1:2,由。=%產知%=

gI,設斜面的傾角為a,可得20加=^9t=tana，所以2貌t\=最2t2，求得VO嬴i=Ig，由

速度偏轉角的正切值是位移偏轉角正切值的兩倍，可得瞿=1，則￡==右,

故C正確，A、B、D錯誤。

3.（拓展）（2021?山東省濱州市高三下二模）如圖所示，。點為正四面體。ABC

的頂點，A8C處在水平面上，。點為邊的中點。在。點沿不同方向水平拋出

兩個小球，甲球恰好落在A點，乙球恰好落在。點，空氣阻力不計。則甲球和乙

球平拋初速度大小的比為（）

A.2：1B.3：1

C.3：2D.72：1

答案A

0，A2

解析設。點在面ABC的投影點為O',由幾何知識可知廠5=1,因甲、

。甲rO'A2。中2

乙兩球落下的豎直位移相同，故/相同，則有士=歹不=不可得廣=「故A

。乙rc/〃10乙工

正確，B、C、D錯誤。

4.（拓展）（2022.江蘇省常州市高三上期中質量調研）如圖所示，斜面體ABC固

定在水平地面上，斜面的高A3為2m,傾角為，=37。，且。是斜面的中點，在

A點和。點分別以相同的初速度水平拋出一個小球，結果兩個小球恰能落在地面

上的同一點，則落地點到。點的水平距離為（）

A4小

A.^-mB.平m

C.4mD.|m

答案A

解析將AB的高度用h表示，則從A點水平拋出的小球運動的時間九=

，從。點水平拋出的小球運動的時間t2

￡在水平方向上有VOt\-V0t2

hh4、歷

=赤石，落地點到c點的水平距離X=。。力-而而，聯立并代入數據得x=T-m,

故A正確，B、C、D錯誤。

考點3類平拋運動的分析鐲

［科學思維梳理］

1.類平拋運動與平拋運動的區別

做平拋運動的物體初速度水平，物體只受與初速度垂直的豎直向下的重力，。

=g；做類平拋運動的物體初速度不一定水平，但物體所受合力與初速度的方向垂

八

直且為恒力，O=-7o

2.求解方法

（1）常規分解法：將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于

初速度方向（即沿合力方向）的勻加速直線運動。

（2）特殊分解法：對于有些問題，可以過拋出點建立適當的直角坐標系，將加

速度。分解為如、a.y,初速度優分解為。八與，然后分別在x、＞方向上列方程求

解。

例3（多選）如圖，一光滑寬闊的斜面，傾角為。，高為隊現有一小球在A

處以水平速度。。射出，最后從B處離開斜面，下列說法正確的是（）

h

B

A.小球的運動軌跡為拋物線

B.小球的加速度為gsin。

C.小球從A處到達8處所用的時間為擊展

［2h

D.小球到達8處的水平方向位移大小s=00yj—

［答案］ABC

［解析］小球受重力和支持力兩個力作用，合力沿斜面向下，與初速度方向

垂直，做類平拋運動，其運動軌跡為拋物線，故A正確；根據牛頓第二定律知，

小球的加速度”吟電=gsin。,故B正確;小球在沿加速度方向上的位移為焉,

根據焉=解得，=［而'故C正確；小球在沿初速度方向的位移：x

=oof=焉小球在沿加速度方向的位移的水平分位移:y=磊cos。=焉,

則小球在水平方向的總位移：S=7$+/扁故D錯誤。

［關鍵能力升華］

求解類平拋運動問題的關鍵

(1)對研究對象受力分析，找到物體所受合力的大小、方向，正確求出加速度。

例題中，物體受重力、支持力作用，合力沿斜面向下。

(2)確定是研究速度，還是研究位移。

(3)把握好分解的思想方法。例題中研究位移，把運動分解成沿斜面的勻加速

直線運動和水平方向的勻速直線運動，然后將兩個方向的運動用時間/聯系起來。

［對點跟進訓練］

(類平拋運動)如圖所示，A、8兩質點沿水平方向以相同的速度。o拋出，A在

豎直平面內運動，落地點為R,8沿光滑斜面運動，落地點為生，不計阻力，則

下列關于尸I、P2沿X軸方向相對拋出點距離遠近的關系的判斷正確的是（）

兒H

A.Pi較遠B.尸2較遠

c.a、P2等遠D.A、B兩項都有可能

答案B

解析A質點水平拋出后，只受重力，做平拋運動，在豎直方向有力=上上

8質點水平拋出后，受重力和支持力，在斜面平面內所受合力為〃zgsin。，大小恒

h

定且與初速度方向垂直，所以B質點做類平拋運動，在沿斜面向下方向上有而=

；gsin。區A的水平位移xi=00人，8的水平位移了2=00及，由于3>力，所以九2>xi,

P2較遠，B正確。

考點4斜上拋運動鐲

［科學思維梳理］

1.斜上拋運動的分析

（1）利用運動的合成與分解分析：可看作沿水平方向的勻速直線運動和沿豎直

方向的豎直上拋運動的合運動。

（2）分段分析

/上升階段：平拋運動的逆過程

斜上拋運動彳一女女即丁44A、__.

I下降階段：平拋運動

其軌跡也是拋物線。

2.斜上拋運動的規律

八、__J水平方向：Ox=vocos。的勻速運動

斜上拋運動［豎直方向：初速度為。osin。的豎直上拋運動

?osin。彘*。2-osin-

/上下=2?一-~,“射高=~9~,次射程二°（）c°s夕~。

例4（2021?江蘇高考）如圖所示，A、B兩籃球從相同高度同時拋出后直接

落入籃筐，落入籃筐時的速度方向相同，下列判斷正確的是（）

A.A比8先落入籃筐

B.A、8運動的最大高度相同

C.A在最高點的速度比8在最高點的速度小

D.A、8上升到某一相同高度時的速度方向相同

［答案］D

［解析］若研究兩個過程的逆過程，可看作是從籃筐沿同方向斜向上拋出的

斜拋運動，落到同一高度上的兩點，則A對應的逆過程，運動距離較長，初速度

較大，水平分速度和豎直分速度均較大，上升的最大高度較大，運動時間較長，

在最高點的速度即初速度的水平分量較大，由斜拋運動的對稱性可知，當A、8

上升到與籃筐相同高度時的速度方向相同，A、B、C錯誤，D正確。

［關鍵能力升華］

斜上拋運動的處理技巧

對斜上拋運動從拋出點到最高點的運動，可逆過程分析為平拋運動。分析完

整的斜上拋運動時，可根據對稱性求解某些問題。

［對點跟進訓練］

1.（斜上拋運動規律的應用）（2016.江蘇高考）有A、B兩小球，B的質量為A

的兩倍。現將它們以相同速率沿同一方向拋出，不計空氣阻力。圖中①為A的運

動軌跡，則B的運動軌跡是（）

//,?\\

：：?........,'、

".④\\

A.①B.②

C.③D.④

答案A

解析不計空氣阻力，A、8兩球運動過程中的加速度a=g,以相同速率沿

同一方向拋出，都做斜上拋運動，故兩球運動軌跡相同，A正確。

2.（逆向思維分析斜上拋運動）（2021.湖南省永州市高三下三模）如圖所示，某同

學疫情期間在家鍛煉時，對著墻壁練習打乒乓球，球拍每次擊球后，球都從同一

位置斜向上飛出，其中有兩次球在不同高度分別垂直撞在豎直墻壁上，不計空氣

阻力，則球在這兩次從飛出到撞擊墻壁前（）

A.在空中飛行的時間可能相等

B.飛出時的初速度豎直分量可能相等

C.撞擊墻壁的速度大小可能相等

D.飛出時的初速度大小可能相等

答案D

解析將乒乓球的運動逆過程處理，即為平拋運動，兩次的豎直高度不同，

則兩次運動時間不同，A錯誤；平拋運動在豎直方向上為自由落體運動，因兩次

運動的時間不同，故初速度在豎直方向的分量不同，B錯誤；兵乓球的兩次水平

射程相等，但兩次運動的時間不同，則球兩次撞擊墻壁的速度不同，C錯誤；初

速度的豎直分量大的，運動時間長，其水平速度就小，根據速度的合成可知兵乓

球飛出時的初速度大小可能相等，D正確。

啟智微專題滿分指導1平拋運動中的臨界問題

【案例剖析】

（16分）如圖所示，水平屋頂高"=5m,圍墻高〃=3.2m,圍墻到房子的水平

距離L=3m,圍墻外空地寬x=10m,為使小球從屋頂①水平飛出②落在圍墻外的

空地上,g取lOm/s?。求:

⑴小球離開屋頂時的速度③如的大小范圍;

⑵小球落在空地上的④最小速度。

［審題抓住信息，準確推斷］

關鍵信息信息挖掘

①水平飛出說明小球做平拋運動

題

②落在圍墻外的

干說明小球既要飛出墻外，又要落在空地上

空地上

由平拋運動規律可知，當小球恰好越過墻的邊緣時。。最

③00的大小范圍

問小，恰好落到空地的右側邊緣時。。最大

題小球下落高度一定，落地時豎直分速度一定，當水平速度

④最小速度

最小時，小球落地速度最小

［破題形成思路，快速突破］

(1)設小球恰好落到空地邊緣時的水平初速度為彷，請寫出平拋運動的位移方

程。

①水平方向：L+x=V\tW

②豎直方向：”率

(2)設小球恰好越過圍墻的邊緣時的水平初速度為S,請寫出平拋運動的位移

方程。

①水平方向：L=V2t2；

②豎直方向：=1?總

⑶請寫出如的取值范圍。

提示：0()的取值范圍為

（4）在oo的取值范圍內落地速度最小時，對應的初速度是多少？

提示：。。對應最小值02時，小球落地速度最小。

［解題規范步驟，水到渠成］

（1）設小球恰好落到空地的右側邊緣時的水平初速度為彷，則小球的水平位

移：

L+x=vit\（2分）

小球的豎直位移：

“=妙（2分）

解以上兩式得：

V］=（L+x）13m/s（l分）

設小球恰好越過圍墻的邊緣時的水平初速度為。2,則此過程中小球的水平位

移：

L=V2t2（2分）

小球的豎直位移：

H-h=分）

解以上兩式得：

小球拋出時的速度大小范圍為

5m/sWooW13m/s（l分）

（2）小球落在空地上，下落高度一定，落地時的豎直分速度一定，當小球恰好

越過圍墻的邊緣落在空地上時，落地速度最小。豎直方向：

設=2gHQ分）

又有：Umin=，一+或（2分）

解得:Vmin=5y［5m/So（1分）

［點題突破瓶頸，穩拿滿分］

（1）常見的思維障礙：不理解小球落在墻外的空地上的含義，不能挖掘出當小

球恰好越過圍墻的邊緣時。。有最小值、恰好落到空地邊緣時。。有最大值這兩個臨

界狀態，導致無法求出結果。

（2）因解答不規范導致的失分：

①解題時不用題中所給字母列方程，導致失分；

②解出兩個臨界速度后，沒有補充說明。。的取值范圍，導致失分。

課時作業|

一、選擇題（本題共10小題，其中第1?8題為單選，第9?10題為多選）

1.（2021.湖北省高三11月階段性測試）如圖所示，邊長為。的正方體無蓋盒子

ABCD-A'B'CD'放置在水平地面上，。為直線A'B'上的一點，且與A'

的距離為將小球（可視為質點）從。點正上方距離2a處以某一速度水平拋出，

不計空氣阻力，重力加速度為g。為使小球能落在盒子內部，則小球拋出時的速

度不超過（）

C.、2ga

答案A

解析依題意，可知小球以最大速度水平拋出能落到盒子內時，恰好落到C

=22

點J有a2g尸，XOC—0maxf,根據幾何知識，有XOC,=-\y（2a）+a=y]5a,聯立

解得。max=\^a,故A正確。

2.（2021.廣東省惠州市高三下第一次調研考試）同一水平線上相距L的兩位置

沿相同方向水平拋出兩小球甲和乙，兩球在空中相遇，運動軌跡如圖所示。不計

空氣阻力，則下列說法正確的是（)

A.甲球要先拋出才能相遇

B.甲、乙兩球必須同時拋出才能相遇

C.從拋出到相遇過程中，甲球運動的時間更長

D.兩球相遇時乙球加速度更大

答案B

解析由于相遇時甲、乙兩球做平拋運動的豎直位移。相同，由。=上尸可

以判斷兩球下落時間相同，即應同時拋出兩球，A、C錯誤，B正確；兩球都做

平拋運動，加速度都為g,D錯誤。

3.（2021.山東省泰安市高三一模）如圖所示，a、b兩小球分別從半圓軌道頂端

和斜面頂端以大小相等的初速度。。同時水平拋出，已知半圓軌道的半徑與斜面豎

直高度相等，斜面底邊長是其豎直高度的2倍，若小球a能落到半圓軌道上，小

球b能落到斜面上，貝女）

%aMn

A.a球一定先落在半圓軌道上

B.b球一定先落在斜面上

C.a、b兩球可能同時落在半圓軌道和斜面上

D.a球可能垂直落在半圓軌道上

答案C

解析將半圓軌道和斜面軌道重合在一起，如圖所示，交點為A。若a、b兩

球的初速度合適，可知兩小球均可以做平拋運動落在A點，則a、b運動的時間

相等，即可以同時落在半圓軌道和斜面上；若a、b兩球的初速度比前述的小，由

圖可知，小球b先落在斜面上；若a、b兩球的初速度比前述的大，則小球a先落

在半圓軌道上，故A、B錯誤，C正確。若a球垂直落在半圓軌道上，根據幾何

關系知，速度方向與水平方向的夾角是位移方向與水平方向的夾角的2倍，而在

平拋運動中，某時刻速度方向與水平方向夾角的正切值是位移方向與水平方向夾

角正切值的2倍，兩者相互矛盾，所以a球不可能垂直落在半圓軌道上，故D錯

誤。

4.（2022.江蘇省揚州市高三上期中調研）某次軍事演習中，在P、。兩處的炮兵

向正前方同一目標O發射炮彈A、B,要求同時擊中目標，炮彈軌跡如圖所示，

忽略空氣阻力，下列說法正確的是（）

A.A先發射

B.AsB同時發射

C.A在最高點的速度比B的大

D.A、B在最高點的速度相同

答案C

解析炮彈A、B被射出后均做斜上拋運動，斜上拋運動在豎直方向為豎直

上拋運動，在水平方向是勻速直線運動，設炮彈上升的最大高度為”，運動的時

2___

間為乙根據豎直上拋運動的規律可得"=/電，解得t=胃，由圖可知，B

上升的最大高度比A高，故B運動的時間比A運動的時間長，為了使A、B同

時擊中目標，則B應先發射，故A、B錯誤；由圖可知，A的水平位移更大，且

運動時間更短，故A在水平方向的運動速度更大，根據斜上拋運動的規律可知，

在運動的最高點只有水平方向的速度，故A在最高點的速度比B的大，故C正

確，D錯誤。

5.（2021?山東省濟南市高三下模擬考試）如圖所示，某同學正在進行投籃訓練。

已知籃球出手點到地面的距離為。=1.8m,籃筐到地面的距離為〃=3m,出手

點到籃筐的水平距離為L=4.2m。若出手時籃球的速度方向與水平方向的夾角為

53。，且能直接進入籃筐，則出手時籃球的速度大小約為(肝心3.3,sin53o=0.8,

cos53°=0.6)()

A.5.6m/sB.7.5m/s

C.8.4m/sD.9.0m/s

答案B

解析設籃球從被拋出到進籃筐運動的時間為/，則水平方向有。08553。年乙

豎直方向有"一〃=0osin53°1g?,聯立解得如=7.5m/s,故選B。

6.(2021?山東省濟寧市高三下二模)某戰士進行投彈訓練，他選擇了如圖所示

的地形，ABC為一傾角為30。的斜面，底邊8C長為L,CDE是半徑為A的四分

之一圓弧，在。點與水平面相切，該戰士在A點將手榴彈以初速度°。水平拋出，

手榴彈剛好落在。點，當他在A點將手榴彈以初速度2a水平拋出時，手榴彈落

在圓弧上的0點。則下列說法中正確的是()

A.手榴彈落在C點時速度方向與水平方向的夾角為60°

B.圓弧半徑尺一定大于L

C.手榴彈落在。點時速度方向與水平方向的夾角一定大于手榴彈落在。點

時的夾角

D.如果手榴彈水平拋出時的速度大小合適，手榴彈可能正好落到E點

答案B

解析設手榴彈在。點的速度方向與水平方向的夾角為a,則tana=^=

1

乃"y2s

2X-^7=2；=2tan30°=^('可得aW60。，故A錯誤；當手榴彈以初速度2加從

A點水平拋出時，設運動軌跡與C點所在的水平面交于尸點，則手榴彈在“點的

水平位移為以初速度如水平拋出時水平位移的2倍，則B=8C,所以火一定大

于L,故B正確；當手榴彈落到AC延長線上時速度與水平方向的夾角與手榴彈

落到C點時速度與水平方向的夾角相等，當圓弧半徑/?足夠大，使。點在AC延

長線的上方時，手榴彈落到。點時速度與水平方向的夾角小于落到C點時的夾角，

故C錯誤；由于圓弧的遮擋，手榴彈若是剛好落到E點則其運動軌跡需在E點與

圓弧相切，但由平拋運動性質知這無法實現，故D錯誤。

7.(2022.山東省青島市4區高三上期中)如圖所示，傾角為37。的斜面足夠長，

從斜面上A點正上方2.5m處的8點，以2m/s的速率拋出一個小球，方向不定,

且小球的軌跡與BAO在同一豎直平面內，則小球落回斜面的最長時間為(取g=

10m/s2,sin37°=0.6)()

答案B

解析規定水平方向上，向右為正方向，豎直方向上，向下為正方向，設小

球從B點拋出時的速度方向斜向右上方且與水平方向的夾角為6,則有x=

uocos<9-r,^gt2-u()sin(9-z=2.5m+xtan37°,兩式聯立解得

(4sin8+3cos8)±\/(4sin夕+3cos+200

t=----------------------:-------------------------s,舍去負的時間，則時間為

4sin8+3cos。+-\/(4sin0+3cos0)2+200

t=-----------------------------------------------------,當4sin(9+3cosd最大時，/最大；

根據數學知識可知4sin6+3cos8=5sin（6+37。）,故，=53。時，f最大，最大值為

5+15、

/max=~而一S=1S,故選Bo

8.如圖所示，水平地面的上空有一架飛機在進行投彈訓練，飛機沿水平方向

做勻加速直線運動。當飛機飛過觀察點8正上方的A點時投放一顆炸彈，經時間

T炸彈落在觀察點3正前方心處的。點，與此同時飛機投放出第二顆炸彈，第二

顆炸彈最終落在觀察點B正前方5處的。點，且上=3小。空氣阻力不計，以下

說法正確的是（）

唆、

iB\CD

“匕工......

?1-------------------------------------a----