題型二規律探索（復習講義）【考點總結|典例分析】探索實數中的規律

關于數式規律性問題的一般解題思路：

(1)先對給出的特殊數式進行觀察、比較；

(2)根據觀察猜想、歸納出一般規律；

(3)用得到的規律去解決其他問題。

對數式進行觀察的角度及方法：

(1)橫向觀察：看等號左右兩邊什么不變，什么在變，以及變化的數字或式子間的關系；

(2)縱向觀察：將連續的幾個式子上下對齊，觀察上下對應位置的式子什么不變，什么在變，以及變化的數字或式子間的關系。給出一組具有某種特定關系的數、式、圖形，或是給出與圖形有關的操作變化過程，或某一具體的問題情境，要求通過觀察分析推理，探究其中蘊含的規律，進而歸納或猜想出一般性的結論。這類問題成為探索規律性問題。主要采用歸納法解決。

1.數字猜想型:數字規律問題主要是在分析比較的基礎上發現題目中所蘊涵的數量關系，先猜想，然后通過適當的計算回答問題。

2.數式規律型:數式規律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗證，然后得出一般性的結論，以列代數式即函數關系式為主要內容.

3.圖形規律型:多形規律問題主要是觀察圖形的組成、分拆等過程中的特點，分析其聯系和區別，用相應的算式描述其中的規律，要注意對應思想和數形結合.

4.數形結合猜想型:數形結合猜想型問題首先要觀察冬形，從中發現冬形的變化方式，再將冬形的變化以數或式的形式反映出來，從而得出圖形與數或式的對應關系，數形結合總結出圖形的變化規律，進而解決相關問題.1.已知為實數﹐規定運算：，，，，……，．按上述方法計算：當時，的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】當時，計算出，會發現呈周期性出現，即可得到的值．【詳解】解：當時，計算出，會發現是以：，循環出現的規律，，，故選：D．【點睛】本題考查了實數運算規律的問題，解題的關鍵是：通過條件，先計算出部分數的值，從中找到相應的規律，利用其規律來解答．2.將從1開始的連續奇數按如圖所示的規律排列，例如，位于第4行第3列的數為27，則位于第32行第13列的數是（）A．2025 B．2023 C．2021 D．2019【答案】B【分析】根據數字的變化關系發現規律第n行，第n列的數據為：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的數據為：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的數據，即可．【詳解】解：觀察數字的變化，發現規律：第n行，第n列的數據為：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的數據為：2×32×(32-1)+1=1985，根據數據的排列規律，第偶數行從右往左的數據一次增加2，∴第32行，第13列的數據為：1985+2×(32-13)=2023，故選：B．【點睛】本題考查了數字的變化類，解決本題的關鍵是觀察數字的變化尋找探究規律，利用規律解決問題．3.將字母“C”，“H”按照如圖所示的規律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”的個數是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】列舉每個圖形中H的個數，找到規律即可得出答案．【詳解】解：第1個圖中H的個數為4，第2個圖中H的個數為4+2，第3個圖中H的個數為4+2×2，第4個圖中H的個數為4+2×3=10，故選：B．【點睛】本題考查了規律型：圖形的變化類，通過列舉每個圖形中H的個數，找到規律：每個圖形比上一個圖形多2個H是解題的關鍵．4.如圖是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規律擺下去，第10個這樣的圖案需要黑色棋子的個數為（）A．148 B．152 C．174 D．202【分析】觀察各圖可知，后一個圖案比前一個圖案多2（n+3）枚棋子，然后寫成第n個圖案的通式，再取n＝10進行計算即可求解．【解析】根據圖形，第1個圖案有12枚棋子，第2個圖案有22枚棋子，第3個圖案有34枚棋子，…第n個圖案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10個這樣的圖案需要黑色棋子的個數為102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故選：C．5.人們把這個數叫做黃金分割數，著名數學家華羅庚優選法中的法就應用了黃金分割數．設，，則，記，，…，．則____．【答案】10【分析】先根據求出（為正整數）的值，從而可得的值，再求和即可得．【詳解】解：，（為正整數），，，，，則，故答案為：10．【點睛】本題考查了二次根式的運算、分式的運算，正確發現一般規律是解題關鍵．6.觀察下列等式：；；；……根據以上規律，計算______．【答案】【分析】根據題意，找到第n個等式的左邊為，等式右邊為1與的和；利用這個結論得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化為1﹣，化為﹣，化為﹣，再進行分數的加減運算即可．【詳解】解：由題意可知，，＝1+1+1+…+1﹣2021＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021＝2020+1﹣﹣2021＝．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的化簡和找規律，解題關鍵是根據算式找的規律，根據數字的特征進行簡便運算．7.觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規律．解決下列問題：(1)寫出第5個等式：________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）觀察第1至第4個等式中相同位置的數的變化規律即可解答；（2）觀察相同位置的數變化規律可以得出第n個等式為，利用完全平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變形即可證明．(1)解：觀察第1至第4個等式中相同位置數的變化規律，可知第5個等式為：，故答案為：；(2)解：第n個等式為，證明如下：等式左邊：，等式右邊：，故等式成立．【點睛】本題考查整式規律探索，發現所給數據的規律并熟練運用完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．8.正偶數2，4，6，8，10，……，按如下規律排列，24

68

10

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20……則第27行的第21個數是______．【答案】744【分析】由圖可以看出，每行數字的個數與行數是一致的，即第一行有1個數，第二行有2個數，第三行有3個數????????第n行有n個數，則前n行共有個數，再根據偶數的特征確定第幾行第幾個數是幾．【詳解】解：由圖可知，第一行有1個數，第二行有2個數，第三行有3個數，???????第n行有n個數．∴前n行共有1+2+3+?+n=個數．∴前26行共有351個數，∴第27行第21個數是所有數中的第372個數．∵這些數都是正偶數，∴第372個數為372×2=744．故答案為：744．【點睛】本題考查了數字類的規律問題，解決這類問題的關鍵是先根據題目的已知條件找出其中的規律，再結合其他已知條件求解．9.觀察下列圖形規律，當圖形中的“○”的個數和“．”個數差為2022時，n的值為____________．【答案】不存在【分析】首先根據n=1、2、3、4時，“?”的個數分別是3、6、9、12，判斷出第n個圖形中“?”的個數是3n；然后根據n=1、2、3、4，“○”的個數分別是1、3、6、10，判斷出第n個“○”的個數是；最后根據圖形中的“○”的個數和“．”個數差為2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．【詳解】解：∵n=1時，“?”的個數是3=3×1；n=2時，“?”的個數是6=3×2；n=3時，“?”的個數是9=3×3；n=4時，“?”的個數是12=3×4；……∴第n個圖形中“?”的個數是3n；又∵n=1時，“○”的個數是1=；n=2時，“○”的個數是，n=3時，“○”的個數是，n=4時，“○”的個數是，……∴第n個“○”的個數是，由圖形中的“○”的個數和“．”個數差為2022①，②解①得：無解解②得：故答案為：不存在【點睛】本題考查了圖形類規律，解一元二次方程，找到規律是解題的關鍵．10.“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個數為______．【答案】127【分析】由已知圖形觀察規律，即可得到第六代勾股樹中正方形的個數．【詳解】解：∵第一代勾股樹中正方形有1+2=3（個），第二代勾股樹中正方形有1+2+22=7（個），第三代勾股樹中正方形有1+2+22+23=15（個），.....．∴第六代勾股樹中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（個），故答案為：127．【點睛】本題考查圖形中的規律問題，解題的關鍵是仔細觀察圖形，得到圖形變化的規律．11.古希臘的畢達哥拉斯學派對整數進行了深入的研究，尤其注意形與數的關系，“多邊形數”也稱為“形數”，就是形與數的結合物．用點排成的圖形如下：其中：圖①的點數叫做三角形數，從上至下第一個三角形數是1，第二個三角形數是，第三個三角形數是，……圖②的點數叫做正方形數，從上至下第一個正方形數是1，第二個正方形數是，第三個正方形數是，……由此類推，圖④中第五個正六邊形數是______．【答案】45【分析】根據題意找到圖形規律，即可求解．【詳解】根據圖形，規律如下表：三角形3正方形4五邊形5六邊形6M邊形m11111121+21+211+2111+21111+231+2+31+2+31+21+2+31+21+21+2+31+21+21+21+2+341+2+3+41+2+3+41+2+31+2+3+41+2+31+2+31+2+3+41+2+31+2+31+2+31+2+3+4n由上表可知第n個M邊形數為：，整理得：，則有第5個正六邊形中，n=5，m=6，代入可得：，故答案為：45．【點睛】本題考查了整式--圖形類規律探索，理解題意是解答本題的關鍵．12.人們把這個數叫做黃金比，著名數學家華羅庚優選法中的“0.618法”就應用了黃金比．設，，記，，…，，則_______．【答案】5050【分析】利用分式的加減法則分別可求S1=1，S2=2，S100=100，???，利用規律求解即可．【詳解】解：，，，，，…，故答案為：5050【點睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運算，求得，找出的規律是本題的關鍵．13.觀察下面的等式：，，，……(1)按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數）(2)請運用分式的有關知識，推理說明這個結論是正確的．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據所給式子發現規律，第一個式子的左邊分母為2，第二個式子的左邊分母為3，第三個式子的左邊分母為4，…；右邊第一個分數的分母為3，4，5，…，另一個分數的分母為前面兩個分母的乘積；所有的分子均為1；所以第（n+1）個式子為．（2）由（1）的規律發現第（n+1）個式子為，用分式的加法計算式子右邊即可證明．(1)解：∵第一個式子，第二個式子，第三個式子，……∴第（n+1）個式子；(2)解：∵右邊==左邊，∴．【點睛】此題考查數字的變化規律，分式加法運算，解題關鍵是通過觀察，分析、歸納發現其中各分母的變化規律．14.將從1開始的連續自然數按以下規律排列：若有序數對表示第n行，從左到右第m個數，如表示6，則表示99的有序數對是_______．【答案】【分析】分析每一行的第一個數字的規律，得出第行的第一個數字為，從而求得最終的答案．【詳解】第1行的第一個數字：第2行的第一個數字：第3行的第一個數字：第4行的第一個數字：第5行的第一個數字：…..，設第行的第一個數字為，得設第行的第一個數字為，得設第n行，從左到右第m個數為當時∴∵為整數∴∴∴故答案為：．【點睛】本題考查數字規律的性質，解題的關鍵是熟練掌握數字規律的相關性質．15.如圖，∠MON＝30°，點A1在射線OM上，過點A1作A1B1⊥OM交射線ON于點B1，將△A1OB1沿A1B1折疊得到△A1A2B1，點A2落在射線OM上；過點A2作A2B2⊥OM交射線ON于點B2，將△A2OB2沿A2B2折疊得到△A2A3B2，點A2落在射線OM上；…按此作法進行下去，在∠MON內部作射線OH，分別與A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于點P1，P2，P3，…Pn，又分別與A2B1，A3B2，A4B3，…，An＋1Bn，交于點Q1，Q2，Q3，…，Qn．若點P1為線段A1B1的中點，OA1＝，則四邊形AnPnQnAn＋1的面積為___________________（用含有n的式子表示）．【答案】【分析】先證明△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，又點P1為線段A1B1的中點，從而可得P2為線段A2B2的中點，同理可證P3、P4、Pn依次為線段A3B3、A4B4、?AnBn的中點．結合相似三角形的性質可得△P1B1Q1的P1B1上的高與△P2A2O1的A2P2上的高之比為1∶2，所以△P1B1Q1的P1B1上的高為，同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高為?，從而＝﹣，以此類推來求，從而找到的面積規律．【解析】解：由折疊可知，OA1＝A1A2＝，由題意得：A1B1//A2B2，∴△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，∴＝＝＝，又∵點P1為線段A1B1的中點，∴A1P1＝P1B1，∴A2P2＝P2B2，則點P2為線段A2B2的中點，同理可證，P3、P4、?Pn依次為線段A3B3、A4B4、?AnBn的中點．∵A1B1//A2B2，∴△P1B1Q1∽△P2A2O1，∴＝＝，則△P1B1Q1的P1B1上的高與△P2A2O1的A2P2上的高之比為1∶2，∴△P1B1Q1的P1B1上的高為，同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高為，，由折疊可知A2A3＝，A3A4＝，∵∠MON＝30°，∴A1B1＝tan30°×OA1＝1，∴A2B2＝2，A3B3＝4，，∴＝﹣＝﹣＝，同理，＝﹣＝﹣＝，＝﹣＝＝＝．故答案為：．【點睛】本題考查了規律型：圖形的變化類，相似三角形的判定與性質，折疊的性質，銳角三角函數等知識，解決本題的關鍵在根據圖形的變化找到規律．16.如圖，在平面直角坐標系中，點在直線上，過點作，交軸于點；過點作軸，交直線于點；過點作，交軸于點；過點作軸，交直線于點；…；按此作法進行下去，則點的坐標為_____________．【答案】（，0）.【分析】根據題目所給的解析式，求出對應的坐標，然后根據規律求出的坐標，最后根據題目要求求出最后答案即可.【詳解】解：如圖，過點N作NM⊥x軸于M將代入直線解析式中得∴，45°∵90°∴∵∴∴的坐標為（2，0）同理可以求出的坐標為（4，0）同理可以求出的坐標為（8，0）同理可以求出的坐標為（，0）∴的坐標為（，0）故答案為：（，0）.【點睛】本題主要考查了直線與坐標軸之間的關系，解題的關鍵在于能夠發現規律.17.如圖，直線y=-3x+b與y軸交于點A，與雙曲線y=kx在第三象限交于B、C兩點，且AB?AC＝16．下列等邊三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的邊OE1，E1E2，E2E3，…在x軸上，頂點D1，D2，D3，…在該雙曲線第一象限的分支上，則k＝，前25【分析】設直線y=-3x+b與x軸交于點D，作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F．首先證明∠ADO＝60°，可得AB＝2BE，AC＝2CF，由直線y=-3x+b與雙曲線y=kx在第一象限交于點B、C兩點，可得-3x+b=kx，整理得，-3x2+bx﹣k＝0，由韋達定理得：x1x2=【解析】設直線y=-3x+b與x軸交于點D，作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F∵y=-3x+b∴當y＝0時，x=33b，即點D的坐標為（33b當x＝0時，y＝b，即A點坐標為（0，b），∴OA＝﹣b，OD=-33∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OA∴∠ADO＝60°．∵直線y=-3x+b與雙曲線y=kx在第三象限交于B∴-3x+b=整理得，-3x2+bx﹣k＝0由韋達定理得：x1x2=33k，即EB?FC=∵EBAB=cos60°∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB?AC＝（2EB）（2FC）＝4EB?FC=433k解得：k＝43．由題意可以假設D1（m，m3），∴m2?3=43∴m＝2∴OE1＝4，即第一個三角形的周長為12，設D2（4+n，3n），∵（4+n）?3n＝43，解得n＝22-2∴E1E2＝42-4，即第二個三角形的周長為122-設D3（42+a，3a由題意（42+a）?3a＝43解得a＝23-22，即第三個三角形的周長為123-12…，∴第四個三角形的周長為124-123∴前25個等邊三角形的周長之和12+12