3.1.2橢圓的簡單幾何性質A級必備知識基礎練1.曲線x225+y29=1與x29A.有相等的焦距,相同的焦點B.有相等的焦距,不同的焦點C.有不等的焦距,不同的焦點D.以上都不對2.焦點在x軸上,長、短半軸長之和為10,焦距為45,則橢圓的標準方程為()A.x236+y216=C.x26+y24=3.直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的14,則該橢圓的離心率為(A.13 B.12 C.234.某宇宙飛船的運行軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓,近地點A距地面mkm,遠地點B距離地面nkm,地球半徑為kkm,則飛船運行軌道的短軸長為()A.2(m+B.(mC.mnkm D.2mnkm5.(多選題)已知橢圓x2k+8+y29=1的離心率e=1A.4 B.4 C.54 D.6.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩焦點與短軸的一個頂點恰好是一個正三角形的三個頂點,且橢圓C上的點到橢圓的焦點的最短距離為B級關鍵能力提升練7.已知橢圓的長軸長為20,短軸長為16,則橢圓上的點到橢圓中心距離的取值范圍是()A.[6,10] B.[6,8] C.[8,10] D.[16,20]8.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=12,右焦點為F(c,0),方程ax2+bxc=0的兩個實根為x1,x2,則點PA.必在圓x2+y2=2內 B.必在圓x2+y2=2上C.必在圓x2+y2=2外 D.以上三種情況都有可能9.(多選題)已知F,A分別為橢圓的一個焦點和頂點,O為坐標原點,若橢圓的長軸長是6,且cos∠OFA=23,則橢圓的標準方程為(A.x236+y220=C.x220+y236=10.以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為2,則橢圓長軸長的最小值為.

11.已知F1(c,0),F2(c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,P為橢圓上一點C級學科素養創新練12.(多選題)阿基米德是古希臘數學家,他利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長半軸長、短半軸長三者的乘積.據此得某橢圓面積為62π,且兩焦點恰好將長軸三等分,則此橢圓的標準方程可以為()A.x28+y29=C.x212+y26=3.1.2橢圓的簡單幾何性質1.B曲線x225+y29=1的焦距為2c=8,而曲線x292.A由題意得c=25,a+b=10,所以b2=(10a)2=a2c2=a220,解得a2=36,b2=16,故橢圓方程為x236+3.B不妨設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),直線l過(0,b)(c,0),則可設直線l:xc+yb=∴b2c2=3,a2-c4.A由題意可得ac=m+k,a+c=n+k,故(ac)(a+c)=(m+k)(n+k),即a2c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=(m所以橢圓的短軸長為2(m+k5.BC①當焦點在x軸上,即當k+8>9,即k>1時,由橢圓的標準方程得a=k+8,b=3,則c=a所以橢圓的離心率e=ca=k-1②當焦點在y軸上,即當0<k+8<9,即8<k<1時,由橢圓的標準方程得b=k+8,a=則c=a2-b2=1-k,6.x212+y2所以有tan60°=bc,即b=3c.又因為橢圓C上的點到橢圓的焦點的最短距離為3所以有ac=3,而a2=b2+c2,三個等式聯立得b=3所以橢圓的標準方程為x212+7.C不妨設橢圓的焦點在x軸上,由題意知a=10,b=8,設橢圓上的點M(x0,y0),由橢圓的范圍知,|x0|≤a=10,|y0|≤b=8,點M到橢圓中心的距離d=x0又因為x02所以y02=641-x則d=x0因為0≤x02所以64≤925x02+64≤100,所以8≤8.A由已知x1+x2=ba,x1x2=c從而x12+x22=(x1+x2)22x1x2=b2+2aca2=a2-c2+2aca2=1e2+9.BD10.4由題意知,當橢圓上的點為短軸端點時,三角形面積取得最大值,即bc=2.∴a2=b2+c2≥2bc=4,當且僅當b=c=2時等號成立.∴a≥2,∴2a≥4,即橢圓長軸長的最小值為4.11.解設P(x0,y0),則PF1=(cx0,y0),PF2=(cx0所以PF1·PF2=(cx0)(cx0)+(y0)2=x02c2+y02.因為P(x0,所以y02=b2所以