考向3.5二次函數的圖象和性質

例I、⑵2卜四川德陽?中考_真題）已知函數產][1_2（51<>x+<83）皿48）的圖象如圖所示,若直

線y=H-3與該圖象有公共點，則女的最大值與最小值的和為.

解：當直線經過點（1,12）時:12=h3,解得上15；

當直線與拋物線只有一，個交點時，（x-5）2+8=心>3,

整理得％2-（10+*）x+36=0,

：.\0+k=±\2,解得42或222（舍去）,

??/的最大值是15,最小值是2,

??/的最大值與最小值的和為15+2=17.

故答案為：17.

（2）c決定拋物線與y軸交點的位置：

c>0u>圖像與y軸交點在x軸上方；c=0o圖像過原點；c<0。圖像與y軸交點在x軸下方；

（3）a,b決定拋物線對稱軸的位置：a,b同號，對稱軸在y軸左側；b=0,對稱軸是y軸；a,b

異號。對稱軸在y軸右側；

1、本題考查分段函數的圖象與性質，一次函數圖象上點的坐標特征，結合圖象求出”的最大值

和最小值是解題的關鍵；

2、二次函數的性質是中考必考點，熟悉并運用二次函數性質解決問題是考前學生必須掌握的內

容；

例2、（2021?山東泰安?中考真題）如圖是拋物線y=o?+6x+c的部分圖象，圖象過點（3,0）,

對稱軸為直線x=l,有下列四個結論：①abc>0；②a-b+c=0；③y的最大值為3；④方

程?2+云+°+1=0有實數根.其中正確的為（將所有正確結論的序號都填入）.

解：???拋物線的開口向下，與y軸的交點在y軸的正半軸,

：.a<0,c>0,

???拋物線的對稱軸為直線下1,

/.--=1,BPb=-2?>0

2a

.,.abc<0,故①錯誤；

???拋物線與x軸的一個交點坐標為（3,0）,

根據對稱性，與x軸的另一個交點坐標為（-1,0）,

：.a-b+c=0,故②正確；

根據圖象，），是有最大值，但不一定是3,故③錯誤；

由ax2+bx+c+l=0得占+￡>x+c=-1>

根據圖象，拋物線與直線尸-1有交點，

,G?+H+C+1=0有實數根，故④正確，

綜上，正確的為②④，

故答案為：②④.

理解并熟練運用二次函數的圖象與性質，會利用數形結合思想解決問題是解答的關鍵。

例3、(2021,貴州遵義?中考真題)如圖，拋物線y=a(x-2)12+3*3為常數且存0)與y

軸交于點

A(0.1).

3

(1)求該拋物線的解析式；

2

(2)若直線(原0)與拋物線有兩個交點，交點的橫坐標分別為內，必當打2+幻2

=10時，求攵的值；

(3)當-4〈爛加時，y有最大值與，求機的值.

a(x-2『+3中,

4〃+3=一,

3

1

19

???拋物線的解析式為：y=--(x-2)'+3.

(2)聯立一次函數與拋物線的解析式得:

y="+|

y=_*_2y+3

-(x-2)2+3=—,

3V73

整理得：X2-(4-3A:)X-3=0,

/.xt+x2=4-3k,xlx2=-3,

Xi+X2=(%+%)-2中2=1°，

(4-3Z)2-2X(-3)=(4-3%)2+12>0,

*.*x]+X2=4-3k,x??X2=-3,

.'.XI2+X22=(4-3k)2+6=10,

2

解得：k1=2,k',

%=2,&=—,

123

（3）???函數的對稱軸為直線x=2,

4/w1

當mV2時，當x=m時，y有最大值，—（m-2）2+3,

解得m二土石，m=-5/5,

當mN時，當x=2時，y有最大值，

??----=3,

3

.9

..m=一,

4

Q

綜上所述，m的值為-布或：.

4

1、利用待定系數法求解拋物線的解析式，拋物線與X軸的交點坐標，一元二次方程根與系數的關系,

二次函數的增減性，掌握數形結合的方法與分類討論是解題的關鍵；

2、考前讓學生進行適度訓練此類題型對突破重點題是十分必要的。

經典變式練

一、單選題

1.（2021?四川德陽?中考真題）下列函數中，y隨x增大而增大的是（）

A.y--2xB.y--2x+3

2

C.y=—（x<0）D.y=-/+4x+3（x<2）

x

2.（2021?上海?中考真題）將拋物線>=以2+法+儀”H0）向下平移兩個單位，以下說法錯誤

的是（）

A.開口方向不變B.對稱軸不變C.y隨x的變化情況不變D.與y軸的交點

不變

3.（2021?江蘇連云港?中考真題）關于某個函數表達式，甲、乙、丙三位同學都正確地說出

了該函數的一個特征.

甲：函數圖像經過點

乙：函數圖像經過第四象限；

丙：當x>0時，y隨x的增大而增大.

則這個函數表達式可能是（）

A.y=~XB.y=-C.y=x2D.y=--

xx

4.（2021?浙江杭州?中考真題）已知%和內均是以x為自變量的函數，當》=，"時，函數值

分別為“I和若存在實數機，使得+“2=0,則稱函數*和y?具有性質產.以下函

數Yi和為具有性質產的是（）

A.丫|=Y+2x和必=-x-1B.y=x?+2x和=-%+1

C.必=-1和必=一》-1D.必=_［和力=_"+1

xx

5.（2021?四川涼山?中考真題）二次函數y=or2+fec+c（"0）的圖象如圖所示,則下列結論

中不正確的是（）

A.abc>0B.函數的最大值為a-b+c

C.當一3笑/1時一，y..OD.4a-2b+c<0

6.（2021.甘肅蘭州?中考真題）二次函數y=/+2x+2的圖象的對稱軸是（）

A.x=~\B.x=—2C.x=\D.x=2

二、填空題

7.（2020?江蘇淮安?中考真題）二次函數y=-f-2x+3的圖像的頂點坐標是

8.（2020?江蘇無錫?中考真題）請寫出一個函數表達式，使其圖象的對稱軸為了軸：

9.（2020.黑龍江穆棱?中考真題）將拋物線）=。-1）2—5關于y軸對稱，再向右平移3個單

位長度后頂點的坐標是.

10.（2020?四川雅安?中考真題）從-1,1,2,5中任取一數作為。，使拋物線

y=ax2+法+c的開口向上的概率為.

11.（2020?四川廣安?中考真題）已知二次函數y=a（x-3）2+c（a,c為常數,a<0）,當自

變量x分別取石，0,4時，所對應的函數值分別為M，丫2，%，則M，丫2，%的大小關

系為（用連接）.

2

12.（2020?廣西貴港?中考真題）如圖，對于拋物線必=-/+》+1,y2=-x+2x+l,

%=-V+3x+l,給出下列結論：①這三條拋物線都經過點C（0,l）；②拋物線力的對稱軸

可由拋物線H的對稱軸向右平移1個單位而得到；③這三條拋物線的頂點在同一條直線上;

④這三條拋物線與直線y=i的交點中，相鄰兩點之間的距離相等.其中正確結論的序號是

13.（2021?四川巴中?中考真題）y與x之間的函數關系可記為y=/（x）.例如：函數>=/

可記為/（x）=f.若對于自變量取值范圍內的任意一個X,都有/（-X）=/（x）,貝

是偶函數；若對于自變量取值范圍內的任意一個X,都有/（-x）=-/（x），則/（X）是奇

函數.例如：f（x）=/是偶函數，f（x）=1是奇函數.若/（x）=ax2+（“-5）x+l是偶

X

函數，則實數.

14.（2021.青海西寧?中考真題）從-；，-1,1,2,-5中任取一個數作為“，則拋物線

y=ax2+bx+c的開口向上的概率是.

三、解答題

15.（2020?黑龍江鶴崗?中考真題）如圖，已知二次函數'=-丁+（0+1?-。與x軸交于A、B

兩點（點A位于點B的左側），與y軸交于點C,已知ABAC的面積是6.

（1）求“的值；

（2）在拋物線上是否存在一點P,使5^^=S.c.存在請求出戶坐標，若不存在請說明理

由.

一、單選題

1.（2020.四川德陽?二模）在-2,0,1這三個數中任取兩數作為mn,則二次函數y=（x

-加）2+”的頂點在坐標軸上的概率為（）

A.-B.-C.-D.1

5332

2.（2020?江蘇徐州?二模）把拋物線y=x2-2x+4向左平移2個單位，再向下平移6個單位，

所得拋物線的頂點坐標是（）

A.（3,-3）B.（3,9）C.（-1,-3）D.（-1,9）

3.（2020?江蘇?蘇州市吳江區蘇州灣外國語學校模擬預測）二次函數、=以2+灰+%自變

量x與函數y的對應值如表：

X-5-4-3一2-10???

...40一2-204???

下列說法正確的是（）

A.拋物線的開口向下B.當x>-3時，y隨x的增大而增大

C.二次函數的最小值是-2D.拋物線的對稱軸是x=-|

4.（2020.福建師范大學附屬中學初中部模擬預測）已知拋物線），=4（*-婿+刈4工0）經過

以下三點：A（加一5,0）,8（加一3,4）、C（5-w,4）,其中加<4,下列說法正確的是（）

A.點B在點C的右邊B.?>0

C.&<4D.當x<0時，y隨X增大而增大

5.（2020.湖北梁子湖.二模）如圖，分別過點P￡n,0）（n為正整數）作x軸的垂線，交二次函

數丫=1/（X>0）的圖象于點An,交直線y=-gX（X>0）于點Bn,則+的

22gwa紇

值為（)

6.（2020?河南沁陽?模擬預測）如圖，在Rt0A5中，OA=AB,/。出=90。，點P從點。

沿邊04、A8勻速運動到點8,過點尸作PC,03交08于點C,線段AB=2&,OC=x,

$△麗=N，則能夠反映>與x之間函數關系的圖象大致是（）

7.（2020.四川仁壽.模擬預測）在平面直角坐標系中，對于二次函數y=（x-2）2-1,下

列說法中錯誤的是（）

A.圖形頂點坐標為（-2,-1）,對稱軸為直線x=2

B.當x<2時，y的值隨x的增大而減小

C.它的圖象可以由y=x2的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度得到

D.圖象與x軸的兩個交點之間的距離為2

二、填空題

8.（2020?江蘇姑蘇?一模）二次函數y=f-4x+7的頂點坐標為.

9.（2020.安徽滁州.模擬預測）拋物線丫=漢-m）（工-1）與x軸交于48兩點，與>,軸交于點C,

若ZACB為銳角，則m的取值范圍是.

10.（2020.江蘇新沂?三模）如圖，P是拋物線y=-W+3x+2在第一象限上的點，過P點分

別向x軸和y軸作垂線，垂足分別為A,B則四邊形OAPB周長的最大值_________.

IL(2020?山東周村?一模)如圖，過函數產加(?>0)圖象上的點3,分別向兩條坐標軸

An

引垂線，垂足分別為A,C.線段AC與拋物線的交點為O,則黑的值為

12.(2020.江蘇丹陽.模擬預測)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2(a>0)與y

=a(x-2)2的圖象交于點B,拋物線y=a(x-2)2交y軸于點E,過點B作x軸的平行

線與兩條拋物線分別交于C、D兩點，若點A是x軸上兩條拋物線頂點之間的一點，連結

AD,AC,EC,ED,則四邊形ACED的面積為.

13.(2020.吉林長春.模擬預測)如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A在x軸

正半軸上，頂點C在，軸正半軸上，若拋物線y=*x-l)2+k經過B,C兩點，則該拋物線

的最低點到邊BC的距離為.

14.(2020.浙江?模擬預測)記實數占住，中的最小值為minH.w},例如min{0,-l}=-1,

當X取任意實數時，則min{-x2+4,3x}的最大值為.

三、解答題

15.（2020?湖北武漢?一模）個體戶小陳新進一種時令水果，成本為20元/kg,經過市場調

研發現，這種商品在未來40天內的日銷售量機（kg）與時間「（天）的關系如下表：

時間，（天）1351036

日銷售量”（kg）9490867624

未來40天內，前20天每天的價格%（元/kg）與時間；（天）的函數關系式為必=；f+25

（14/420且，為整數），后20天每天的價格y?（元/kg）與時間（（天）的函數關系式為

%=-?+40（2141440且，為整數）.

（1）直接寫出，〃（kg）與，（天）之間的關系式；

（2）請預測未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？

（3）在實際銷售的前20天中，個體戶小陳決定每銷售1kg水果就捐贈a元利潤（。＜4且。為

整數）給貧困戶.通過銷售記錄發現，前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間3天）

的增大而增大，求前20天中個體戶小陳共捐贈給貧困戶多少錢？

16.（2020?陜西?三模）如圖，已知拋物線y=/-4與x軸交于點A,8（點A位于點B的左

側），C為頂點，直線y=x+機經過點A,與y軸交于點。.

（1）求線段AQ的長；

（2）平移該拋物線得到一條新拋物線，設新拋物線的頂點為CL若新拋物線經過點。，并

且新拋物線的頂點和原拋物線的頂點的連線CC平行于直線4。，求新拋物線對應的函數表

達式.

17.（2020?廣東斗門?二模）如圖，拋物線y=/+&v+c經過A（0,3）,B（4,3）兩點，

與x軸交于點E,F,以A8為邊作矩形ABCD,其中C。邊經過拋物線的項點M,點P是拋

物線上一動點（點尸不與點4,B重合），過點P作y軸的平行線1與直線48交于點G,與

直線8。交于點”，連接A尸交直線8。于點M

（1）求該拋物線的解析式以及頂點〃的坐標；

（2）當線段PH=2GH時，求點P的坐標；

（3）在拋物線上是否存在點尸，使得以點P,E,N,尸為頂點的四邊形是平行四邊形？若

一、單選題

1.（2021?山東濱州?中考真題）對于二次函數y=gx、6x+21,有以下結論：①當x>5時,

y隨x的增大而增大；②當x=6時，y有最小值3；③圖象與x軸有兩個交點；④圖象是由

拋物線y=向左平移6個單位長度，再向上平移3個單位長度得到的.其中結論正確的

個數為（)

A.1B.2C.3D.4

2.（2021.貴州畢節?中考真題）如圖,已如拋物線y=o?+b%+c開口向上,與x軸的一個交

點為對稱軸為直線x=l.下列結論錯誤的是（)

1\0

A.abc>0B.b2>4acC.4a+2b-hc>0D.2a+b=0

3.（2021.山東日照?中考真題）拋物線y=/+加+c（。工0）的對稱軸是直線j=-l,其圖象如

圖所示.下列結論：①成<0;②（4a+c）2<（?）2；③若G，yJ和（牛％）是拋物線上的兩

點，則當|司+1|>四+1|時，,<%；④拋物線的頂點坐標為（-1,加），則關于x的方程

這2+法+0=m-1無實數根.其中正確結論的個數是（）

4.（2021?內蒙古?中考真題）己知二次函數丫=數2+c（aw0）的圖象經過第一象限的點

（1,-力），則一次函數y=Zzx-ac的圖象不經過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.（2021?湖北鄂州?中考真題）二次函數￥=加+版+?中0）的圖象的一部分如圖所示.已知

圖象經過點（TO）,其對稱軸為直線x=l.下列結論：@abc<0；②而+?+c<0；

③8a+c<0；④若拋物線經過點（-3,〃），則關于x的一元二次方程G?+fer+c-〃=O（awO）

的兩根分別為-3,5,上述結論中正確結論的個數為（）

6.（2021?四川阿壩?中考真題）如圖，二次函數y=a（x+l）2+4的圖象與x軸交于&-3,0）,

B兩點，下列說法錯誤的是（）

B.圖象的對稱軸為直線x=-1

C.點B的坐標為（1,0）D.當x<0時，y隨x的增大而增大

7.（2020?四川南充?中考真題）如圖，正方形四個頂點的坐標依次為（1,1）,（3,1）,（3,

3）,（1,3）,若拋物線丫=2*2的圖象與正方形有公共頂點，則實數a的取值范圍是（）

A.-<?<3B.-<a<lC.-<a<3D.-<?<1

9933

二、填空題

8.（2021.山東淄博?中考真題）對于任意實數。，拋物線丫=/+2火+。+〃與x軸都有公共

點.則匕的取值范圍是.

9.（2021?山東荷澤?中考真題）定義：心,仇日為二次函數>=加+公+，（awO）的特征數,

下面給出特征數為［租,1-機,2-向的二次函數的一些結論：①當初=1時，函數圖象的對稱軸

是y軸；②當”1=2時，函數圖象過原點；③當，〃>0時，函數有最小值；④如果機<0,當

時，）隨工的增大而減小，其中所有正確結論的序號是.

10.（2020?黑龍江大慶?中考真題）已知關于X的一元二次方程/-2》-〃=0,有下列結論:

①當a>-1時，方程有兩個不相等的實根；

②當”>0時，方程不可能有兩個異號的實根；

③當。＞7時，方程的兩個實根不可能都小于1;

④當。＞3時，方程的兩個實根一個大于3,另一個小于3.

以上4個結論中，正確的個數為.

11.（2020?湖南岳陽?中考真題）在-3,-2,1,2,3五個數中隨機選取一個數作為二次函

數y=ox2+4x-2中。的值，則該二次函數圖象開口向上的概率是.

12.（2020?山東泰安?中考真題）已知二次函數丫=以2+法+。（a,6,c是常數，?^0）的V與

x的部分對應值如下表：

X-5-4-202

y60-6-46

下列結論：

①”＞0；

②當x=-2時，函數最小值為-6；

③若點（-8,%）,點（8%）在二次函數圖象上，則b＜必；

④方程o?+公+c=-5有兩個不相等的實數根.

其中，正確結論的序號是.（把所有正確結論的序號都填上）

13.（2020?江蘇無錫?中考真題）二次函數y=依2_3以+3的圖像過點4（6,0）,且與，軸交

于點B,點M在該拋物線的對稱軸上，若43M是以A8為直角邊的直角三角形，則點M的

坐標為.

14.（2020?貴州黔東南?中考真題）拋物線y=-+hx+c（存0）的部分圖象如圖所示，其與x

軸的一個交點坐標為（-3,0）,對稱軸為x=-l,則當），V0時，x的取值范圍是.

15.（2020?江蘇南京?中考真題）下列關于二次函數y=-（x-⑼2+布+1（機為常數）的結

論，①該函數的圖象與函數y=的圖象形狀相同；②該函數的圖象一定經過點（0,1）；③

當x＞0時，y隨x的增大而減小；④該函數的圖象的頂點在函數y=V+l的圖像上，其中

所有正確的結論序號是.

參考答案

1.D

【分析】一次函數當。>0時，函數值y總是隨自變量x增大而增大，反比例函數當我>0時，

在每一個象限內，y隨自變量x增大而增大，二次函數根據對稱軸及開Pl方向判斷增減性.

解：A.一次函數尸-2x中的斫-2<0,)，隨x的增大而減小，故不符合題意.

B.一次函數y=-2x+3中的a=-2V0,y隨自變量x增大而減小，故不符合題意.

2

C.反比例函數y=￡(x<0)中的上2>0,在第三象限，y隨x的增大而減小，故不符合題

x

意.

D.二次函數y=-/+4x+3(x<2),對稱軸X=-T-=2,開口向下，當x<2時，y隨x的增大

2a

而增大，故符合題意.

故選：D.

【點撥】本題考查了一次函數、反比例函數、二次函數的增減性；熟練掌握一次函數、二次

函數、反比例函數的性質是關鍵.

2.D

【分析】根據二次函數的平移特點即可求解.

解：將拋物線>向下平移兩個單位，開口方向不變、對稱軸不變、故y

隨x的變化情況不變；與y軸的交點改變

故選D.

【點撥】此題主要考查二次函數的函數與圖象，解題的關鍵是熟知二次函數圖象平移的特點.

3.D

【分析】根據所給函數的性質逐一判斷即可.

解：人對于y=-x,當4-I時，產1,故函數圖像經過點(-□)：函數圖象經過二、四象限；

當x>0時，)，隨x的增大而減小.故選項A不符合題意；

及對于y=L當4-1時，尸-1,故函數圖像不經過點(-U);函數圖象分布在一、三象限；

X

當x>0時，y隨x的增大而減小.故選項B不符合題意；

C對于y=f,當戶」時，產1,故函數圖像經過點(-1,1)；函數圖象分布在一、二象限；

當x>0時1y隨x的增大而增大.故選項C不符合題意；

D時于y=—L,當4一］時，y=1,故函數圖像經過點函數圖象經過二、四象限；當

X

x>0時，y隨x的增大而增大.故選項。符合題意；

故選：D

【點撥】本題考查的是一次函數、二次函數以及反比例函數的性質，熟知相關函數的性質是

解答此題的關鍵.

4.A

【分析】根據題中所給定義及一元二次方程根的判別式可直接進行排除選項.

解：當犬=利時，函數值分別為必和若存在實數m,使得必+加2=0,

對丁?A選項則有加+%一i=o,由一元二次方程根的判別式可得：〃-4a=1+4=5>0,

所以存在實數，％故符合題意；

對于B選項則有加+加+1=0,由一元二次方程根的判別式可得：b2-4ac=1-4=-3<0,

所以不存在實數"7,故不符合題意；

2

對于C選項則有-工-m-1=0,化簡得：m+m+l=0,由一元二次方程根的判別式可得:

m

b2-4ac=]-4=-3<0,所以不存在實數"?，故不符合題意；

對于D選項則有-,-，"+1=0,化簡得：4一機+]=0,由一元二次方程根的判別式可得:

m

62-4?C=1-4=-3<0,所以不存在實數故不符合題意；

故選A.

【點撥】本題主要考查一元二次方程根的判別式、二次函數與反比例函數的性質，熟練掌握

一元二次方程根的判別式、二次函數與反比例函數的性質是解題的關鍵.

5.D

【分析】根據拋物線開口方向、拋物線的對稱軸位置和拋物線與y軸的交點位置可判斷〃、

氏C的符號，利用拋物線的對稱性可得到拋物線與X軸的另一個交點坐標為（-3,0）,從而

分別判斷各選項.

解：???拋物線開口向下，

：.a<0,

:拋物線的對稱軸為直線4-1,

-^-=-1,EPb=2a,則6V0,

2a

???拋物線與y軸交于正半軸，

?*.c>0,

則“6c>0,故A正確；

當x=-l時，y取最大值為a—6+c,故BE確；

由于開口向上，對稱軸為直線k-1,

則點（1,0）關于直線A-1對稱的點為（-3,0）,

即拋物線與X軸交于(1,0),(-3,0),

...當一34x41時，故C正確；

由圖像可知:當4-2時，y>0,

即y=4a-2b+c>0,故D錯誤；

故選D.

【點撥】本題考查了二次函數與系數的關系：對于二次函數)=加+法+。(a/0),二次項系

數。決定拋物線的開口方向和大小：當”>0時，拋物線向上開口；拋物線向下開口；一次

項系數人和二次項系數”共同決定對稱軸的位置：當。與人同號時,(即必>0),對稱軸在y

軸左；當〃與從異號時(即疑〈0),對稱軸在y軸右.常數項c決定拋物線與y軸交點：

拋物線與)■軸交于(0,c).

6.A

【分析】將二次函數y=*2+2x+2寫成頂點式，進而可得對稱軸.

解：y=x2+2x+2=(x+l)2+l.

???二次函數〉=/+2》+2的圖象的對稱軸是》=-1.

故選A.

【點撥】本題考查了二次函數的性質，將一般式轉化為頂點式是解題的關鍵.

7.(-1,4)

【分析】把二次函數解析式配方轉化為頂點式解析式，即可得到頂點坐標.

解：*/y=-x1-2x+3=-(x+1)2+4,

二頂點坐標為(-1,4).

故答案為(-1.4).

【點撥】本題考查了二次函數的性質，把解析式配方寫成頂點式解析式是解題的關鍵.

8.y=d(答案不唯一)

【分析】根據二次函數的圖象和性質，對稱軸為>軸，即b=0,寫出滿足條件的函數解析

式即可.

解：設函數的表達式為y=ax2+bx+c,

???圖象的對稱軸為y軸，

h

；?對稱軸為x=———=0,

2a

.?.b=0,

???滿足條件的函數可以是：y=x'(答案不唯一)

故答案是：y=x?(答案不唯一)

【點撥】本題考查二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵.

9.(2,-5)

【分析】先求出拋物線的頂點坐標，再根據題意進行變換即可求解.

解：拋物線），=（x-l）2—5的頂點為（1,-5）,

關于），軸對稱的坐標為（-1,-5）,再向右平移3個單位長度后的坐標為（2,-5）,

故答案為：（2,-5）.

【點撥】此題主要考查拋物線頂點，解題的關鍵是熟知二次函數頂點式的特點.

10.-

5

【分析】使拋物線y=ax?+bx+c的開口向上的條件是a>0,據此從所列5個數中找到符合此

條件的結果，再利用概率公式求解可得.

解：在所列的5個數中任取一個數有5種等可能結果，其中使拋物線y=ax2+bx+c的開口向

上的有3種結果，

3

，使拋物線y=ax2+bx+c的開口向上的概率為g,

3

故答案為：—.

【點撥】本題考查概率公式的計算，根據題意正確列出概率公式是解題的關鍵.

11.%。3VM

【分析】根據題意可得該二次函數圖象的開口向下，對稱軸為直線x=3,從而得出當x<3

時，y隨x的增大而增大，點（4,%）關于對稱軸直線x=3的對稱點為（2,丫3），然后比

較橫坐標的大小即可得出結論.

解：,二次函數y=a（x-3）2+c（a,c為常數，a<0）,

該二次函數圖象的開口向下，對稱軸為直線x=3

...當x<3時，y隨x的增大而增大，點（4,%）關于對稱軸直線x=3的對稱點為（2,力）

V0<2<75<3

<y3Vx

故答案為：為<為<%.

【點撥】此題考查的是二次函數圖象的性質，掌握拋物線對稱軸兩側的增減性的判斷方法是

解題關鍵.

12.①②④

【分析】根據拋物線圖象性質及配方法解題.

2

解：將C（o,l）分別代入拋物線必=-x?+X+1,y2=-x+2x+\,%=-/+3x+l中，可知，

這三條拋物線都經過點C,故①正確；

拋物線X=--+欠+1的對稱軸為》=--、=:，

—22

33A1

拋物線必=-/+3x+l的對稱軸為x=-q=：,可由x=:向右平移1個單位而得到，

故②正確；

拋物線y=—x2+x+i=—(x——)2+?的頂點為A(；,：)

2424

拋物線為=-f+2x+1=-(x-評+2的頂點為B(1,2)

拋物線%=—丁+3%+1=—a—§)2的頂點為c(-A)

5_213_5

k-4____2k--4___4_2

AL』_1-2，AC_3_J__2

5一2~2

-Z/W。后AC

???三條拋物線的頂點不在同一條直線上，故③錯誤；

將y=l分別代入三條拋物線，得x=o或I,9=0或2,尢3=0或3,

可知，相鄰兩點之間的距離相等，故④正確，

綜上所述，正確的是①②④，

故選：①②④.

【點撥】本題考查二次函數的性質，其中涉及將一般式化為頂點式等知識，是重要考點，難

度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

13.5

【分析】由/,(X)=加+(q-5)x+1是偶函數，得。(?)2+(a-5)?(-X)+1=加+(公5)

x+l,解得4=5.

解：?.了(x)二加+(a-5)x+1是偶函數，

，對于自變量取值范圍內的任意一個X,都有了(-1)=/(x),即a(-x)2+(a-5)?(-x)+l=a/+

(4-5)x+1,

(10-2a)x=0,可知10-267=0,

67=5,

故答案為：5.

【點撥】本題考查新定義：偶函數與奇函數，解題的關鍵是理解偶函數定義，列出〃(-x)

2+(a-5)?(-x)+l=ar2+(a-5)x+1.

14.-

5

【分析】根據概率計算公式，可得事件總的可能結果數5,事件發生的可能結果數2,問題

即可解決.

解：從5個數中任取一個的可能結果數為5,使拋物線^=以2+灰+0,的開口向上的。值有2

2

個，分別為1和2,則所求的概率為不；

2

故答案為：—.

【點撥】本題考查了簡單事件的概率的計算，二次函數的性質，求出事件總的可能結果數及

事件發生的可能結果數是關鍵.

15.(1)a=-3；(2)存在，P點的坐標為(-2⑶或(一1+6,—3)或(-1-夕，-3).

【分析】(1)根據求出A,B,C的坐標，再由ABAC的面積是6得到關于a的方程即可求解；

(2)根據SMBP=SM8c得到尸點的縱坐標為±3,分別代入解析式即可求解.

解：(1)Vy=-x2+(a+l)x-a,

令x=o,則y=-〃，

C(0,—a),

令y=0,即一%2+(4+1次-0=0

解得七=4，%2=1

由圖象知：

???4(a,0),8(1,0)

^MBC=6

=6

解得：。=-3,(〃=4舍去)；

(2)???。=一3,

???C(0,3),

"S^BP=^^ABC?

???P點的縱坐標為±3,

把尸3代入y=-/一2工+3得一V一2工+3=3,

解得工=()或x=-2,

把丁=-3代入y=—/一2x+3得一/-2工+3=—3,

解得x=-i+>/7或x=-i-S,

???P點的坐標為(々3)或(_1+b,_3)或(_1_77,-3).

【點撥】此題主要考查二次函數的圖像與性質，解題的關鍵是熟知待定系數法的應用.

1.C

【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果以及坐標軸上的點

的情況，再利用概率公式即可求得答案.

解：根據題意畫圖如下：

AAA

o1-21-20

在-2,0,1這三個數中任取兩數作為m,〃，一共有6種可能，其中取到0的有4種可能,

則頂點在坐標軸上的概率為?4=；2：

63

故選：C.

【點撥】此題考查了樹狀圖法求概率.樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要

注意此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之

比.同時考查了二次函數性質，掌握以上知識是解題的關鍵.

2.C

【分析】先得到拋物線y=x2-2x+4的頂點坐標為（1,3）,則把點（1,3）向左平移2個

單位，再向下平移6個單位后得到（-1,-3）.

解：?.■拋物線y=x2-2x+4=（x-1）2+3,

頂點坐標為（I,3）,

把點（1,3）向左平移2個單位，再向下平移6個單位得到（-1,-3）.

故選：C.

【點撥】本題考查了二次函數圖象與幾何變換：把拋物線y=a（x-k）2+h平移的問題轉化為

拋物線的頂點（k,h）平移問題進行解決.

3.D

解：將點1,0）、（-1,0）、（0,4）代入到二次函數y=ar2+w+c中，

0=16。-46+ca=1

得：＜0=a-b+c解得，■6=5,所以二次函數的解析式為y=/+5x+4.

4=cc=4

因為〃=1>0,拋物線開口向上，所以A不正確：又-3=二，當時，y隨x的增

2a22

大而增大，所以B不正確；因為y=x2+5x+4=（x+￡|二次函數的最小值是

所以C不正確；因為-=h=-5彳，拋物線的對稱軸是x=-=5,D正確.故選D.

2a22

4.D

【分析】利用對稱性得到拋物線對稱軸為直線x=l,根據點的坐標確定開口向下，最大值大

于4,根據二次函數的性質即可判斷正確選項.

解：：拋物線y=a（x-h）2+k（a'O）經過A（機一5,0）,8（m一3,4）、C（5-機4）其中相<4,

.,.點B在點C的左邊，故A錯誤；

.??拋物線的開口向下，對稱軸為直線x=m-3；5—m=[,即a〈o,h=1,故B錯誤；

"."m<4,/.m—3<1,5—m>1

當x=l時，y=k>4,故C錯誤；

Vx=l為拋物線的對稱軸，且拋物線開口向K

當x<l時，y隨x的增大而增大，故D正確.

故選：D.

【點撥】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌

握二次函數的性質是解題的關鍵.

5.A

【分析】根據題意寫出An、Bn的坐標，然后可得到從而

然后進行計算即可.

解：由題意可知An、Pn、Bn的橫坐標相同,

VPn(n,0),

??Bn(n,一彳〃)，A(n—n),

2nt，

故選：A.

【點撥】本題考查了二次函數和一次函數圖象上點的坐標，代數式的化簡，得出

6.D

【分析】分兩種情況:①當P點在OA上時，即04x42時；②當P點在AB上時，即2<x44

時，求出這兩種情況卜.的PC長，則yuaPQOC的函數式可用x表示出來，對照選項即可

判斷.

解：???△AOB是等腰直角三角形，AB=2O,

??.OB=4.

①當P點在OA上時，即04x42時，

PC=OC=x,SAi?oc=y=yPC?OC=x2,

是開口向上的拋物線，當x=2時，y=2；

②當P點在AB上時，即2VxM4時,

OC=x,貝i」BC=4-x,PC=BC=4—x,

SAPOC=y=yPC?OC=^x(4-x)=-^x2+2x,

是開口向下的拋物線，當x=4時，y=0.

綜上所述，D答案符合運動過程中y與x的函數關系式.

故選：D.

【點撥】本題主要考查了動點問題的函數圖象，涉及的知識有：等腰直角三角形的判定和性

質，二次函數的圖象和性質，解決這類問題要先進行全面分析，根據圖形變化特征或動點運

動的背景變化進行分類討論，然后動中找靜，寫出對應的函數式.

7.A

【分析】根據拋物線圖象的性質和特點即可求解.

解：A.圖形頂點坐標為(2,-I),對稱軸為直線x=2,故A錯誤，符合題意；

B.拋物線開口向上，故當xV2時，y的值隨x的增大而減小，正確，不符合題意；

C.y=x2的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度得到丫=(x-2)2-1,

故C正確，不符合題意；

D.令丫=(x-2)2-1=0,解得：x=l或3,故圖象與x軸的兩個交點之間的距離為2正

確，不符合題意；

故選：A.

【點撥】考核知識點：頂點式二次函數性質.掌握頂點式二次函數性質和圖象特點是關鍵.

8.(2,3)

【分析】直接把二次函數的解析式整理為頂點式即可解答.

解：y=x2-4x+7=（x-2）2+3

故答案為:（2,3）

【點撥】此題主要考查二次函數的頂點坐標，熟練掌握把二次函數的一般式整理成頂點式是

解題關鍵.

9.m<-1或，〃>0且

【分析】先求出點A及B、C的坐標，再分兩種情況討論：當點A、B在原點兩側時、利用

/ACB是直角求出m=-l,即可得到m<-l；當點A、B在原點同側時，NACB始終是銳角，

得到m>0且aw1.

解：令》=（工一機）@一1）中丫=0,得到占="，x2=1,

???點A的坐標為（m,0）,點B的坐標為（1,0）,

當x=0時，y=m,

.,.點C的坐標為（0,m）,

當點A、B在原點兩側時，如圖，若/ACB=90。，

VOA=OC,

ZACO=45°,

；.NBCO=45。，

OC=OB=1,即m=-l,

...當m<-l時，NACB是銳角；

當點A、B在原點同側時，NACB是銳角，此時m>0,

當m=l時，，拋物線與x軸只有一個交點，故

的取值范圍是加<-1或〃?>0且1.

【點撥】此題考查拋物線與坐標軸的交點，等腰直角三角形的性質，二次函數的性質，解題

中注意分類討論是思想，避免漏解.

10.12

【分析】設點P的坐標為（x,y）,x>0,y>0,根據四邊形OAPB的周長得到：

C=-2（X-2）2+12,再由二次函數的性質可得最大值.

解：設點P的坐標為（x,y）,x>0,y>0

由題意可知：四邊形OAPB的周長C=OA+AP+8P+8O=2x+2y

C=2x+2（—+3x+2）=—2廠+8x+4=—2（x—2）~+12

???當x=2時，C有最大值12

故答案為：12.

【點撥】本題考查二次函數的最值及二次函數的圖像上點的坐標特征，最后根據二次函數的

性質求最值是解題的關鍵.

II,

2

【分析】過D作DH_Ly軸于H,設B（x},ax；）,D（x2，渥）,利用相似三角形的性質求得知的

關系可得答案.

解：過D作DH，y軸于H,

則DH//OC,

MDH^AACO,

ADDHAH

,AC_OC-AO*

設B(x?ax；),D(X2),

AD_-x2_cuq-or；

...------=-------=---------—

AC-x{ax~

-)3

,,-3，

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/.x；-XyX2_x；=0,

,Xj<x2<0,

1+75

x\~~2-X?，

AD一匹x,2V5-1

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