專題06相似三角形中的基本模型--半角模型相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。相似三角形與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1.半角模型（相似模型）【常見模型及結論】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且∠EAF＝45°結論：如圖1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；圖1圖2結論：如圖2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；結論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4結論：如圖4，△BME∽△AMN∽△DFN.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型圖1圖2條件：如圖1，已知∠BAC＝90°，；結論：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③（）（2）含60°半角模型條件：如圖1，已知∠BAC＝120°，；結論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）例1．（2023·山西·九年級校考期中）如圖，在正方形中，點、分別是、邊上的兩點，且，、分別交于、．下列結論：①；②平分；③；④．其中正確的結論是（

）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．①②③④例2．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E，F分別在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，則DF的長是．例3．（2023·廣東·九年級專題練習）如圖，已知中，，，點在邊上，．(1)求證：；(2)當，時，求的長．例4．（2023·廣東·九年級專題練習）如圖，中，，，點為邊上的點，點為線段上一點，且，，，則的長為．例5．（2023·遼寧沈陽·統考二模）在菱形中，．點，分別在邊，上，且．連接，．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）平分交于點．①如圖2，交于點，點是的中點，當時，求的長．②如圖3，是的中點，點是線段上一動點（點與點，點不重合）．當，時，是否存在直線將分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1∶3．若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．例6．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，正方形中，交于點交于點，分別交于，連接．求證：；求的值；若正方形的邊長為5，，求的長．例7．（2023·廣東佛山·九年級校考階段練習）正方形，、分別在邊、上（不與端點重合），，與交于點．(1)如圖①，若平分，直接寫出線段，，之間等量關系；(2)如圖②，若不平分，(1)中線段，，之間等量關系還成立嗎？若成立請證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖③，矩形，，．點、分別在邊，上，，，求的長度．課后專項訓練1．（2022春·浙江紹興·九年級校考階段練習）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC，DC上，AE、AF分別交BD于點M、N，連接CN、EN，且CN=EN．下列結論：①AN=EN，AN⊥EN；②BE+DF=EF；③∠DFE=2∠AMN；④；⑤圖中有4對相似三角形．其中正確結論個數是（

）A．5 B．4 C．3 D．22．如圖，在矩形紙片ABCD中，點E、F分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE、CF折疊，點B落在H處，點D落在G處，點C、H、G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長是（）A．2 B． C． D．33．如圖，等腰直角三角形，D?E是上的兩點，且，過D?E分別作、，垂足分別為M、N，、交于點F，連接、．以下四個結論：①四邊形是正方形；②；③；④當時，．其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2022·安徽·校聯考一模）如圖，正方形ABCD邊長為2，BM、DN分別是正方形的兩個外角的平分線，點P，Q分別是平分線BM、DN上的點，且滿足∠PAQ＝45°，連接PQ、PC、CQ．則下列結論：①BP?DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2022·河南安陽·統考一模）如圖，在中，，D，E是斜邊上兩點，且，將繞點A順時針旋轉后，得到，連接，下列結論：①平分；②；③；④點C轉至點B經過的弧長為，正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2023·山東·統考一模）如圖，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設BE=m，CD=n．下列結論：（1）圖中有三對相似而不全等的三角形；（2）m?n=2；（3）BD2+CE2=DE2；（4）△ABD≌△ACE；（5）DF=AE．其中正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個7．（2023·廣東東莞·校考模擬預測）如圖，正方形中，點，分別在邊，上，且，分別交，于點，，以點為圓心，長為半徑畫．下列結論不正確的是(

)A． B． C．與相切 D．8．（2022·福建福州·校考模擬預測）如圖，在正方形中，點，在上且，，延長交于點，延長交于點，連接．下列結論：①點為的中點，②，③，④，其中正確結論的序號是．（寫出所有正確結論的序號）

9．如圖，已知△PMN是等邊三角形，∠APB=120．求證：AM·PB=PN·AP10．已知：如圖邊長為2的正方形ABCD中，∠MAN的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且∠MAN＝45°①求證：MN＝BM+DN；②若AM、AN交對角線BD于E、F兩點．設BF＝y，DE＝x，求y與x的函數關系式．11．（2023上海市中考數學二模試題）已知：Rt△ABC斜邊AB上點D，E，滿足∠DCE＝45°．(1)如圖1，當AC＝1，，且點D與A重合時，求線段BE的長.(2)如圖2，當△ABC是等腰直角三角形時，求證：AD2+BE2＝DE2.(3)如圖3，當AC＝3，BC＝4時，設AD＝x，BE＝y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域．12．（2023江蘇九年級期末）已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF．設CE=a，CF=b．（1）如圖1，當∠EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；（2）當△AEF是直角三角形時，求a、b的值；（3）如圖3，探索∠EAF繞點A旋轉的過程中a、b滿足的關系式，并說明理由．13．（2023江蘇中考數學一模）（1）如圖①，在正方形中，E，F分別是，邊上的動點，且，將繞點D逆時針旋轉，得到，可以證明，進一步推出，，之間的數量關系為；（2）在圖①中，連接分別交和于P，Q兩點，求證：；（3）如圖②，在菱形中，，點E，F分別是邊，上的動點（不與端點重合），且，連接分別與邊，交于M，N．當時，猜想，，之間存在什么樣的數量關系，并證明你的結論．

14．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第三中學校考期中）在正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．(1)若點G在邊CB的延長線上，且BG＝DF，（如圖①），求證：△AEG≌△AEF；(2)若直線EF與AB，AD的延長線分別交于點M，N（如圖②），求證：；(3)將正方形改為長與寬不相等的矩形（如圖③），∠EAF＝∠CEF＝45°，BE＝4，DF＝1，請你直接寫出△CEF的面積．15．（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習）【問題發現與證明】如圖①，正方形中，分別在邊、上，且，連接，這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的分析思路．例如圖中與可以看作繞點A旋轉的關系．這可以證明結論“”，請補充輔助線