中難提分突破特訓(xùn)(四)1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其面積S＝b2sinA.(1)求eq\f(c,b)的值；(2)設(shè)內(nèi)角A的平分線AD交BC于D，AD＝eq\f(2\r(3),3)，a＝eq\r(3)，求b.解(1)由S＝eq\f(1,2)bcsinA＝b2sinA，可知c＝2b，即eq\f(c,b)＝2.(2)由角平分線定理可知，BD＝eq\f(2\r(3),3)，CD＝eq\f(\r(3),3)，在△ABC中，cosB＝eq\f(4b2＋3－b2,2·2b·\r(3))，在△ABD中，cosB＝eq\f(4b2＋\f(4,3)－\f(4,3),2·2b·\f(2\r(3),3))，即eq\f(4b2＋3－b2,2·2b·\r(3))＝eq\f(4b2＋\f(4,3)－\f(4,3),2·2b·\f(2\r(3),3))，解得b＝1.2．現(xiàn)代社會(huì)，“鼠標(biāo)手”已成為常見病，一次實(shí)驗(yàn)中，10名實(shí)驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行160分鐘的連續(xù)鼠標(biāo)點(diǎn)擊游戲，每位實(shí)驗(yàn)對(duì)象完成的游戲關(guān)卡一樣，鼠標(biāo)點(diǎn)擊頻率平均為180次/分鐘，實(shí)驗(yàn)研究人員測試了實(shí)驗(yàn)對(duì)象使用鼠標(biāo)前后的握力變化，前臂表面肌電頻率(sEMG)等指標(biāo)．(1)10名實(shí)驗(yàn)對(duì)象實(shí)驗(yàn)前、后握力(單位：N)測試結(jié)果如下：實(shí)驗(yàn)前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376實(shí)驗(yàn)后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成下列莖葉圖，并計(jì)算實(shí)驗(yàn)后握力平均值比實(shí)驗(yàn)前握力的平均值下降了多少N?(2)實(shí)驗(yàn)過程中測得時(shí)間t(分)與10名實(shí)驗(yàn)對(duì)象前臂表面肌電頻率(sEMG)的中位數(shù)y(Hz)的9組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(t，y)為(0,87)，(20,84)，(40,86)，(60,79)，(80,78)，(100,78)，(120,76)，(140,77)，(160,75)．建立y關(guān)于時(shí)間t的線性回歸方程；(3)若肌肉肌電水平顯著下降，提示肌肉明顯進(jìn)入疲勞狀態(tài)，根據(jù)(2)中9組數(shù)據(jù)分析，使用鼠標(biāo)多少分鐘就該進(jìn)行休息了？參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(9),\s\do4(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝－1800；參考公式：回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).解(1)根據(jù)題意得到莖葉圖如下圖所示，由圖中數(shù)據(jù)可得eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,10)×(346＋357＋358＋360＋362＋362＋364＋372＋373＋376)＝363，eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(1,10)×(313＋321＋322＋324＋330＋332＋334＋343＋350＋361)＝333，∴eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－))2＝363－333＝30(N)，∴故實(shí)驗(yàn)前后握力的平均值下降了30N.(2)由題意得eq\x\to(t)＝eq\f(1,9)×(0＋20＋40＋60＋80＋100＋120＋140＋160)＝80，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,9)×(87＋84＋86＋79＋78＋78＋76＋77＋75)＝80，eq\o(∑,\s\up6(9),\s\do4(i＝1))(ti－eq\x\to(t))2＝(0－80)2＋(20－80)2＋(40－80)2＋(60－80)2＋(80－80)2＋(100－80)2＋(120－80)2＋(140－80)2＋(160－80)2＝24000，又eq\o(∑,\s\up6(9),\s\do4(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝－1800，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(9),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(9),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2)＝eq\f(－1800,24000)＝－0.075，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝80－(－0.075)×80＝86，∴y關(guān)于時(shí)間t的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.075t＋86.(3)9組數(shù)據(jù)中40分鐘到60分鐘y的下降幅度最大，提示60分鐘時(shí)肌肉已經(jīng)進(jìn)入疲勞狀態(tài)，故使用鼠標(biāo)60分鐘就該休息了．3．如圖，四棱錐P－ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝eq\f(π,2)，AB＝AD＝eq\f(1,2)CD＝2，PD＝PB＝eq\r(6)，PD⊥BC.(1)求證：平面PBD⊥平面PBC；(2)在線段PC上是否存在點(diǎn)M，使得平面ABM與平面PBD所成銳二面角為eq\f(π,3)？若存在，求eq\f(CM,CP)的值；若不存在，說明理由．解(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形，且AB∥DC，AB＝AD＝2，∠ADC＝eq\f(π,2)，所以BD＝2eq\r(2)，又因?yàn)镃D＝4，∠BDC＝eq\f(π,4).根據(jù)余弦定理得BC＝2eq\r(2)，所以CD2＝BD2＋BC2，故BC⊥BD.又因?yàn)锽C⊥PD，PD∩BD＝D，且BD，PD?平面PBD，所以BC⊥平面PBD，又因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD.(2)由(1)得平面ABCD⊥平面PBD，設(shè)E為BD的中點(diǎn)，連接PE，因?yàn)镻B＝PD＝eq\r(6)，所以PE⊥BD，PE＝2，又因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD＝BD，所以PE⊥平面ABCD.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，Eeq\o(P,\s\up6(→))的方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2，0,0)，P(1,1,2)，假設(shè)存在M(a，b，c)滿足要求，設(shè)eq\f(CM,CP)＝λ(0≤λ≤1)，即eq\o(CM,\s\up6(→))＝λeq\o(CP,\s\up6(→))，(a－2，b－4，c)＝λ(－1，－3,2)，得a＝2－λ，b＝4－3λ，c＝2λ，則M(2－λ，4－3λ，2λ)，易得平面PBD的一個(gè)法向量為eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2,2,0)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABM的一個(gè)法向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(2－λ，4－3λ，2λ)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AM,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＝0，,2－λx＋4－3λy＋2λz＝0，))不妨取n＝(2λ，0，λ－2)．因?yàn)槠矫鍼BD與平面ABM所成的銳二面角為eq\f(π,3)，所以|cos〈Beq\o(C,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|4λ|,2\r(2)×\r(4λ2＋λ－22))＝eq\f(1,2)，解得λ＝eq\f(2,3)，λ＝－2(不符合題意，舍去)．故存在點(diǎn)M滿足條件，且eq\f(CM,CP)＝eq\f(2,3).4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t－1，,y＝－4t－2))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f(2,1－cosθ).(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)M1是曲線C1上的點(diǎn)，M2是曲線C2上的點(diǎn)，求|M1M2|的最小值．解(1)∵ρ＝eq\f(2,1－cosθ)，∴ρ－ρcosθ＝2，即ρ＝ρcosθ＋2.∵x＝ρcosθ，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋y2＝(x＋2)2，化簡得y2－4x－4＝0.∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2－4x－4＝0.(2)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t－1，,y＝－4t－2，))∴2x＋y＋4＝0.∴曲線C1的普通方程為2x＋y＋4＝0，表示直線2x＋y＋4＝0.∵M(jìn)1是曲線C1上的點(diǎn)，M2是曲線C2上的點(diǎn)，∴|M1M2|的最小值等于點(diǎn)M2到直線2x＋y＋4＝0的距離的最小值．不妨設(shè)M2(r2－1,2r)，點(diǎn)M2到直線2x＋y＋4＝0的距離為d，則d＝eq\f(2|r2＋r＋1|,\r(5))＝eq\f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r＋\f(1,2)))2＋\f(3,4))),\r(5))≥eq\f(3,2\r(5))＝eq\f(3\r(5),10)，當(dāng)且僅當(dāng)r＝－eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．∴|M1M2|的最小值為eq\f(3\r(5),10).5．已知函數(shù)f(x)＝|x－1|.(1)求不等式f(2x)－f(x＋1)≥2的解集；(2)若a>0，b>0且a＋b＝f(3)，求證：eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋1)≤2eq\r(2).解(1)因?yàn)閒(x)＝|x－1|，所以f(2x)－f(x＋1)＝|2x－1|－|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x，x≤0，,1－3x，0<x<\f(1,2)，,x－1，x≥\f(1,2)，))由f(2x)－f(x＋1)≥2得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,1－x≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)，,1－3x≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)，,x－1≥2.))解得x≤－1或x∈?或x≥3，所