2023年全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題（A卷）

考試時(shí)間：2023年10月17日8：00—9：20

一、填空題（本題滿分64分，每小題8分）

1.函數(shù)/（x）=V^?-j24-3x的值域是.

2.已知函數(shù)y=（?cos2x-3）sinx的最小值為一3，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

3.雙曲線/-丁=i的右半支與直線》=]00圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)（縱橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

的個(gè)數(shù)是.

4.已知｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，｛瓦｝是等比數(shù)列,其中q=3,4=1,=與，且存在常數(shù)

a,p使得對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n都有an=logab?+/3,則a+尸=.

5.函數(shù)/（x）=/'+3優(yōu)-2（a>0,awl）在區(qū)間1,1]上的最大值為8,則它在這個(gè)區(qū)間上的最小值

是.

6.兩人輪番投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個(gè)使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.

先投擲人的獲勝概率為.

7.正三棱柱ABC-AfG的9條棱長(zhǎng)都相等，P是C&的中點(diǎn)，二面角B—-=a，則

sina=.

8.方程x+y+z=2010滿意xWyWz的正整數(shù)解（x,y,z）的個(gè)數(shù)是.

二、解答題（本題滿分56分）

9.（本小題滿分16分）已知函數(shù)/（x）=a?+版2+“+d（a聲0）,當(dāng)owxwi時(shí)，|尸（九）區(qū)1,試求a的

最大值.

10.體小題滿分20分）已知拋物線=6x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A（X1,y）和網(wǎng)芍,%），其中工產(chǎn)々且%+馬=4.

線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C,求4ABC面積的最大值.

11.（本小題滿分20分）證明：方程2丁+5》-2=0恰有一個(gè)實(shí)根r,且存在唯一的嚴(yán)格遞增正整數(shù)列｛4｝,

使得.

2023年全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題（A卷）

考試時(shí)間：2023年10月17日9：40—12：10

一、（本題滿分40分）

如圖，銳角三角形ABC的外心為。，K是邊上一點(diǎn)（不是邊的中點(diǎn)），。是線段AK延長(zhǎng)

線上一點(diǎn)，直線區(qū)D與AC交于點(diǎn)N,直線與A8交于點(diǎn)求證：若OKLMN,則。四

點(diǎn)共圓.

二、（本題滿分40分）

設(shè)攵是給定的正整數(shù)，.記/⑴⑺=f（r）=rfr]J⑺⑺=/（/…⑺）,/22.證明：存在正整數(shù)m,

使得了""（r）為一個(gè)整數(shù).這里，「x]表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù)，例如.

三、（本題滿分50分）

給定整數(shù)">2,設(shè)正實(shí)數(shù)4，4「”“滿意見(jiàn)<1,%=1,2,,〃，記

q+%++akIIn

4A：，左=1,2,,n.

k

求證：.

四、（本題滿分50分）

一種密碼鎖的密碼設(shè)置是在正〃邊形44A“的每個(gè)頂點(diǎn)處賦值。和1兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)，同時(shí)在每

個(gè)頂點(diǎn)處涂染紅、藍(lán)兩種顏色之一，使得隨意相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字或顏色中至少有一個(gè)相同.問(wèn)：這

種密碼鎖共有多少種不同的密碼設(shè)置.

2023年全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽

一試試題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

說(shuō)明：

L評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)8分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格根據(jù)本評(píng)分標(biāo)

準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不要增加其他中間檔次。

2.假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔

次評(píng)分，解答題中第9小題4分為一個(gè)檔次，第10、11小題5分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次。

l.[-3,V3].

3.9800.4.3+%.

5.一一

4

8.336675.

易知了⑴的定義域是[5,8],且八工)在[5,8]上是增函數(shù)，從而可知,f(x)的值域?yàn)閇?3,6].

2.

令sin%=3則原函數(shù)化為g(f)=(-af2+4-3”,即

g(t)=-atf+(a-3>)t.

由-a73+(a_3)fN-3,

-at(t2-1)-3(/-7)>0,

(M)(-ar(f+1)-3)20及。一1<0知

-a/(z+l)-3<0Bpa(t2+t)>-3.(1)

當(dāng)r=0,-1時(shí)(1)總成立：

對(duì)0<f41,0〈產(chǎn)+/W2；

1,

對(duì)一1<t<0,一—<t+t<0.

從而可知

由對(duì)稱(chēng)性知，只需先考慮x軸上方的狀況，設(shè)丁=左(左=1,2,,99)與雙曲線右半支交于點(diǎn)兒,與直

線x=100交于點(diǎn)瓦，則線段&紇內(nèi)部的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為99-左，從而在x軸上方區(qū)域內(nèi)部整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

又x軸上有98個(gè)整點(diǎn)，

貝所求整點(diǎn)個(gè)數(shù)為2x49x99+98=9800.

設(shè){%的公差為d,{b?的公比為q,則

3+d=q,(1)

3(3+4d)=q2,(2)

(1)代入(2)得

9+12d=[2+6d+9,求得d=6,q=9.

從而有3+6(〃-1)=log。9"T+0對(duì)一切正整數(shù)n都成立，

即6〃—3=(〃—1)log。9+Z?對(duì)一切正整數(shù)n都成立。

AlliJlog09=6,-3=-logo9+/?,

求得。=好，0=3,。+—=%+3.

5.

令/=y,則原函數(shù)化為g(y)=y2+3y-2,g(^S(-$+oo)上是遞增的,

當(dāng)0<a<l時(shí)，yG[a,a-1],

g(y)max=，+3aT-2=8=>qT=2=>a=g,

所以g(y)min=W)2+3xg—2=一；；

當(dāng)Q>1時(shí)，yE[a~\a]f

g())max=/+3。-2=8na=2,

所以g(y)min=2-2+3x2T-2=-j

綜上/(x)在xe[-1,1]上的最小值為-L

4

6.

同時(shí)投擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6的概率為，從而先投擲人的獲勝概率為

12

-17,

7.

解一：如圖，以AB所在直線為x軸，線段4B中點(diǎn)。為原點(diǎn)，0C所在直線為y軸，建立空間直角坐

標(biāo)系。設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2,則B(1,0,0),以(1,0,2),At(-1,0,2),尸(0,百，1),

從而，

麗=(-2,0,2),麗=(-1,國(guó))，然=(-2,0,0)麗=(-1,杈-1).

設(shè)分別與平面BAR、平面BIAIP垂直的向量是

m=(xi,yi,zl),n=(x2,y2,z2),則

m-BA^=-2玉+2Z[=0,

<

m-BP=-x1+Z]=0,

n-4A=-2X=0,

<2

n?B[P=—%2+A/3%—Z1-0,

由此可設(shè)m=(1,0,1),?=(0,1,V3),

所以/"?〃=〃？?3COS

/7

即V3=V2-2|coso\=>|coso\=.

所以.

解二：如圖PC=PC},PAy=PB.

設(shè)A8與A片交與點(diǎn)0,則

OA^OB,OA=OB,,A,BLAB.,

因?yàn)镽4=24，所以PO±ABX,

從而_L平面

過(guò)0在平面PA}B上作OE±A{P,垂足為E.

連接與￡則NgEO為二面角8-AP-4的平面角.

設(shè)AA=2,則易求得

PB=PA}=有,％O=BQ=近,PO=后.

在直角A/MQ中，A,OPO^AtPOE,

即日芯=5OE,：.OE=^.

V5

4V5

又BQ=C.,：.B1E=JBQ'+OE，

5

sinO=sin/81EO=^=^^=亞.

B】E45/54

5

8.首先易知x+y+z=2023的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為=2023x1004.

把x+y+z=2023滿意x<yWz的正整數(shù)解分為三類(lèi)：

(l)x,y,z均相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)明顯為1；

(2)x,y,z中有且僅有2個(gè)相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，易知為1003；

(3)設(shè)x,y,z兩兩均不相等的正整數(shù)解為k

易知1+3x1003+6七2023x1004,

6)1=2023x1004-3x1003-1

=2023x1005-2024+3x2-1=2023x1005-2024,

k=1003x335-334=335671.

從而滿意x<y<z的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為

1+1003+335671=336675.

二、解答題

9.

解一：f'(x)=3ax2+2hx+c,

由得(4分)

3?=2/'(0)+2/'(1)-4/'(1).(8分)

所以洞=2八0)+2八1)-4嗎

<2|/1(0)|+2|/,(1)|+4/'(i)

<8,

(12分)

又易知當(dāng)/(幻=：/-4/+》+/〃(機(jī)為常數(shù))滿意題設(shè)條件，所以a的最大值為：.(16分)

解二：

f'(x)=3ax之+2bx+c,

設(shè)g*)=f'(x)+1,則當(dāng)0<x<1時(shí),0<g(x)<2.

7-1-1

設(shè)z=2x-1,貝！Jx=-----

2

，/、/Z+l、3。23Q+2〃3a..’八、

〃(z)=g(-----)=—zH-----------zH------F力+c+l?(4分)

2424

簡(jiǎn)單知道當(dāng)一1<z<1時(shí),0<h(z)<2,0<h(-z)<2.(8分)

從而當(dāng)一1Wz?1時(shí),0.2,

2

即。〈旦2+物+0+C+1W2,

44

從而

由（12分）

QQ

又易知當(dāng)/（幻=?/一4無(wú)2+無(wú)+加（機(jī)為常數(shù)）滿意題設(shè)條件，所以〃最大值為（16分）

10.

解一：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為則

演尸=2，yo=，

尤2一%A_A%+yX)

66

線段AB的垂直平分線的方程是

y-yo=-^-(x-2).(1)

易知k5,）=0是（1）的一個(gè)解，所以線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)C為定點(diǎn)，且

點(diǎn)C坐標(biāo)為（5,0）.（5分）

由（1）知直線AB的方程為

3

y-yo=-(x^2),即—(y->'o)+2.(2)

%3

(2)代入)2=6x得

y2=2yo(>,-),o)+12,即y2-2yoy+2yo2-12=0.(3)

依題意，W是方程(3)的兩個(gè)實(shí)根，且9去V，所以

&4)『-4(2yo2-l2)=-4yo2+48>O,

-2V3<yo<2V3.

|Am—々)2+(3一%)2

=，(1+等乂(%+%)2—4y%]

=J(l+1)(4乂-4(2"2))

定點(diǎn)C(5,0)到線段AB的距離

22

h^\CM\=7(5-2)+(O-yo)=M*.(10分)

S庫(kù)BC=g|ABp/z=；J(9+y；)(12-y；).j9+y；

=1g（9+y；）（24-2y：）（9+y；）

]卜9+y；+24-2y；+9+$3

（15分）

當(dāng)且僅當(dāng)9+y；=24必，>BPy0=±V5,A（如普，有+J7）,或

人嚴(yán)后，（V5+V7））,時(shí)等號(hào)成立.

所以?xún)H8c面積的最大值為（20分）

解二：同解一，線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)C為定點(diǎn)，且點(diǎn)C坐標(biāo)為（5,0）.

設(shè)為=彳，X2=t],八>及，r；+f；=4,則（5分）

SMBC=的肯定值，（10分）

S2MBe=（-（5-\/6f]+-5-\/6/2））-

3

=/（4-2//2）（格+5）（，也+5）

SMBC<（15分）

當(dāng)且僅當(dāng)&72）2二伍+5且4=4,

即，，或

一（6+產(chǎn)q+近））,時(shí)等號(hào)成立.

所以A18C面積的最大值為（20分）

11.

證明：令TUA"+SxN,則/'（x）=6/+5>0,所以1x）是嚴(yán)格遞增的.又

.*0）=吃<0,>0,故K0有唯一實(shí)數(shù)根（5分）

所以2戶(hù)+"-2=0,

=什/+/+/。+..?

故數(shù)列斯=3""2（"=1,2,???）是滿意題設(shè)要求的數(shù)列.（10分）

若存在兩個(gè)不同的正整數(shù)數(shù)列％<的<???</<…和仿<與<???<”<…滿意

9

ra'+產(chǎn)+產(chǎn)+...=蘆+產(chǎn)+*+...=*,

5

去掉上面等式兩邊相同的項(xiàng)，有

rs,+產(chǎn)+rs>+r'2+r'）+

這里SI<52<S3<??,,h<f2<f3<,??，全部的$與看都是不同的.（15分）

不妨設(shè)Sl<f”則

/,<+/2+r，2+...,

1</'T'+/2f-+…〈r+/+…=J——1<—^―-1=1,沖突.

I-1-1

2

故滿意題設(shè)的數(shù)列是唯一的.（20分）

2023年全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽

加試試題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

說(shuō)明：

1.評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)嚴(yán)格根據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分。

2.假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔

次評(píng)分，10分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次。

證明：用反證法.若4,B,D,C不四點(diǎn)共圓，設(shè)

三角形ABC的外接圓與A。交于點(diǎn)E,連接BE并延長(zhǎng)交

直線AN于點(diǎn)。，連接CE并延長(zhǎng)交直線4M于點(diǎn)P,連接

PQ-

因?yàn)镻K2=P的幕（關(guān)于。O）+K的基（關(guān)于。O）

=（PO^-r）+（/CO2-r）,

同理。蜉=（eO2-r）+（KO2-r）,

所以PO^-P^QO^-QK1,

故OKLPQ.（10分）

由題設(shè)，OK1MN,所以PQ〃MN,于是

@

由梅內(nèi)勞斯（Menelaus）定理，得

②

③

由①，②，③可得

（30分）

所以，故叢DMNs/\DCB,于是NDMN=NDCB,所以BC〃MM故0K_L3C,即K為2c的中點(diǎn)，沖

突！從而A,BQ,C四點(diǎn)共圓.（40分）

注1：“PK2=尸的幕（關(guān)于。O）+K的幕（關(guān)于。。）”的證明：延長(zhǎng)PK至點(diǎn)F,使

得

PKKF=AKKE,④

則P,E,F,A四點(diǎn)共圓，故

NPFE=NB\E=NBCE,

從而E,C,F,K四點(diǎn)共圓，于是

PKPF^PEPC,⑤

⑤-④，得PK2=PEPC^KKE

=尸的嘉（關(guān)于。O）+K的基（關(guān)于。。）.

注2：若點(diǎn)E在線段AO的延長(zhǎng)線上，完全類(lèi)似.

—、

證明：記匕（〃）表示正整數(shù)〃所含的2的幕次。則當(dāng)相力2伏）+1時(shí)，F(xiàn)M⑺為整數(shù).

下面我們對(duì)以k）=V用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)廠0時(shí)，出為奇數(shù)，Z+1為偶數(shù)，此時(shí)用"）=（2+；），+；=]%+；）%+1）為整數(shù).（10分）

假設(shè)命題對(duì)vT（v2l）成立.

對(duì)于設(shè)％的二進(jìn)制表示具有形式

v+lv+2

k^2''+av+l-2+av+2-2+-,

這里，。,=0或者1,i=v+l,v+2,….（20分）

于是角■)=[+；「+(=(攵+g卜+1)

21

=]+2'T+(Q，+i+1)-2'+(￡71)+1+。、，+2)?2,+'+...+2+...

①

VV2v

這里k'=2-'+?7V+1+1)-2+(%+q+2).2川+...+2+....明顯〃中所含的2的幕次

為u-1.故由歸納假設(shè)知，經(jīng)過(guò)了的v次迭代得到整數(shù)，由①知，是一個(gè)整數(shù)，這就完成了

歸納證明.（40分）

證明：由0<441知，對(duì)1WZW九一1,有

,.（10分）

留意到當(dāng)x,y>0時(shí)，有<max{x,y},于是對(duì)1W攵<〃一1,有

（30分）

故之4-之人=研,一￡4

k=lk=lk=\

,一!

=z（4-闋

i=l*=1

（50分）

四、

解：對(duì)于該種密碼鎖的一種密碼設(shè)置，假如相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上所賦值的數(shù)字不同，在它們所在的邊上標(biāo)

上。，假如顏色不同，則標(biāo)上從假如數(shù)字和顏色都相同