第四節(jié)平面向量應(yīng)用舉例[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2016·山西忻州一中月考)設(shè)P為等邊三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),滿(mǎn)足+2,若AB=1,則的值為 ()A.4 B.3 C.2 D.11.B【解析】=()()=·()+=(+2)·(+2)-(+2)·()+=2+2CA·=2×12+2×1×1×=3.2.(2015·遼寧五校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若平面上的三個(gè)不共線的向量滿(mǎn)足=a1+a2014,且A,B,C三點(diǎn)共線,則S2014= ()A.1007 B.1006 C.2012 D.20142.A【解析】因?yàn)?a1+a2014,又A,B,C三點(diǎn)共線,所以a1+a2014=1,所以S2014=×2014=1007.3.(2016·銀川一中月考)在△ABC中,AB=2,AC=4.P是△ABC的外心,數(shù)量積等于 ()A.6 B.-6 C.3 D.-33.A【解析】設(shè)AB,AC邊的中點(diǎn)分別為D,E,由·()==||×||-||×||=|2-|2=8-2=6.4.(2016·浙江余姚中學(xué)開(kāi)學(xué)考試)已知直線y=2(x-1)與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M(-1,m),若=0,則實(shí)數(shù)m= ()A.0 B. C. D.4.C【解析】由題可得?8x2-20x+8=0,解得x=2或x=,則A(2,2),B,由=0可得(3,2-m)=0,化簡(jiǎn)得2m2-2m+1=0,解得m=.5.(2016·哈爾濱六中月考)已知a=(-1,1),=a-b,=a+b,若△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則△OAB的面積是 ()A.1 B. C.2 D.45.C【解析】由題可知||=||,即有|a-b|=|a+b|,即a·b=0,得a⊥b,由a=(-1,1)可知|a|=,因?yàn)?a2-b2=0,所以|b|=|a|,故||=||=2,S=×OA×OB=×2×2=2.6.(2016·江西吉安一中月考)在△ABC中,點(diǎn)D滿(mǎn)足,點(diǎn)E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若=λ+μ,則t=(λ-1)2+μ2的最小值是 ()A. B. C. D.6.C【解析】如圖所示,點(diǎn)E在線段AD上,所在存在實(shí)數(shù)k,使得=k,0≤k≤1,由,得=k()=k,所以因此由t=(λ-1)2+μ2,得t=k2=k-2+,因此當(dāng)k=時(shí),t取最小值.7.(2015·張掖診斷)已知F1(-c,0),F2(c,0)是橢圓=1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上的一點(diǎn),且=c2,則橢圓的離心率的取值范圍為 ()A. B. C. D.7.D【解析】設(shè)P(x0,y0),則=1,所以=b2,又因?yàn)?c2,即有(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=c2,整理得-c2+=c2,從而有+b2=2c2,即(3c2-a2),0≤≤a2,所以0≤(3c2-a2)≤a2,求得≤e≤.二、填空題(每小題2分,共10分)8.(2016·宿遷調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x2+y2-6x+5=0,點(diǎn)A,B在圓C上,且AB=2,則||的最大值是.

8.8【解析】由題可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)M(x',y'),所以x'=,y'=,所以=(x1+x2,y1+y2)=2,圓C:x2+y2-6x+5=0的圓心為(3,0),半徑CA為2,又因?yàn)辄c(diǎn)A,B在圓C上,且AB=2,所以CA2-CM2=,故CM=1,即點(diǎn)M在以C為圓心,1為半徑的圓上,所以||max=4,所以||max=2||max=8.9.已知向量i和j為互相垂直的單位向量,向量a=i-2j,b=i+λj,a與b的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.

9.(-∞,-2)∪【解析】∵0<<a,b><,∴0<cos<a,b><1,∴0<<1,即0<<1,解得λ<且λ≠-2,∴λ的取值范圍是(-∞,-2)∪.三、解答題(共10分)10.(10分)(2016·河南中原名校聯(lián)考)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知向量m=(cosA,cosB),n=(a,2c-b),且m∥n.(1)求角A的大小;(2)若a=4,求△ABC面積的最大值.10.【解析】(1)因?yàn)閙∥n,所以acosB-(2c-b)cosA=0,由正弦定理得sinAcosB-(2sinC-sinB)cosA=0,所以sinAcosB-2sinCcosA+sinBcosA=0,即sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA,所以sin(A+B)=2sinCcosA.又A+B+C=π,所以sinC=2sinCcosA,因?yàn)?<C<π,所以sinC>0,所以cosA=,又0<A<π,所以A=.(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以16=b2+c2-bc≥bc,所以bc≤16,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí),上式取“=”,所以△ABC面積為S=bcsinA≤4,所以△ABC面積的最大值為4.[高考沖關(guān)]1.(5分)(2015·江蘇蘇州中學(xué)期初考試)在△ABC中,過(guò)中線AD中點(diǎn)E任作一直線分別交邊AB,AC于M,N兩點(diǎn),設(shè)=x=y(x,y≠0),則4x+y的最小值是()A. B. C. D.31.C【解析】由題知)==,由于三點(diǎn)M,E,N共線,所以有=1,因此4x+y=(4x+y),由題可知x>0,y>0,所以4x+y=+2,當(dāng)且僅當(dāng)y=2x時(shí)有最小值,故最小值為.2.(5分)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為雙曲線上任一點(diǎn),且最小值的取值范圍是,則該雙曲線的離心率的取值范圍為 ()A.(1,) B.[,2] C.(1,] D.[2,+∞)2.B【解析】設(shè)P(m,n),則=1,即有m2=a2,又設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),即=(-m-c,-n),=(c-m,-n),則=n2+m2-c2=n2+a2-c2=n2+a2-c2≥a2-c2(當(dāng)n=0時(shí)取得等號(hào)).則有最小值為a2-c2.由題意可得-c2≤a2-c2≤-c2,即有c2≤a2≤c2,即c≤a≤c,則有≤e≤2.3.(5分)已知|a|=2|b|≠0,且關(guān)于x的方程x2+|a|x+a·b=0有實(shí)根,則a與b的夾角的取值范圍是 ()A. B. C. D.3.B【解析】|a|=2|b|≠0,且關(guān)于x的方程x2+|a|x+a·b=0有實(shí)根,則|a|2-4a·b≥0,即a·b≤,設(shè)向量a·b的夾角為θ,cosθ=,∴θ∈.4.(5分)(2015·上海閔行區(qū)二模)如圖,已知點(diǎn)P(2,0),且正方形ABCD內(nèi)接于☉O:x2+y2=1,M,N分別為邊AB,BC的中點(diǎn).當(dāng)正方形ABCD繞圓心O旋轉(zhuǎn)時(shí),的取值范圍為.

4.[-]【解析】設(shè)M,∵,∴=0,所以N=-sinα·cosα-2+sinαcosα=sinα.因?yàn)閟inα∈[-1,1],所以sinα∈[-],即∈[-],故的取值范圍為[-].5.(10分)(2016·江西高安二中月考)已知a=2sinx,cosx-+1,b=,設(shè)f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;(2)在△ABC中,a,b,c分別為A,B,C的對(duì)邊,且a=2,b=,f(A)=1,求邊c.5.【解析】(1)f(x)=a·b=2sinxcosx+2cos2-1=sin2x+cos(2x-π)=sin2x-c