2023年高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.小張家訂了一份報紙，送報人可能在早上6:30-7:30之間把報送到小張家，小張離開家去工作的時間在早上

7.00-8:0（）之間.用A表示事件：“小張在離開家前能得到報紙”，設送報人到達的時間為x,小張離開家的時間為y,

（x，y）看成平面中的點，則用幾何概型的公式得到事件A的概率P（A）等于（）

523

A.-B.-c.一D.2

8558

2.已知等差數列{q}的前〃項和為S“，,

4=7，S3-=9,則《0=()

A.25B.32C.35D.40

3.已知集合人={0,1},B={0,1,2},則滿足AUC=B的集合C的個數為（）

A.4B.3C.2D.1

4.若i為虛數單位，網格紙上小正方形的邊長為1,圖中復平面內點Z表示復數*則表示復數口的點是（）

y

?--「十一一1

1??11

r-p-f---I-1-1

r■■

iiiQ11.

111111

-4-4

卜十卡-111

L-4---4-4-4

111111

L-4--i-------4--4-4

A.EB.FC.GD.H

5.設P={yb=—/+i,x￡R},Q={y\y=2x,x€R},貝()

A.PQQB.QQP

C.CRP^QD.QQCRP

6.要得到函數/(x)=sin(3x+g)的導函數/(x)的圖像，只需將/(x)的圖像()

A.向右平移？個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍

B.向右平移弓個單位長度，再把各點的縱坐標縮短到原來的1倍

JT1

C.向左平移9個單位長度，再把各點的縱坐標縮短到原來的三倍

D.向左平移?個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍

O

7.如圖，在AABC中，點。是8C的中點，過點。的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,N,若麗=根印法,

AC^nAN>貝！1利+”=()

3

A.1B.-C.2D.3

2

8.若復數z=(37)(l+i),則同=()

A.2V2B.2亞c.V10D.20

9.設a,/?為兩個平面，則a〃//的充要條件是

A.a內有無數條直線與“平行

B.a內有兩條相交直線與《平行

C.?,/?平行于同一條直線

D.a,“垂直于同一平面

10.某工廠利用隨機數表示對生產的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001,002,

599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數表的第4行到第6行:

32211831297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

若從表中第6行第6列開始向右讀取數據，則得到的第6個樣本編號是()

A.324B.522C.535D.578

11.復數息的虛部是()

1+21

?1-1C.1D.-1

TC

12.若，是第二象限角且sin，=一,則tan(6+—)=

134

177177

A.——B.——C.—D.——

717717

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知/(x)=sin[|(x+1)—6cos[|(x+1)],則/(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)=

14.某學校高一、高二、高三年級的學生人數之比為5:5:4,現按年級采用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高

三年級為12人，則抽取的樣本容量為人.

15.(x+l)(x—2)6展開式中/的系數為.

16.已知數列｛%｝是各項均為正數的等比數列，若%-々=5,則%+84的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在數列｛%｝中,已知4=1,S.nan+I=(n+l)an+3n(n+l),n&N*.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)設2=△~~L,數列也｝的前〃項和為T.，證明：-<?；,<-.

anan+\4J

18.(12分)已知數列｛4｝滿足丁二+白￡+丁三+…+一￡=

2a1-52al-52%-52an-53

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)設數列」一的前〃項和為7；,證明：Tn<-.

164+J6

x=2>/2+2/

19.(12分)在直角坐標系xO)，中，直線/的參數方程為《廣。為參數)，以。為極點，x軸的正半軸為極

y=｛2T

軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為夕=2sin8.

(1)求/的普通方程和C的直角坐標方程；

(2)把曲線G向下平移1個單位，然后各點橫坐標變為原來的2倍得到曲線C?(縱坐標不變)，設點尸是曲線G上

的一個動點，求它到直線/的距離的最小值.

20.(12分)在直角坐標系xOy中，曲線G的參數方程為｛.c.(e為參數)，"為G上的動點，P點滿

y-2+2sina

足。戶=20麻，點P的軌跡為曲線

(I)求G的方程;

TT

(II)在以。為極點，X軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線。=§與G的異于極點的交點為A，與C2的異于極

點的交點為8,求|A6|.

21.(12分)如圖，在三棱錐P—ABC中，平面Q4C_L平面ABC,AB=BC,PA上PC.點E，F,。分別為線

段Q4,PB,AC的中點，點G是線段CO的中點.

B

(1)求證：PA_L平面自3。.

(2)判斷尸G與平面所0的位置關系，并證明.

22.(10分)已知函數f(x)=x+a(l-e'),aeR.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)當時，證明：f(x)-a\na+a<l.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

這是幾何概型，畫出圖形，利用面積比即可求解.

【詳解】

解：事件A發生，需滿足即事件A應位于五邊形3CDEE內

,111

1——X—X—r

P（A）=——-~-~~-=-

J18

故選：D

【點睛】

考查幾何概型，是基礎題.

2.C

【解析】

設出等差數列{a,,}的首項和公差，即可根據題意列出兩個方程，求出通項公式，從而求得％。.

【詳解】

設等差數列{q}的首項為4,公差為。，則

久=4+2d=7_

區=3%+3d=9'解得q=.W=4,...%=4"-5,W^0=4x10-5=35.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查等差數列的通項公式的求法和應用，涉及等差數列的前〃項和公式的應用，屬于容易題.

3.A

【解析】

由ADC=5可確定集合。中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.

【詳解】

由AuC=6可知集合C中一定有元素2,所以符合要求的集合C有{2},{2,0},{2,1},{2,0,1},共4種情況，所以選

A項.

【點睛】

考查集合并集運算，屬于簡單題.

4.C

【解析】

由于在復平面內點Z的坐標為(-1,1),所以z=-1+i,然后將z=-l+i代入一化簡后可找到其對應的點.

Z

【詳解】

由z=-l+i,所以」=".=i(一1一，)=1一，,對應點G.

z—1+i

故選：C

【點睛】

此題考查的是復數與復平面內點的對就關系，復數的運算，屬于基礎題.

5.C

【解析】

解：因為P={y[y=-x2+1,x￡R}={y|y<1},Q={y|y=2x,x￡R}={y|y>0},因此選C

6.D

【解析】

先求得f(x)，再根據三角函數圖像變換的知識，選出正確選項.

【詳解】

依題意/(x)=3cos3xd?—=3cos

于(x)=sin(3x+1)向左平移弓個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍得到/(X)的圖像.

故選：D

【點睛】

本小題主要考查復合函數導數的計算，考查誘導公式，考查三角函數圖像變換，屬于基礎題.

7.C

【解析】

連接A。，因為。為中點，可由平行四邊形法則得布=；(通+恁)，再將其用初，麗表示.由M、0、N

mn

三點共線可知，其表達式中的系數和一+—=1,即可求出機+〃的值.

22

【詳解】

連接A。，由。為6c中點可得，

AO=~(AB+AC)=—AM+-AN,

222

。、N三點共線,

mn,

=1

22

m+n=2.

故選：C.

【點睛】

本題考查了向量的線性運算，由三點共線求參數的問題，熟記向量的共線定理是關鍵.屬于基礎題.

8.B

【解析】

化簡得到z=(3—i)(l+i)=4+2i,再計算模長得到答案.

【詳解】

z=(3-z)(l+z)=4+2z,故國=同=2方.

故選：B.

【點睛】

本題考查了復數的運算，復數的模，意在考查學生的計算能力.

9.B

【解析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養，利用面面平行的判定定理與性質

定理即可作出判斷.

【詳解】

由面面平行的判定定理知：a內兩條相交直線都與夕平行是&//，的充分條件，由面面平行性質定理知，若二//用，

則a內任意一條直線都與夕平行，所以a內兩條相交直線都與夕平行是二///的必要條件，故選B.

【點睛】

面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若

aua,buB，al1b,則a/此類的錯誤.

10.D

【解析】

因為要對600個零件進行編號，所以編號必須是三位數，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數據，大于600的,

重復出現的舍去，直至得到第六個編號.

【詳解】

從第6行第6列開始向右讀取數據，編號內的數據依次為：

436,535,577,348,522,535,578,324,577,…，因為535重復出現，所以符合要求的數據依次為

436,535,577,348,522,578,324,…，故第6個數據為578.選D.

【點睛】

本題考查了隨機數表表的應用，正確掌握隨機數表法的使用方法是解題的關鍵.

11.C

【解析】

5z5/(1-2z)10+5/汽.5i

因為丁丁=兀一^77^=一丁=2+，，所以丁下的虛部是1，故選C.

l+2z(l+2z)(l-2z)51+21

12.B

【解析】

10/____________cc12

由。是第二象限角且sin〃=一知：cos6=—Jl—sb?*——,tan6=----

13135

7Ttan0+tan4507

所以"R

1一tan。tan45°17

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.百

【解析】

TT

化簡得,f(x)=2sin§x,利用周期即可求出答案.

【詳解】

解：/(x)=sin[?(x+l)]—6cos=2sinyx,

...函數的最小正周期為6,

.-./(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

/./(1)+/(2)+/(3)+...+/(2020)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=百，

故答案為：V3.

【點睛】

本題主要考查三角函數的性質的應用，屬于基礎題.

14.42

【解析】

根據分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論.

【詳解】

設抽取的樣本為〃，

45+5+4

則由題意得一一,解得〃=42.

12n

故答案為：42

【點睛】

本題考查了分層抽樣的知識，算出抽樣比是解題的關鍵，屬于基礎題.

15.48

【解析】

變換(x+l)(x—2)6=x(x—2『+(x—2)6,根據二項式定理計算得到答案.

【詳解】

666

(X—2)6的展開式的通項為：加=C；產「.(_2丫，(X+1)(X-2)=X(X-2)+(X-2),

取r=5和r=4,計算得到系數為：C^(-2)5+C^-(-2)4=48.

故答案為：48.

【點睛】

本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力和應用能力.

16.40

【解析】

設等比數列｛%｝的公比為4,根據4-4=5,可得4=一~^，因為

%+8。，=。應3+84悶=_^一^=5^-1+—+2，根據均值不等式，即可求得答案.

q-iI-7-1)

【詳解】

設等比數列｛a,,｝的公比為4,

,/%一。2=5,

5

4=

q(q-D

??,等比數列｛4｝的各項為正數,

q>\9

(,、5年+8)

/+8%+8)=—

(9)

=54-1+--4-2>40,當且僅當q—1=3,

Iq—i)

即q=4時，%+8%取得最小值40.

故答案為：40.

【點睛】

本題主要考查了求數列值的最值問題，解題關鍵是掌握等比數列通項公式和靈活使用均值不等式，考查了分析能力和

計算能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

3

17.(1)an=3M-2n；(2)見解析.

【解析】

（1）由已知變形得到也-5=3,從而｛巴｝是等差數列，然后利用等差數列的通項公式計算即可;

n+lnn

（2）先求出數列｛2｝的通項，再利用裂項相消法求出7“即可.

【詳解】

（1）由已知，—=%+3,即烏&―%=3,又a=1,則數列｛3｝是以1為首項3

n+1nn+ln1n

為公差的等差數列，所以組=1+（〃—l）x3=3〃-2,即為=3〃2—2〃.

n

+1

(2)因為q="(3〃-2),則“

a?an+\(3n-2)(3n+l)33/1-23〃+1

所以小扣-；）+（；-；）+…+（七--高）《又

口一二二｝是遞增數列，所以7；27；=，，綜上，\<Tn<\.

3n+l443

【點睛】

本題考查由遞推公式求數列通項公式、裂項相消法求數列的和，考查學生的計算能力，是一道基礎題.

18.(1)(2)見解析.

2

【解析】

n.nS],〃=1

(1)令"=在=，利用dh〃〉,可求得數列｛%｝的通項公式，由此可得出數列｛??｝的通

.5“-S“T，

項公式;

1_41

(2)求得利用裂項相消法求得7,，進而可得出結論.

33〃+53(〃+1)+5

【詳解】

nn

⑴令s，，=5,3t/'

當“22時，”=S“-S“T=]-?=；；

17〃13〃+5

當〃=1時，則2=75>故%=---;

32^-532

1_________4__________4_J__________]

anan+i(3〃+5)[3(〃+1)+5]33〃+53(〃+1)+5

(_J_________1>+(_J_________+(_J________________]'

13x1+53x2+5J(3x2+53x3+5J3x/i+53(〃+l)+5,

411I411

383(n+l)+5j386

【點睛】

本題考查利用S“求通項，同時也考查了裂項相消法求和，考查計算能力與推理能力，屬于基礎題.

2^/10

19.(1)/:x+2y-4&=0,C：x2+(y-l)2=1;

5

【解析】

(1)在直線/的參數方程中消去參數/可得出直線/的普通方程，在曲線G的極坐標方程兩邊同時乘以「得

"=2夕sin。，進而可化簡得出曲線C的直角坐標方程；

?2

(2)根據變換得出G的普通方程為、+丁=1,可設點尸的坐標為(2cos8,sin8),利用點到直線的距離公式結合

正弦函數的有界性可得出結果.

【詳解】

X-2&+ItX-2V2r-

(1)由，廣。為參數），得^―%?=-2,化簡得x+2y-4/=0,

y=yJ2-ty_.2

故直線I的普通方程為x+2y-40=O.

由/7=2sin9,得0?=22sin，，Xp2=x2+y2,x=°cos6,y=psin0.

所以G的直角坐標方程為-+(y-i)2=1;

(2)由(1)得曲線G的直角坐標方程為x2+(y-l)2=l,向下平移1個單位得到x?+y2=i,

縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍得到曲線C的方程為三+V=1,

4

x=2cose

所以曲線。2的參數方程為.八(6為參數).

y=sm0

故點P到直線/的距離為|2cos6+2sin。-4閥_20sm(e+/-4及，

忑=忑

當。=彳時，4最小為名叵.

45

【點睛】

本題考查曲線的參數方程、極坐標方程與普通方程的相互轉化，同時也考查了利用橢圓的參數方程解決點到直線的距

離最值的求解，考查計算能力，屬于中等題.

20.(I){，，.(a為參數)；(II)2G

y=4+4sma

【解析】

x—2x

(I)設點P(x,y),"(內,x),貝"丫=2；’代入化簡得到答案.

77

(II)分別計算G，Q的極坐標方程為。=4sin。，夕=8sin6,取代入計算得到答案.

【詳解】

(I)設點P(x,y),M(X［，x),0戶=20必，故(J，

x=4cosa

故C)的參數方程為：\.(。為參數).

y=4a+a4sina

x=2cosa今.

(D)cc?，故X+y-4y=0,極坐標方程為：〃=4sine；

[y=2+2sina

x=4coscc

C2:\,故d+y2_8y=0,極坐標方程為：夕=8sind.

[y=4+4sina

6=5，故月=4sin(=26,p2=8siny=4A/3,故=忱—勾=26.

【點睛】

本題考查了參數方程，極坐標方程，弦長，意在考查學生的計算能力和轉化能力.