平面向量的數(shù)量積

我們學(xué)過功的概念，即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）θFS力F所做的功W可用下式計算

W=|F||S|cosθ其中θ是F與S的夾角

從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。問題向量的夾角

兩個非零向量

和，作，

與

反向OABOA

與

同向OABB則叫做向量

和

的夾角．記作與

垂直，OAB注意:兩向量的夾角義中,兩向量必須是同起點的注意:兩向量的夾角的范圍是[00,1800]例1、如圖，等邊三角形中，求（1）AB與AC的夾角；（2）AB與BC的夾角。ABC

通過平移變成共起點！

已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

a·b=|a||b|cosθ定義注意：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量。規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.注意：（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號一般由cos

的符號所決定；（2）兩個向量的數(shù)量積應(yīng)寫成a

b；書寫時符號“·

”

不應(yīng)省略，也不能用“×”代替.

向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負(fù)？思考：a·b=|a||b|cosθ當(dāng)0°≤θ＜

90°時a·b為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時a·b為負(fù)。當(dāng)θ=90°時a·b為零。1．平面向量數(shù)量積的符號：

物理上力所做的功實際上是將力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF，過點B作垂直于直線OA，垂足為，則|b|cosθOABabOABab|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．θ為銳角時，|b|cosθ＞0θ為鈍角時，|b|cosθ＜0θ為直角時，|b|cosθ=0BOAab2.向量數(shù)量積的幾何意義投影的概念：|b|cos

叫做向量b在a方向上的投影思考：當(dāng)

＝0或

＝π時投影為？

3、數(shù)量積的幾何意義：4、數(shù)量積的物理意義：5、數(shù)量積的主要性質(zhì)內(nèi)積為零是判定兩向量垂直的充要條件用于計算向量的模3.用于計算向量的夾角,以及判斷三角形的形狀用于計算向量a在b方向上的投影6數(shù)量積的運(yùn)算律：是任意三個向量，(1)交換律(2)數(shù)乘結(jié)合律(3)分配律

則

(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、ON,證明運(yùn)算律(3)注意：例1

判斷正誤，并簡要說明理由①a·0＝0；②0·a＝０；③.0－AB＝BA④｜a·b｜＝｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，則對任一非零b有a·b≠０；⑥a·b＝０，則a與b中至少有一個為0；⑦對任意向量a，b，c都有（a·b）c＝a（b·c）；⑧a與b是兩個單位向量，則a２＝b２

××××√√××練習(xí)：1．若a≠0，a

·b=0，則b=02．若a≠0，a

·

b=b

·

c，則a=c3．若a

·

b=a

·

c,則b≠c,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時成立．4．對任意向量a有×××√例2：已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，當(dāng)①a∥b，②a⊥b，③a與b的夾角是135°時，分別求a·b

進(jìn)行向量數(shù)量積計算時,既要考慮向量的模,又要根據(jù)兩個向量方向確定其夾角。例3、例4對任意向量,是否有結(jié)論:(1)(2)例4：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例4：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b

＝a·a＋b·a－a·b－b·b

＝a2－b2.例5已知|a|=6，|b|=4，

a與b的夾角為60o求：例6

已知|a|=3，|b|=4，

且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直.變式：[思路點撥]根據(jù)向量的數(shù)量積公式變形為

，從而可求θ.總結(jié)：求向量夾角的一般步驟(1)求兩向量的模；(2)計算兩向量的數(shù)量積；(3)計算夾角的余弦值；(4)結(jié)合夾角的范圍[0，π]確定所求的夾角．例9、用向量方法證明：直徑所對的圓周角為直角。ABCO如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點。求證∠ACB=90°分析：要證∠ACB=90°，只須證向量，即。解：設(shè)則，由此可得：即，∠ACB=90°例10.已知：，存在實數(shù)和，使得，且，試求的最小值。

分析：本題是涉及兩個字母的最值問題，可以考慮利用等量關(guān)系互相表示，轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于其中一個字母的函數(shù)來處理.解:由條件得：，

，由，得

，即

，

則有則=則當(dāng)=-2時，有最小值

小結(jié)：有一些解答題看似字母比較多，比較復(fù)雜，但如果耐心將題目看完，將題給的每個條件都稍作化簡，聯(lián)系“已知的是什么?”,“所求的是什么？”，“中間搭哪一座橋