高一數學第一學期函數壓軸（大題）練習（含答案）1．（本小題滿分12分）已知x滿足不等式，求的最大值與最小值及相應x值．2.（14分）已知定義域為的函數是奇函數（1）求值；（2）判斷并證明該函數在定義域上的單調性；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；3.（本小題滿分10分）已知定義在區間上的函數為奇函數,且.(1)求實數,的值；(2)用定義證明:函數在區間上是增函數；(3)解關于的不等式.4.(14分)定義在R上的函數f(x)對任意實數a,b,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且當x>1時,f(x)<0，(1)求f(1)(2)求證：f(x)為減函數。(3)當f(4)=-2時，解不等式5.（本小題滿分12分）已知定義在[1，4]上的函數f(x)＝x2-2bx+(b≥1)，(=1\*ROMANI)求f(x)的最小值g(b)；(=2\*ROMANII)求g(b)的最大值M。6.（12分）設函數，當點是函數圖象上的點時，點是函數圖象上的點.（1）寫出函數的解析式；（2）若當時，恒有，試確定的取值范圍；（3）把的圖象向左平移個單位得到的圖象，函數，（）在的最大值為，求的值.7.（12分）設函數.（1）當時，求的定義域；（2）如果時，有意義，試確定的取值范圍；（3）如果，求證：當時，有.8.（本題滿分14分）已知冪函數滿足。求整數k的值，并寫出相應的函數的解析式；對于（1）中的函數，試判斷是否存在正數m，使函數，在區間上的最大值為5。若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。9.（本題滿分14分）已知函數且（Ⅰ）若函數的圖象經過點，求a的值；（Ⅱ）當變化時，比較大小，并寫出比較過程；（Ⅲ）若，求的值．10.（本題16分）已知函數()是偶函數．(1)求k的值；(2)若函數的圖象與直線沒有交點，求b的取值范圍；(3)設，若函數與的圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍．11.（本小題滿分12分）二次函數的圖象經過三點.（1）求函數的解析式（2）求函數在區間上的最大值和最小值12.(本小題滿分14分)已知函數,且為奇函數．(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)定義:若函數,則函數在上是減函數,在是增函數.設,求函數在上的值域．13.(本小題滿分16分)設,,已知函數.(Ⅰ)當時,討論函數的單調性(直接寫結論);(Ⅱ)當時,(i)證明;14.(本小題滿分16分)設函數的定義域區間為,其中.(Ⅰ)求的長度(注:區間的長度定義為);(Ⅱ)判斷函數的單調性,并用單調性定義證明;(Ⅲ)給定常數,當時,求區間長度的最小值.1.解：由，∴，∴，而 ，當時此時x==，當時，此時．2.解：（1）由題設，需，經驗證，為奇函數，---------（2分）（2）減函數--------------（3分）證明：任取，由（1）該函數在定義域上是減函數--------------（7分）3.解：(1)由為奇函數,且則，解得：。(2)證明：在區間上任取，令,,,,即故函數在區間上是增函數.(3)函數在區間上是增函數故關于的不等式的解集為.4（1）由條件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0(2)法一：設k為一個大于1的常數，x∈R+，則f(kx)=f(x)+f(k)因為k>1，所以f(k)<0，且kx>x所以kx>x,f(kx)<f(x)對x∈R+恒成立，所以f(x)為R+上的單調減函數法二：設令有題知，f(k)<0所以f(x)在（0，+）上為減函數法三：設所以f(x)在（0，+）上為減函數5解：f(x)=(x-b)2-b2+的對稱軸為直線x＝b（b≥1），(=1\*ROMANI)①當1≤b≤4時，g(b)＝f(b)＝-b2+;②當b＞4時，g(b)＝f(4)＝16-，綜上所述，f(x)的最小值g(b)＝(=2\*ROMANII)①當1≤b≤4時，g(b)＝-b2+＝-(b-)2+，∴當b＝1時，M＝g(1)＝-；②當b＞4時，g(b)＝16-是減函數，∴g(b)＜16-×4＝-15＜-，綜上所述，g(b)的最大值M=-。6.解：（1）設點的坐標為，則，即。∵點在函數圖象上∴，即∴(2)由題意，則，.又，且，∴∵∴∵∴，則在上為增函數，∴函數在上為減函數，從而。由（1）知，而把的圖象向左平移個單位得到的圖象，則，∴即，又，的對稱軸為，又在的最大值為，①令；此時在上遞減，∴的最大值為，此時無解；②令，又，∴；此時在上遞增，∴的最大值為，又，∴無解；③令且∴，此時的最大值為，解得：，又，∴；綜上，的值為.7解：（1）當時，函數有意義，則，令不等式化為：，轉化為，∴此時函數的定義域為（2）當時，有意義，則，令在上單調遞增，∴，則有；（3）當時，，設，∵，∴且，則∴8解:（１），或；當時，，當時，；或時，．（２），，開口方向向下，對稱軸又在區間［０，１］上的最大值為５，9.（Ⅰ）函數的圖象經過∴，即.又，所以.（Ⅱ）當時，;當時，因為，，當時，在上為增函數，∵，∴.即.當時，在上為減函數，∵，∴.即.（Ⅲ）由知，.所以，（或）.∴.∴，∴或，所以，或.10(1)因為為偶函數，所以，即對于恒成立.于是恒成立,而x不恒為零，所以.-----------------4(2)由題意知方程即方程無解.令，則函數的圖象與直線無交點.因為任取、R，且，則，從而.于是，即，所以在上是單調減函數.因為，所以.所以b的取值范圍是-----------------------6(3)由題意知方程有且只有一個實數根．令，則關于t的方程(記為(*))有且只有一個正根.若a=1，則，不合,舍去；若，則方程(*)的兩根異號或有兩相等正跟.由或－3；但，不合，舍去；而；方程(*)的兩根異號綜上所述，實數的取值范圍是．-----------------------611.解兩點縱坐標相同故可令即將代入上式可得…………4分由可知對稱軸當即時在區間上為減函數………6當時，在區間上為增函數…………8分3）當即時…………10分當即時…………12分12.(本小題滿分14分)已知函數,且為奇函數．(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)定義:若函數,則函數在上是減函數,在是增函數.設,求函數在上的值域．解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為R，∵為奇函數，∴f（0）=0，∴1+a=0，a=-1……………3分(Ⅱ)=……………3分設，則當時，，……………3分∴∵當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增；……………2分∴當時，y的最小值為當時，，當時，，y的最大值為……………2分∴函數在上的值域是。……………1分13.(本小題滿分16分)設,,已知函數.(Ⅰ)當時,討論函數的單調性(直接寫結論);(Ⅱ)當時,(i)證明;(ii)若,求的取值范圍.解：（Ⅰ）由，得當時，分別在上是增函數；……………2分當時，分別在上是減函數；……………2分（Ⅱ）（i）∵，…………2分∴，∴……………1分（ii）∵∴由（i）可知，，……………2分①當時，，H=G=a，的取值范圍為.……………2分②當時，∵，∴由（Ⅰ）可知，在上是增函數，∴的取值范圍為……2分③當時，∵，∴由（Ⅰ）可知，在上是減函數，∴的取值范圍為……2分綜上，當時，的取值范圍為；當時，的取值范圍為；當時，的取值范圍為。……………1分14.(本小題滿分16分)設函數的定義域區間為,其中.(Ⅰ)求的長度(注:區間的長度定義為);(Ⅱ)判斷函數的單調性,并用單調性定義證明;(Ⅲ)給定常數,當時,求區間長度的最小值.解：（Ⅰ）由，得，……………2分∴。…………1分（Ⅱ）在上是增函數，在上是減函數，……………1分設，則…………2分∵，∴，∴……………2分∴在上是增函數……………1分同理可