1.3空間向量及其運算的坐標表示

1.3.1空間直角坐標系.........................................................1

1.3.2空間向量運算的坐標表示................................................7

1.3.1空間直角坐標系

基礎練習

一、單選題

1.已知空間點P(-3,1,-4),則點P關于y軸對稱的點的坐標為()

A.(—3,—1,-4)B.(—3,—1,4)

C.(-3,1,4)D.(3,1,4)

【答案】D

【分析】利用空間直角坐標系點關于坐標軸對稱的特點求解作答.

【詳解】依題意，點p(-3,1,7)關于)'軸對稱的點的坐標為(3,1,4).

2.(2022?廣東?高二階段練習)如圖所示的空間直角坐標系中，四棱錐P-A8co的底面A8CO

是正方形，平面"8,且PB=AB=2,若PC=3PQ,則點。的空間直角坐標為()

A.(3,2,1)B.

C.(1,2,3)D.(1,2,1)

【答案】B

【分析】根據空間向量的坐標運算直接計算.

【詳解】由題意得C(O,2,O),P(2,2,2),所以PC=(-2,0,-2)=3PQ,

所以加=信,0,-卦所以。的坐標為卜率0,~1)+(2,2,2)=住,2圖.

3.點4(-3,4,5)關于坐標平面對稱的點的坐標是()

A.(3,4,5)B.(-3,-4,5)C.(—3,4,-5)D,(—3,—4,—5)

【答案】c

【分析】本題根據關于坐標平面對稱的點的坐標直接求解即可.

【詳解】因為點(x,y,z)關于。孫平面對稱的點的坐標是(x,y,-z),

所以點A(-3,4,5)關于xOz平面對稱的點的坐標是(-3,4,-5),

二、多選題

4.如圖，在正三棱柱ABC-A5G中，已知一ABC的邊長為2,三棱柱的高為的中

點分別為以。為原點，分別以的方向為*軸、y軸、z軸的正方向建立空間

直角坐標系，則下列空間點及向量坐標表示正確的是()

A.A(O，61)B.C,(1,0,1)

C.AR=(O,-6,1)D.B1A=(Q,6,-1)

【答案】ABC

【分析】求出等邊三角形的高AO的長，根據三棱柱的棱長可得各點坐標，然后求得向量的

坐標即可判斷.

【詳解】在等邊A8C中，AB=2,BD=1，所以=則

A(O,G,O)，A(O,G,I)，G(I,0,1),R(0,0,l),B,(-1,0,1),則叫=(0,-后1),4A=(1,6廠1).

三、填空題

5.在空間直角坐標系中，點A(-3,1,4)關于xQy平面對稱的點8的坐標為.

【答案】(T1T)

【分析】空間直角坐標系中任一點P(a,Ac)關于坐標平面xOy的對?稱點尸"-c),寫出

結果即可

【詳解】由題意可得：點4-3,1,4)關于xOy平面的對稱點的坐標是8(-3,1,-4),

6.(2022?全國?高二課時練習)在空間直角坐標系中，已知點尸(x,y,z),下列敘述中，正確

的序號是.

①點尸關于x軸的對稱點是＜(x,-y,z)

②點P關于強應平面的對稱點是鳥(x,-y,-z)

③點尸關于y軸的對稱點是巴(X，7,Z)

④點尸關于原點的對稱點是

【答案】④

【分析】根據空間坐標的對稱性進行判斷即可.

【詳解】解：①點尸關于X軸的對稱點的坐標是(x,-y,-z),故①錯誤；

②點尸關于y。平面的對稱點的坐標是(-x,y,z),則②錯誤；

③點戶關于V軸的對稱點的坐標是(-x,y,-z),則③錯誤；

④點p關于原點的對稱點的坐標是(-X,->■,-z),故④正確，

故正確的序號是④.

三、解答題

7.在正方體中建立空間直角坐標系，若正方體的棱長為1,分別求AB，DG，

用。的坐標.

【分析】利用正方體的幾何特征建立空間直角坐標系，求出點的坐標，由此即可求出向量坐

標.

【詳解】如圖所示建立空間直角坐標系，

則A(0,0,0),3(1,0,0),￡>(0,1,0),q(1,1,1),B,(1,0,1),

/.AB=(1,0,0),DC}-(1,0,1),4。=(一1,1,一1).

8.(2022?全國?高二課時練習)在空間直角坐標系中，分別求點尸(-2,1,4)關于x軸、xOy平

面、坐標原點對稱的點的坐標.

【答案】關于x軸對稱(-2,-1,-4),關于xOy平面對稱(-2,1,-4),關于坐標原點對稱(2,-1,-4)

【分析】根據空間直角坐標系中點關于x軸、X。)，平面、坐標原點對稱的點的特征即可得出

答案.

【詳解】解：點「(-2,1,4)關于x軸對稱的點的坐標為(-2,-l,T),

關于xQx平面對稱的點的坐標為(-2,1,-4),

關于坐標原點對稱的點的坐標為(2,-1,T).

提升訓練

一、單選題

1.點尸是棱長為1的正方體A8C￡)-A￡G。的底面A8C￡>上一點，則PA-PG的取值范圍

是()

A.[-l,--y]B.[--^■,-7]C.D.[-^-,0]

4242

【答案】D

【分析】以點。為原點，以。A所在的直線為x軸，以DC所在的直線為〉軸，以。。所在

的直線為z軸，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，同時設點尸的坐標為(x,y,z),其中

0<x<l,0<y<l,z=l,用坐標運算計算出A4PG,配方后可得其最大值和最小值，即得其

取值范圍.

【詳解】以點。為原點，以D4所在的直線為X軸，以OC所在的直線為y軸，以。。所在

的直線為Z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示；

則點A(l,0,0),G(0,1,1)設點p的坐標為(x,y,z),由題意可得0VxV1,04y<1,z=1,

PA=(l-x,-y,-l),PCi=(-x,1-y,0)

PA-PC,=-x(l-x)-y(l-y)+0=x2-x+/-y=j.由二次函數的性

質可得，當x=y=g時取得最小值為-；：

當x=0或1,且y=0或1時，P4PG取得最大值為()，

則％-PG的取值范圍是一；，°

2

2.已知點A(3,3,?5),B(2,-3』),C為線段AB上一點，且AC=§A3，則點C的坐標為()

A.(彳,一彳,彳)B.(—,—3,2)C.D.(彳,一彳,彳)

22283222

【答案】C

【分析】設出C點的坐標，根據A,B,C三個點的坐標，寫出兩個向量的坐標，根據兩個

向量之間的關系，得到關于x,y,z的關系式，在每一個關系式中解出變量的結果，得到要

求的點的坐標.

【詳解】設C的坐標是(x,y,z)

VA(3,3,-5),B(2,-3J),

???AB=(-l,-6,6),AC=(x-3,y-3,z+5)

??,AC=-AB

3f

2

(x-3,y-3,z4-5)=—(—1,—6,6),

7

由此解得x==T,z=-l,,

3.如圖，在空間直角坐標系中，正方體A8C￡>—A/B/GD的棱長為1,BE-AIBI,則

4

A.B.信,0,1)C.D.(；,0,一1)

【答案】C

【分析】根據空面向量運算法則，利用8E=OE-O8，即可得出.

【詳解】由題，在空間直角坐標系中，正方體ABCD-A4Gq的棱長為1,4E=A耳，則

B(L1,O),￡(1,-,1),

4

31

:.BE=OE-OB=(1,-,1)-(1,1,0)=(0,——,1),

44

二、填空題

4.如圖，在長方體A8CQ-A/B/C/。/中，E,尸分別為DC/,B/C/的中點，若以{A8,AQ,A4}

為基底，則向量4￡的坐標為一，向量A尸的坐標為一，向量AG的坐標為一?

【答案】(g，Ll)(LU)

【分析】利用向量的運算用表示向量AE，4尸，AQ,即可得出答案.

【詳解】因為AE=AO+OR+RE=gA8+AQ+AA，所以向量AE的坐標為(；』』］

因為AF=A8+B4+4尸=+,

所以向量A尸的坐標為0，g，l)

因為AG=AB+AD+AA］,所以向量AC1的坐標為(1,1,1).

三、解答題

5.已知A(l,0,0),B(0,l,0),C(0,0,2).

⑴若DBAC,DCAB,求點D的坐標；

⑵問是否存在實數a,B,使得AC=aAB+BBC成立?若存在，求出a,p的值;若不存在，說明理由.

【答案】⑴O(-1,L2)；(2)a=B=\

【分析】(1)設D(x,y,z),由向量平行的坐標運算可求得D點坐標.(2)假設存在，由待

定系數法求解.

【詳解】(1)設D(x,y,z),則DB=(-x,l-y,-z),AC=(-l,0,2),DC=(-x,-y,2-z),AB=(-1,1,O).

因為DBAC,DCAB,

f(-x,l-y,-z)=%(-1,0,2),

”以［(-x,-y,2-z)=”(-l,l,0),

x=-l,

解得?y=L即D(-l,l,2).

z=2.

(2)依題意AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,2),BC=(0,-1,2).

假設存在實數a，B，使得AC=aAB+PBC成立，則有(-1,0,2)=a(-1,1,0)+p(0,-l,2)=(-a,a-p,2p),

a=1,

所以＜a/=0,故存在a=p=l,使得AC=aAB+BBC成立.

2(5=2,

1.3.2空間向量運算的坐標表示

基礎練習

一、單選題

1.已知a=(T,2,5)力=(l,x,—l),且小。=2,則》的值是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由向量數量積的坐標表示列方程求參數.

【詳解】由題設，“力=-l+2x-5=2，可得x=4.

2.已知向量可=(3,2,1),6=(2,4,0),則4>-2〃=()

A.(16,0,4)B.(8,16,4)C.(8,-16,4)D.(8,0,4)

【答案】D

【分析】根據向量的數乘以及減法運算，即可求得答案.

【詳解】4a_?=4(3,2,1)-2(2,4,0)=(12,8,4)—(4,8,0)=(8,0,4),

3.已知直線/”4的方向向量分別為。=(1，4「2),6=(-2,1,回，若…,則加等于()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根據列方程，化簡求得機的值.

【詳解】由于所以lx(—2)+4xl+(—2)x/n=0,m=l.

4.已知a=(1,-4,-4),l>=(m,2,-2m+l),若°則，"的值為()

A.-2B.2C.--D.v

22

【答案】C

【分析】根據向量共線的性質即可求解.

【詳解】因為a〃5,所以：=工7=且畀，解得機=-1，

1-4-42

5.(2022?福建龍巖?高二期中)已知直線/的一個方向向量為點=(x,2,-5),平面a的一個法

向量為。=(3,-1,2),若/〃a,則％=()

A.-6B.6C.-4D.4

【答案】D

【分析】若/〃a,則加,從而曲?方=0即可求解

【詳解】若〃/a,則m_L〃，從而方??方=0

即3x-2-10=0,解之得：x=4

6.(2022?全國?高二)設x,yeR,向量a=(x,l,l),A=(l,y,l),c=(2,-4,2),且a_LC，石〃羊,

則|x+yl=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據向量平行和垂直的坐標表示求出y和x即可；

【詳解】a-Lc=a,c=0=2x—4+2=0=x=l,

1y

h//c—=—y=—2,

2-4

/.|x+y|=l.

7.已知a=(2,-3,l),人=(2,0,3),c=(0,(),2),則a?伍+c)=()

A.5B.4C.7D.9

【答案】D

【分析】根據空間向量的坐標運算，即可求解.

【詳解】b+c=(2,0,5),a=(2,-3,l),，7R+@=2x2+0x(—3)+5xl=9

8.已知向量a=(l,0,-l),則下列向量中與a成?夾角的是()

A.(-1,1,0)B.(1-1,0)

C.(0,-1,1)D.(-1,0,-1)

【答案】B

【分析】利用空間向量夾角公式進行逐一判斷即可.

【詳解】A：因為向量。=(1,0,-1)與向量(-1,1,0)夾角的余弦值為

________-M______2

>/l2+(-l)fxV(-l)2+l2=~2'

所以向量a=(l,0,-1)與向量夾角為等，故不符合題意；

,、1x11

B：因為向量a=(1,0,-1)與向量(1,-1,0)夾角的余弦值為了+(_1)2x"+(7)2=2，

所以向量a=(l,0,-l)與向量(-1,1,0)夾角為?，故符合題意；

,-1x11

C：因為向量a=(1,0,—1)與向量(0,-1,1)夾角的余弦值為了+(_1)葭心)2+/=一5，

所以向量4=(1,0,-1)與向量(0,-1,1)夾角為母，故不符合題意；

D：因為向量a=（1,0,-1）與向量（一1,0,-1）夾角的余弦值為

-lxl+(-])x(-l)

=°,所以向量4=（1,0,-1）與向量（-1,0,-1）夾角為故不符合

2222

7I+(-DX>/(-I)+(-I)

題意,

9.在正三棱柱A8C-A與G中，A4,=2AB=2,E為棱AB的中點，尸為線段BB|上的一點,

則誓=

且ACJ.EF,)

rB

A.10B.12C.15D.20

【答案】C

【分析】以點E為坐標原點建立空間直角坐標系，設尸（0,；"），再根據垂直的坐標衣不求

解得進而求得空即可.

or8

【詳解】以點E為坐標原點，ECE8以及與過E旦與A4,同向的方向分別為為丫衣軸建立空

間直角坐標系.則E（0,0,0）,C手,0,0,設尸由ACLEF,知

t

2--

1竺F8

故5

8-F萬1

8-

10.（2022?全國?高二專題練習）給出下列命題:

①若空間向量4,人滿足忖=忖則〃=/,

②空間任意兩個單位向量必相等

③若空間向量a,b,c滿足a?c=匕?c,則〃=〃

④在正方體ABCO-A/B/C/D中，必有BD=B、D\

⑤向量。=(I,I,0)的模為正；

其中假命題的個數是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據空間向量的相關知識逐一判斷即可.

【詳解】在①中，若空間向量％6滿足,卜可，向量4與各方向不一定相同，故①是假命題;

在②中，空間任意兩個單位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命題；

在③中，若空間向量a,b,c滿足a-c=rc,，則向量d與〃不一定相等，故③是假命題；

在④中，在正方體48CO-A/B/C/D中，由向量相等的定義得必有BD=片烏，故④是真命

題；

在⑤中，由模的定義得向量a=(1,1,0)的模為近，故⑤是真命題.

二、多選題

11.(多選)已知向量之=(1,0,-1),則下列向量中與。的夾角為60。的是()

A.(-1,1,0)B.(1-1,0)

C.(0-1,-1)D.(-1,0,1)

【答案】BC

.a-b1

【分析】設向量b=(x,y,z),貝i1c°s<a/>=麗=5,再結合選項逐一判斷即可.

【詳解】解：不妨設向量b=(x,y,z),

.a?b—111

若。=(-1,1,0),則8s<"*>=麗=萬祓=-5#5,不滿足條件，A錯誤：

.ah11

若6=(1,-1,0),則c°s<a*>=麗=萬訪=2,滿足條件，B正確；

.ab11

若6=(0,-1,-1),則c°s<"/>=HW=反正=5,滿足條件，C正確；

.(1,b—21

若人=(—1,0,1),則8s<〃/>=而=萬環=-105,不滿足條件，D錯誤.

12.(2022?全國?高二)已知空間向量。二(一2,-1,1),b=(3,4,5),則下列結論正確的是()

A.(2。+/?)//。

B.5,卜>/5忖

C.a±+

D.°與夾角的余弦值為-史

【答案】BCD

【分析】由空間向量平行的性質及空間向量模長，數量積，夾角的坐標運算進行判斷即可.

【詳解】對于A選項：2a+6=(-1,2,7),不存在4,使得2〃+方=/la，故A錯誤；

對于B選項：5M=5xj4+l+l=5折坪卜島打+42+52=5技故B正確；

對于C選項：5a+6/>=(8,19,35),a(5a+6&)=-2x8-1x19+1x35=0,

則a1(5a+6b)，故C正確；

又寸于D選項：W=j4+l+l=",222=5>/2,a-b=-6-4+5=-5

|/7|=A/3+4+5

/,\a-b-5>/3

所以c°s《M=麗=而不方=一丁，故D正確；

13.已知空間中三點A(0,1,0),磯1,2,0),C(-l,3,l),則正確的有()

A.AB與AC是共線向量B.AB的單位向量是。，1，0)

C.與3C夾角的余弦值是-3D.平面ABC的一個法向量是(1,-1,3)

6

【答案】CD

【分析】A選項直接寫出AB與AC，按照共線向量即可判斷；B選項由單位向量的求法進行

判斷;

C選項通過夾角公式計算即可；D選項直接計算法向量即可.

【詳解】48=(1,1,()),AC=(-1,2,1),顯然AB與AC不共線，A錯誤；

-12

AB的單位向量B錯誤;

Jl+l+o'Jl+1+O'Jl+l+O~二~~二~

AB-BC_lx(-2)+lxl__走.,

BC=(—2,1,1),cos(A8,8C)=

AB\\BC\~71+1x74+1+1-6，C止確

設平面ABC的法向量〃=(x,y,z),則',令x=l,得”=(1,-1,3),D正

AC-n=-x+2y+z=0

確.

14.已知空間三點A(—1,0,1),3(-122),C(-3,(),4),則下列說法正確的是()

C.陽=26

A.ABAC=3B.ABHACD.cos(AB,AC

【答案】AC

【分析】由條件可得A8,AC,BC的坐標，然后逐一判斷即可.

【詳解】因為4（-1,0,1），5（-1,2,2）,C（-3,0,4）,

所以A3=(0,2,1),AC=(-2,(),3),3C=(-2,-2,2)

?,uniuuti/AD?Z-AA8-AC33V65

所以AB-AC=0+0+3=3,C°S(AB,AC上網國7r'

|fiC|=74+4+4=273

所以AB,A。不共線.

三、填空題

15.己知A,B,C的坐標分別為（0,1,0）,（-1,0,-1）,（2,1,1），點P的坐

標是（x,0,y）,若以_L平面ABC,則點P的坐標是.

【答案】（-1,0,2）

【分析】根據題意算出AB、AC、雨的坐標，由%L平面A8C得尸A_LAA且PA^AC，

建立關于x、y的方程組，解之即可得出點P的坐標.

【詳解】根據題意，可得

AB=(-1，-1，-1),AC=(2,0,I),PA=(五，I,y)

平面ABC,

PAAB=-x+l-y=0

???24,4？且24,4。，可得

PAAC=2x+0+y=0

解之得x=-1,y=2,可得P的坐標是（-1,0,2）.

16.（2022?全國?高二專題練習）如圖三棱柱ABC—A4G中，側面是邊長為2菱形,

ZCBB,=60o,8G交80于點0,AO_L側面8800,且VABQ為等腰直角三角形，如圖

建立空間直角坐標系。-孫z,則點A的坐標為.

【答案】（一G,L1）

【分析】過點A作平面8CG用，連接與E,C|E,則qE//OG，GE〃。用，AE//A。，由

此可求得點A的坐標.

【詳解】三棱柱ABC—AB￡中，側面BB,C,C是邊長為2菱形，/CBg=60。,

BG交qC于點。，40_1側面88℃,且VABQ為等腰直角三角形，

如圖建立空間直角坐標系。一xyz,

過A作AEJ.平面BCC4,垂足是E,連接B1E,C,E,

則用E//OG，GE//OB|,AE〃AO,

.??點A的坐標為(-6,1,1).

17.(2022?全國?高二專題練習)如圖，已知點尸在正方體ABC￡>-A'8'C'Q'的對角線BD上,

ZPDC=60.設OP=WB'則A的值為

【答案】>/2-1

【分析】以。為原點建立空間直角坐標系，利用向量關系即可求出.

【詳解】以。為原點，/M為X軸，DC為y軸，DD為z軸，建立空間直角坐標系,

設正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1,

點P在正方體的對角線3。上，且ZPOC=60，D'P=AD'B(O<A<1),

則A(l,0,0),C(0,l,0),D'(0,0,l),8(1,1,0),P(%。,一),

DP=(A,A,1-A),DC=(0,1,0),

cos<DC,DP>="C'=—,%=cos60=-,

\DC\X\DP\1X7A2+Z2+(1-Z)22

由0”<l,解得2=血-1.

故答案為收-1.

18.已知向量。=(2,-1,3)力=(<2,/)的夾角為鈍角，則實數f的取值范圍為o

【答案】(-°°，-6)口卜6,5)

【分析】由已知轉化為4/<0,去除d與。夾角為180。時的值，用數量積公式求解即可.

【詳解】向量。=(2,-1,3)/=(-4,2")的夾角為鈍角，

=-8-2+3/<010/

.,解得，<—>且

[rh-63

.??實數f的取值范圍為(-8，-6)=’6，?}

19.已知直線/的方向向量為。=(—1,0,1),點A0，2,—1)在/上，則點尸(2,—1,2)到/的距離為

【答案】歷

【分析】根據點到直線的空間向量坐標公式求解即可

【詳解】根據題意，得24=(—1,3,-3),(-1,0,1),

1+0—3

:.cos<aPA>=

9V2xV19

sin<a^PA>=

又陷=J(2-l)2+(—l—2丫+[2一(—1)于=回

???點P(2,—1，2)到直線I的距離為網si〃Va,PA>=V19xJ—=V17.

四、解答題

20.設有三點A(1,2,-1)、8(0,3,1)、C(4,-1,2),求:

(□△ABC的面積S；

(2)與向量AB、AC同時垂直的單位向量.

【答案】(俘⑵住軻

【分析】(1)由已知求得AB，AC,可得A8LAC,再求出48、AC的長度，再由三角形面

積公式求解；

(2)利用向量數量積為0列式求解向量他、AC同時垂直的單位向量.

(1)VA(1,2,-1)、B(0,3,1)、C(4,-1,2),

A8=（-l,l,2）,AC=（3,—3,3）,

I=7（-l）2+l2+22=76,|/ic|=732+（-3）2+32=373,

AB-AC=-3-3+6=O，則48J_AC,

可得AABC的面積S=-x瓜x3下）=?由":

22

(2)設與向量AB、AC同時垂直的向量為帆=(x,y,z),

〃??AB=一1+y+2z=0取y=l,可得"7=（J,l,0；）0=&：4等

由.

m-AC=3x-3y+3z=0

與向量AB、AC同時垂直的單位向量為〃=冬冬。.

\/

21.已知空間三點A(T,2,1),8(0,1,-2),C(-3,0,2)

(1)求向量AB與AC的夾角的余弦值，

(2)若向量34B-AC與向量AB+ZAC垂直，求實數出的值.

【答案】(1)-?

11

⑵%=2

【分析】(1)求出AB與4W及模長，利用空間向量夾角公式進行求解；(2)根據空間向量

垂直得到方程，結合第一問求出實數k的值.

⑴AB=(l,T,—3),AC=(-2,-2,1),網=11+1+9=而,|AC|=74+4+1=3,

故A3AC=(l,T,_3>(_2,_2,l)=_2+2_3=_3,

ABAC-3vn

所以小阿可麗=一丁

(2)：向量3AB-AC與向量AB+上4c垂直，

(348-AC)\AB+kAC)=3AB。+(3%-1)AB.AC-kAC2=0,

即3x11—3（301）—%=0,解得：k=2.

22.已知向量”=（1,-3,2）,6=（1,1,-1）,計算:

⑴M，W，上”小

⑵cos(a/).

【答案】⑴小E,W=5"一。卜56(2)-^Z

【分析】(1)直接根據空間向量模的公式計算；

(2)直接根據空間向量的夾角公式計算.

(1)由己知

口=7I2+(-3)2+22=Vl4,

W="+/+(T)2=5

2a-b=2(1,-3,2)-(1,1,-1)=(I,-7,5),

則|2a—++(—7)2+5?=5>/3

/ab1-3-22屈

⑵9M亦QF

23.(2022?江蘇?淮安市淮安區教師發展中心學科研訓處高二期中)已知點4-2,3,0),

8(1,3,2),點P在直線AB上.

AP\

(1)若謁=2,寫出點尸的坐標；

(2)若點O是坐標原點，且OPL43,寫出點P的坐標.

【答案】⑴(4,3,4)或(一8,3,-4)；(2)[3,

AP\

【分析】(I)由點P在直線A8上得游=幾品，表示出尸的坐標，根據溫=2求出;I即可.

(2)根據OP.AB=0求出入即可.

⑴AB=(3,0,2),

???點尸在直線AB上，4P=/L48，.??'=(3九0,2；1),2+3九3,2乃.

由|A8=2|AB|得,9把+4紀=2x/9+4，

,1X=±2,，P(4,3,4)或(-8,3,-4).

⑵OP=(—2+343,2/1),

OP_LAB,OP-AB=3(—2+32)+2-2^1=0,A=—,]?

13\1313J

24.已知a=(-2,3,2),6=(1,-5,1),且,”a+b與2a平行，求實數優的值.

【答案】m=-2

【分析】根據向量平行的性質求解即可.

【詳解】因為，所以〃以+b=Z(2a-b)(攵cR),

所以(2Z-機)a=(l+&)b,

因為a與〃不平行，所以「仆，

[l+k=O

25.判斷下列各對向量是否平行或垂直：

(1)。=(1,—2,3)，*=(1,2,1)；

,「112、

⑵4=(-3,2,4),^=1I;

(3)2=你—3,2),石=(0，1，

【答案】(1)垂直，不平行

(2)平行，不垂直

(3)既不平行，又不垂直

【分析】(1)根據a/=0來判斷；

⑵根據存在實數A使(-3,2,4)=m，|)來判斷;

(3)根據4包*0，且不存在實數力使4=肌來判斷.

(l)a?力=(1,2,1>(1,—2,3)=1—4+3=0,

故a與6垂直，不平行；

⑵存在實數使(T2,4)=6m1}

故a與〃平行，不垂直；

(3)a/=(|,-3,2)1o,l,-￡)=-3-3=-6wO,

又不存在實數義使《，-3,2)=《0,1,-|)

故故a與匕既不平行，又不垂直.

26.如圖，在棱長為1的正方體ABCQ-A8CR中，E是AB的中點，F是的中點，G是

AM的中點.

(1)試建立適當的坐標系，并確定E、F、G三點的坐標；

(2)求證：\CLEF.

【分析】(1)以點。為坐標原點，DA.DC、OR所在直線分別為x、＞'、z軸建立空間

直角坐標系，可得出E、F、G三點的坐標；

(2)利用空間向量垂直的坐標表示可證得結論成立.

(1)解：以點O為坐標原點，DA.DC、所在直線分別為x、V、z軸建立如卜圖所示的

空間直角坐標系，

Ja----------

則《亭)、。，器］

(2)證明：依題意可得A“。」)、C(0,l,0),則AC=(—1,1,T)，￡尸=(0,3，：

11

所以，^CEF=0+---=0,所以ACLE/L

提升訓練

一、單選題

1.(2022?江蘇淮安?高二期末)如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABCD為正方形，PAL

平面ABC。，PA=AB,M為PC上一動點、,PM=tPC,若為鈍角，則實數f可能為

()

p

IZ

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標系，利用即可求解.

【詳解】分別以AB、AD.”為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示,

設％=1,M(x,y,z),故P(O,O,1),C(l,l,O),PM=(x,y,z-l),PC=(1,1,-1),

由尸M=rPCuJ■知，彳y=f,即M(z,f,lT),

z-1=-r

又因為N8M￡>為鈍角，所以M8-M￡)<0，

由3(1,0,0).￡>(0,1,0),可知〃8=(17,7/-1),=

=<0,整理得3/-4r+l<0，

解得:</<1,

2.已知a=(l,2,-y),b=(x,l,2),且2b〃(a-b),則()

A.x=-,J=1B.x=—,y=-4

C.x=2,y=D.x=],

【答案】B

【分析】利用向量平行的充要條件列出關于小y的方程組，解之即可求得尤、y的值.

【詳解】a=（l,2-y）,^=（x,l,2）,

則。一力=（1一乂1,一丁一2）,2。=（2兀,2,4）

山》〃（可得m_2）=o,解之得心

3.如圖，正方體ABC。-ABCA的棱長為6,點M為CC,的中點，點P為底面AB,CQ上的

動點，滿足的點P的軌跡長度為（）

A.2缶B.372C.6>/3D.3G乃

【答案】B

【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，利用坐標法可得動點尸的軌跡為線段即可得結果.

【詳解】分別以D4,DC,3A為工軸，丫軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4（6,0,0）,3（6,6,0）,河（0,6,3）,設P（x,y,6）,xe[0,6],JG[0,6],

則AM=(-6,6,3),BP=(x-6,y-6,6),

由3P得一6(x—6)+6(y-6)+3x6=0,即y=x-3,

由于工€[0,6]，3>€[0,6],所以xe[3,6],ye[0,3],

所以點尸的軌跡為面ABCQ上的直線：y=x-3,xe[3,6],即圖中的線段EF,

由圖知：EFf+W=3后，

4.（2022?全國?高二課時練習）若平面尸的法向量分別為a=（0,sine,cos。）,

b=—,cos61,sin6＞，且a_L/?,則。等于()

A.E+：(%￡Z)B.2E+?攵WZ)

C.2kn-早kwZ)D.kn-^^kGZ)

【答案】D

【分析】根據平面垂直可知法向量垂直，利用數量積為。求解即可.

【詳解】平面a、夕的法向量分別為〃=(夜,sindcos，)，fo=[^,cos^sin0

a-b=s[2x—4-sin0cos0+cos0sin0=2sin0cos0+l=sin20+1=0,

2

TTTT

26=2k7r--,keZ,me=hr--,k&Z,

二、多選題

5.(2022?重慶市萬州第二高級中學高二開學考試)如圖，點P是棱長為2的正方體

A8C3-A8GA的表面上一個動點，則()

A.當戶在平面BCG用上運動時，四棱錐的體積不變

7T7T

B.當P在線段AC上運動時，RP與AG所成角的取值范圍是

_02_

C.當直線赫與平面ABC。所成的角為45。時，點尸的軌跡長度為%+4&

D.若F是Ag的中點，當尸在底面A8C￡＞上運動，且滿足尸尸〃平面BQ4時，P/長度的

最小值是否

【答案】AC

【分析】A.由四棱錐的高和底面積判斷；B.根據aAQC是等邊三角形判斷；C.根據直線AP

與平面ABCD所成的角為45,結合正方體的特征判斷；D.建立空間直角坐標系，求得小的

坐標進行判斷.

【詳解】A.當P在平面匕這動時，點尸到面例。聲的距離不變，S正方形相9。不變,

故四棱錐尸-A41Ao的體積不變，故A正確;

設P(x,2-x,0)0VxV2,4(2,0,2),。(0,0,2),G(0,2,2),IjllJ〃P=(x,2-x,-2)，4G=(-2,2,0),

設AP與AC所成的角為巴貝I]cose』cos（2P.AC）|=II

。司在6「1-爐+3

因為0W|x-l區1,

當卜-1|=0時,e檸，

COS8=|COS3P，4CJ|=；_J^」.=r1=V-JI兀

當0<k-l|vl時，I\MJ（X_|F+3rm2,則

VIT

TT7T7TJT

綜上：翁”g,所以*與AG所成角的取值范圍是彳，故B錯誤；

C.因為直線”與平面ABC。所成的角為45，

若點尸在平面DCGR和平面BCGB1內，因為4舫=45,卬4）=45最大，不成立；

在平面AORA內，點尸的軌跡是其2=2夜，

在平面ABB,4內，點尸的軌跡是做=20,

在平面AfGP時，如圖所示：

作加上平面人員刀，因為ZPAM=45,所以PM=AM,

又PM=AB,所以AM=AB,

則AP=AB,所以點P的軌跡是以A為圓心，以2為半徑的四分之一圓,

所以點P的軌跡長度為]x2%x2=〃，

4

所以點P的軌跡總長度為長度為7+4近，故C正確;

D.建立如圖所示空間直角坐標系：

設P(x,y,0)0Vx,yV2,片(2,2,2),。(0,0,2),C(0,2,0),

貝ljCB,=(2,0,2),CR=(0,-2,2),FP=(x-2,y-l,-2),

設平面C8Q的個法向量為〃=(a,6,c),

]C￡>「〃=0\-2h+2c=0

則《'，即nn《,

C8「"=0[2a+2c=0

令a=l,則7=(1,-1,-1),

因為PF〃平面用C。，所以FPn=(x-2)-(y-l)+2=0,即y=x+l,

所以附=>/(x-2)2+(y-l)2+4=&X2-4X+8=,2(x-l『+6>R，

當X=1時，等號成立，故D錯誤；

6.若0,h,/3是三條互相平行的直線，〃與/2之間距離為1,//與/3之間距離為1,，2與/3

之間距離為夜，A,B是直線//上的點，且43=2,C,。分別是直線〃上的點，則()

A.ABC的面積是定值B.△ACE)面積的最小值是4

C.三棱錐。一ABC的體積是|D.4CD-(ABCD)2=8

【答案】ABD

【分析】構造直三棱柱OEF-Og6中，使得。￡=。尸=1且OE_LOf，則4可以看做。。1所

在直線，，2可以看做EE1所在直線，4可以看做歷所在直線，如圖所示建立空間直角坐標系，

根據面積公式及錐體的體積公式判斷A、B、C,再根據空間向量的坐標運算判斷D；

【詳解】解：如圖所示直三棱柱。底尸-0盧14中，OE=QF=1且OELOF,

則4可以看做。。1所在直線，，2可以看做E4所在直線，(,可以看做尸耳所在直線，

如圖建立空間直角坐標系，設