第十節二項分布及其應用、正態分布[基礎達標]一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2015·山東師大附中模擬)設隨機變量ξ服從正態分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,則P(-1<ξ<0)= ()A.+p B.1-p C.1-2p D.-p1.D【解析】由P(ξ>1)=p得P(0<ξ<1)=-p,又由正態分布的圖象關于y軸對稱,所以P(-1<ξ<0)=P(0<ξ<1)=-p.2.衣柜中有5件外形完全相同的“李寧牌”球衣(3件白色,2件黑色),現每次取1件,無放回地抽取兩次,則在第一次抽到白色球衣的條件下,第二次仍然抽到白色球衣的概率為 ()A. B. C. D.2.C【解析】設條件A為“第一次取一件球衣取到白色球衣”,則P(A)=,AB為“無放回地抽取兩次,都取到白色球衣”,則P(AB)=,所以所求概率P(B|A)=.3.“少林寺”想從某地區的兒童中挑選武術學員,已知該地區兒童體型合格的概率為,身體關節構造合格的概率為.從中任挑一兒童,這兩項至少有一項合格的概率是(假定體型與身體關節構造合格與否相互之間沒有影響) ()A. B. C. D.3.B【解析】可用互斥事件的概率公式1-.4.(2015·河南中原名校仿真)設隨機變量ξ服從正態分布N(μ,σ2)(σ>0),若P(ξ<0)+P(ξ<1)=1,則μ的值為 ()A.-1 B.1 C.- D.4.D【解析】由P(ξ<0)+P(ξ<1)=1得P(ξ<1)=1-P(ξ<0)=P(ξ>0),由正態分布曲線的對稱性知μ=.5.某公司招聘員工,先由兩位專家面試,若兩位專家都同意通過,則被視作通過初審予以錄用;若這兩位專家都不同意通過,則視作初審不予錄用;當這兩位專家意見不一致時,再由第三位專家進行復審,若能通過復審則予以錄用,否則不予錄用,設應聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為0.5,復審能通過的概率為0.3,各專家評審的結果相互獨立.則4人應聘恰好有1人被錄用的概率是 ()A. B. C. D.5.D【解析】由題意可知某人被錄用的概率為,則4人應聘恰好有1人被錄用的概率是.二、填空題(每小題5分,共25分)6.(2015·上海十二校聯考)小李同學在上學路上要經過4個路口,假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,遇到紅燈的概率都是,則他在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率為.(用最簡分數表示)

6.【解析】由于在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,遇到紅燈的概率都是,則第三個路口首次遇到紅燈為P=.7.(2015·懷化三模)某省氣象部門為了有效緩解近期的持續高溫天氣,擬進行人工降雨,為了達到理想效果,首先在電腦上進行人工降雨模擬試驗,準備用A,B,C三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨,其試驗數據統計如下:方式實施地點大雨中雨小雨模擬試驗總次數A甲4次6次2次12次B乙3次6次3次12次C丙2次2次8次12次假設甲、乙、丙三地實施的人工降雨彼此互不影響.則甲、乙兩地恰為中雨且丙為小雨的概率為.

7.【解析】記“甲、乙兩地恰為中雨且丙為小雨”為事件A,則P(A)=,故甲、乙兩地恰為中雨且丙為小雨的概率為.8.(2015·廣州六中質檢)設隨機變量ξ服從正態分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),則a的值為.

8.【解析】由正態分布的性質可得=3,解得a=.9.實驗員進行一項實驗,先后要實施5個程序,在程序A只能出現在第一步或最后一步的條件下,程序C和D相鄰的概率是.

9.【解析】記“程序A只能出現在第一步或最后一步”為事件A,“程序C和D相鄰”為事件B,則n(AB)=3×2=24,n(A)==48,所以P(B|A)=.10.低碳生活,從“衣食住行”開始,在國內一些網站中出現了“碳足跡”的應用,人們可以由此計算出自己每天的碳排放量,如家居用電的二氧化碳排放量(千克)=耗電度數×0.785,家用天然氣的二氧化碳排放量(千克)=天然氣使用立方數×0.19等.某校開展“節能減排,保護環境,從我做起!”的活動,該校高一(6)班同學利用假期在東城、西城兩個小區進行了區民的關于“生活習慣是否符合低碳排放標準”的調查,生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳家庭”,否則稱為“非低碳家庭”.經統計,這兩類家庭占各自小區總戶數的比例P數據如下:東城小區低碳家庭非低碳家庭西城小區低碳家庭非低碳家庭比例P比例P如果在東城、西城兩個小區內各隨機選擇2個家庭,則這4個家庭中恰好有兩個家庭是“低碳家庭”的概率為.

10.【解析】.三、解答題(共25分)11.(12分)(2015·常德模擬)某旅游景點,為方便游客游玩,設置自行車騎游出租點,收費標準如下:租車時間不超過2小時收費10元,超過2小時的部分按每小時10元收取(不足一小時按一小時計算).現甲、乙兩人獨立來該租車點租車騎游,各租車一次.設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為;2小時以上且不超過3小時還車的概率分別為,且兩人租車的時間都不超過4小時.(1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率;(2)設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ,求ξ的分布列與數學期望.11.【解析】(1)甲、乙所付費用可以為10元,20元,30元.甲、乙兩人所付費用都是10元的概率為P1=,甲、乙兩人所付費用都是20元的概率為P2=,甲、乙兩人所付費用都是30元的概率為P3=1-×,故甲、乙兩人所付費用相等的概率為P=P1+P2+P3=.(2)隨機變量ξ的取值可以為20,30,40,50,60,P(ξ=20)=,P(ξ=30)=,P(ξ=40)=,P(ξ=50)=,P(ξ=60)=.故ξ的分布列為ξ2030405060P所以ξ的數學期望是Eξ=20×+30×+40×+50×+60×=35.12.(13分)(2015·長沙三模)一場只有甲、乙兩隊參加的球賽,由多局組成,比賽分出勝負,且每局比賽甲獲勝的概率為.(1)若賽制為“三局兩勝”(即先勝兩局者為冠軍),求乙隊獲得冠軍的概率;(2)若賽制為“五局三勝”(即先勝三局者為冠軍),設比賽結束后,乙隊勝的局數為ξ,求變量ξ的數學期望.12.【解析】(1)設每局比賽乙隊獲勝為事件A,則P(A)=.P(乙隊獲得冠軍)=P(AA)+P(AA)+P(AA)=.(2)依題意ξ=0,1,2,3.P(ξ=0)=P()=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=2)=,所以隨機變量ξ的數學分布列為ξ0123P所以隨機變量ξ的數學期望為Eξ=0×+1×+2×+3×.[高考沖關]1.(5分)(2015·山東高考)已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態分布N(0,32),從中隨機取一件,其長度誤差落在區間(3,6)內的概率為 ()(附:若隨機變量ξ服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%1.B【解析】由題意可得P(-3,3)=68.26%,P(-6,6)=95.44%,則P(3,6)=[P(-6,6)-P(-3,3)]==13.59%.2.(5分)為向國際化大都市邁進,沈陽市今年新建三大類重點工程,它們分別是30項基礎設施類工程、20項民生類工程和10項產業建設類工程.現有來沈陽的3名工人相互獨立地從60個項目中任選一個項目參與建設,則3人中有2人選擇的項目屬于基礎設施類工程或產業建設類工程的概率是 ()A. B. C. D.2.B【解析】任意一名工人選擇的項目屬于基礎設施類工程或產業建設類工程的概率是,則3人中有2人選擇的項目屬于基礎設施類工程或產業建設類工程的概率是.3.(5分)(2015·湖南長郡中學模擬)先后擲骰子(骰子的六個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點)兩次,落在水平桌面后,記正面朝上的點數分別為x,y,設事件A為“x+y為偶數”,事件B為“x,y中有偶數且x≠y”,則概率P(B|A)= ()A. B. C. D.3.A【解析】P(B|A)=.4.(5分)(2015·新課標全國卷Ⅰ)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為 ()A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.3124.A【解析】若同學通過測試,則其需3次投籃投中2次或3次,即該同學通過測試的概率為×0.62(1-0.6)+×0.63=0.648.5.(5分)(2015·上饒三模)如圖,在網格狀小地圖上,一機器人從A(0,0)點出發,每秒向上或向右行走1格到相應頂點,已知向上的概率是,向右的概率是,問6秒后到達B(4,2)點的概率為 ()A. B. C. D.5.D【解析】由題意可得,6秒鐘里有4秒向右移動,2秒向上移動,則概率為.6.(5分)(2015·重慶三診)某校推行選修數學校本課程,每位同學可以從甲、乙兩個科目中任選一個.已知某班第一小組和第二小組各六位同學的選課情況如下表:科目甲科目乙第一小組15第二小組24現從第一小組、第二小組中各選2人進行課程交流,則選出的4人均選修科目乙的概率為.

6.【解析】P=.7.(5分)(2015·河北百校聯盟質檢)已知某高校高三學生有2000名,在第一次模擬考試中數學成績ξ服從正態分布N(120,σ2),已知P(100<ξ<120)=0.45,若學校教研室按分層抽樣的方式從中抽出100份試卷進行分析研究,則應從140分以上的試卷中抽份.

7.5【解析】因為P(ξ>140)==0.05,所以應從140分以上的試卷中抽×100=5份.8.(5分)某校從6名教師中選派3名教師同時去3個邊遠地區支教,每地1人,在甲和乙不同去的條件下,甲和丙同去或不同去的概率為.

8.【解析】記“甲和乙不同去”為事件A,“甲和丙同去或不同去”為事件B,則P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=.9.(12分)(2015·唐山三模)某項比賽規則是:先進行個人賽,每支參賽隊的成績前三名隊員再代表本隊進行團體賽,團體賽是在兩隊名次相同的隊員之間進行且三場比賽同時進行.根據以往比賽統計:兩名隊員中個人賽成績高的隊員在各場獲勝的概率為,負的概率為,且各場比賽互不影響.已知甲、乙隊各有5名隊員,這10名隊員的個人賽成績如圖所示:(1)計算兩隊在個人賽中成績的均值和方差;(2)求甲隊在團體賽中至少2名隊員獲勝的概率.9.【解析】(1)由題中數據可知,=88,=88;[(85-88)2+(83-88)2+(86-88)2+(96-88)2+(90-88)2]=21.2,[(88-88)2+(84-88)2+(83-88)2+(92-88)2+(93-88)2]=16.4.(2)設甲隊參加個人能力比賽成績前三名在對抗賽的獲勝的事件分別為A,B,C,由題意可知P(A)=,P(B)=P(C)=,且A,B,C相互獨立.設甲隊至少2名隊員獲勝的事件為E,則E=(ABC)∪(AB)∪(AC)∪(BC),則P(E)=.10.(13分)(2013·新課標全國卷Ⅰ)一批產品需要進行質量檢驗,檢驗方案是:先從這批產品中任取4件做檢驗,這4件產品中優質品的件數記為n.如果n=3,再從這批產品中任取4件做檢驗,若都為優質品,則這批產品通過檢驗;如果n=4,再從這批產品中任取1件做檢驗,若為優質品,則這批產品通過檢驗;其他情況下,這批產品都不能通過檢驗.假設這批產品的優質品率為50%,即取出的每件產品是優質品的概率都為,且各件產品是否為優質品相互獨立.(1)求這批產品通過檢驗的概率;(2)已知每件產品的檢驗費用為100元,且抽取的每件產品都需要檢驗,對這批產品做質量檢驗所需的費用記為X(單位:元),求X的分布列及數學期望.10.【解析】(1)設第一次取出的4件產品中恰有3件優質品為事件A1,