導數中恒成立問題〔最值問題〕恒成立問題是高考函數題中的重點問題，也是高中數學非常重要的一個模塊，不管是小題，還是大題，常常以壓軸題的形式出現。知識儲藏〔我個人喜歡將參數放左邊，函數放右邊〕先來簡單的〔也是最本質的〕如別離變量后，恒成立，那么有恒成立，那么有〔假設是存在性問題，那么最大變最小，最小變最大〕對于單變量的恒成立問題如：化簡后我們分析得到，對，恒成立，那么只需，使得，那么只需對于雙變量的恒成立問題如：化簡后我們分析得到，對，，那么只需如：化簡后我們分析得到，對，使，那么只需如：化簡后我們分析得到，，使，那么只需還有一些情況了，這里不一一列舉，總之一句話〔雙變量的存在性與恒成立問題，都是先處理一個變量，再處理另一個變量〕對于帶絕對值的恒成立問題，我們往往先根據函數的單調性，去掉絕對值，再轉變成恒成立問題〔2023.03蘇錫常鎮一模那題特別典型〕今天呢，我會花很多時間來講解一道二次函數，因為二次函數是最本質的，〔甚至我提出這樣一個觀點，所有導數的題目95%歸根結底就是帶參數二次函數在定義域上根的討論，3%是與這種形式根的討論，2%是觀察法得到零點，零點通常是之類〕，所以如果我們真正弄清楚了二次函數，那么對于千變萬化的導數題，我們還會畏懼嗎。那么我們先從一道練習題說起一．二次函數型〔通常方法是討論對稱軸，根據圖像求最值〕例題.定義域為，求的取值范圍思考：=1\*GB3①引入定義域〔非〕=2\*GB3②參數在二次項，就需考慮是否為=3\*GB3③引入高次〔次，次，，，等等〕=4\*GB3④引入，等項〔導致不能別離變量〕方法：.一次函數，二次函數直接根據圖像討論最值(二次函數也可以別離變量).對于高次或者特殊函數，一般別離變量求最值〔別離變量后對函數求導，確定導函數的正負情況，確定單調性，從而確定在定義域上的最值〕.對于不能別離變量的，只能直接求導，對參數討論，從而確定單調性，確定最值變式：=1\*GB3①，假設對任意的，均有，求的取值范圍=2\*GB3②，假設對任意的，均有，求的取值范圍=3\*GB3③，假設對任意的，均有，求的取值范圍=4\*GB3④，假設對任意的，均有求的取值范圍=5\*GB3⑤，假設對任意的，均有求的取值范圍例題2.〔改編〕函數在上的最大值為，最小值為，又函數，〔1〕求的表達式；〔2〕指出的單調區間，并求出的最小值答案：根據對是否為以及對稱軸的討論，易知，所以易知所以在單調遞減，在單調遞增，所以當時，有最小值點評：此題考察的主要是二次函數帶參數在定義域上的最值問題的討論變式：1.對稱軸不動〔=1\*GB3①定義域不動=2\*GB3②定義域動〔含參數〕〕2.對稱軸動〔含參〕，定義域不動〔考試最喜歡考〕3.對稱軸動〔含參〕，定義域動〔含參〕但是參數還是同一個參數方法：找出對稱軸與定義域邊界及定義域中值的臨界點討論即可4.對稱軸動〔含參〕，定義域動〔含參〕=1\*GB3①參數不一樣，那么或許可以看看題目中參數的范圍，是否可以直接根據單調性求=2\*GB3②參數不一樣，參數也沒范圍，那么真不能做了〔13江蘇〕在平面直角坐標系xOy中，設定點A(a，a)，P是函數(x＞0)圖象上一動點．假設點P，A之間的最短距離為，那么滿足條件的實數a的所有值為__________．解：設那么令那么對稱軸1.時，，〔舍去〕2.時，，〔舍去〕綜上或點評：此題綜合性較高，考查了帶參數的二次函數在定義域上的最值問題〔高一下學期必須學會〕，同時考查了換元思想，分類討論的思想是一道非常漂亮的題目二．三次函數及特殊函數型〔通常是求導后對二次函數的零點進行討論，從而求最值〕先來幾個比擬特殊的題目，平時稍微長點心眼，多記記，就記住了1.〔原創〕函數且，對所有滿足條件的函數，始終有成立，求的取值范圍答案：由題可知時，與題目矛盾，所以顯然有所以由條件易知單調遞增，由題可知始終成立，即恒成立，因為單調遞增，又是滿足條件的所有函數，所以的最小值總大于1，所以有，知的范圍是或點評：對于某些題中既有又有的這種題型，我們不妨去聯想它的原函數2.〔原創〕函數；假設對于任意，總存在，使得不等式成立，那么的取值范圍是_____________________答案：分析知單增，又分析知在時取最大值，所以的最大值為，所以有恒成立，別離變量易知假設對任意，在上恒成立，求范圍解答：先看成是的二次函數，對稱軸為，所以最大值不是在處就是在處，所以有對恒成立，易知點評：對于一些雙變量的函數最值問題，我們難以處理時，往往可以去看看本身的定義域，從而確定原函數的單調性，確定最值4.對滿足所有實數，求使不等式恒成立的的取值范圍解答：看成是的一次函數點評：對哪個參數恒成立，就看成是哪個參數的函數5.對恒成立，求的取值范圍解答：法1:看成乘積小于恒成立，轉變成二次函數恒成立法2:必須有一正一負恒成立變式：對恒成立，求的取值范圍解答：如果看成是的函數，乘積后就變成關于的三次函數，所以我們可以轉變思維，轉變成兩個式子同正或同負6.假設對于滿足的一切實數，不等式恒成立，那么的取值范圍為．解答：分解因式易知所以必須有同正或同負恒成立點評：通過這幾個題目的比照，所以我們發現雖然我們常說對哪個參數恒成立就看成是哪個參數的函數，但是有時候也需要轉變思維，不能太死板7.，假設對任意的，恒成立，求的取值范圍類題：〔10.江蘇〕.將邊長為正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,那么S的最小值是.點評：二次比二次型的值域問題，一定要熟練掌握，先別離常數，轉變成一次比二次，設一次為，轉變成關于的對勾函數，解決值域另外一次比一次型的其實只是對稱中心改變而已，可以直接畫圖，建議跟學生講明白的最大值是，最小值是，求與的值解答：整理成關于的二次函數，由題意知二次函數一定有解，所以有恒成立，轉變成關于的一個二次函數恒成立，易知和是它的兩個根，容易把求出來點評：此題比擬特殊，只要講過，那么以后碰到這類題，就不再那么無從下手了9.〔08江蘇〕對于總有成立，那么=解：法1：別離變量，求最值法2：直接求導10.假設不等式||≥1對任意都成立，那么實數取值范圍是．解析：顯然時，有。令①當時，對任意，，在上遞減，，此時，||的最小值為0，不適合題意。②當時，對任意，的最小值為≥1，解得：。故所求。點評：當遇到恒成立問題，有參數時，或許可以看看定義域，先適當的壓縮一下范圍，或許可以防止一些不必要的討論11.設常數，函數.〔=1\*ROMANI〕令，求的最小值，并比擬的最小值與零的大小；〔=2\*ROMANII〕求證：當時，恒有．解〔Ⅰ〕∵，∴，∴，∴，令，得，易知在上單調遞減，在單調遞增∴在處取得極小值，即的最小值為．，∵，∴，又，∴．證明〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，的最小值是正數，∴對一切，恒有，從而當時，恒有，故在上是增函數．∴當時，，∴，即，∴故當時，恒有．點評：此題又是有那么一點點特殊，當我們難以處理導函數的正負情況時，我們或許可以想想是什么導致了我們難以處理，是否可以通過判斷的正負來確定導函數的正負，但是此題由于題目一步步的提示你怎么做，所以就缺少了應有的美感12.，對，恒成立，求的取值范圍解答：化簡易得點評：別離變量時不一定要別離成單個變量，要知道整體別離也是一樣的，不能太死板當然此題也可以轉變成二次函數帶參數在定義域上的最值討論13.，，假設恒成立，求的范圍解答：法一：易知這題為：系數之積為正，肯定是對勾函數，系數之積為負，直接單調所以只需對的臨界點進行討論即可法二：求導，轉變成二次函數根的討論14.，，假設對，總存在，使得成立，求正整數的最小值解答：分析題目易知值域為值域的子集，轉變成求的最值15.函數，不等式在上有解，求實數的取值范圍。解析：，即，點評：此題需要使用觀察法，容易發現是零點，然后討論單調性類題：〔徐州、淮安、宿遷市2023屆高三期末〕函數求函數在點處的切線方程；求函數單調區間；假設存在，使得是自然對數的底數〕，求實數的取值范圍.解答：容易發現是零點，然后對范圍，范圍討論點評：通過這兩題我們發現，有時候難以處理導函數的正負情況時，我們需要使用觀察法去尋找它的零點，從而進行討論，看是否能確定單調性〔零點通常是〕等等16.函數，討論函數的單調性；解析：由得＞0且．當是奇數時，，那么在上是增函數;當是偶數時，那么.17.函數在[1，＋∞〕上為增函數，且，，m∈R．〔1〕假設在[1，＋∞〕上為單調函數，求m的取值范圍；〔2〕設，假設在[1，e]上至少存在一個，使成立，求的取值范圍．解析：〔1〕．．∵在其定義域內為單調函數，∴或者在[1，＋∞〕恒成立．等價于，即，而，〔〕max=1，∴．等價于，即在[1，＋∞〕恒成立，而∈〔0，1]，．綜上，m的取值范圍是．〔2〕構造，．當時，，，，所以在[1，e]上不存在一個，使得成立．當時，．因為，所以，，所以在恒成立．故在上單調遞增，，只要，解得．故的取值范圍是．18.〔2023.03蘇錫常鎮一調〕函數，其中m，a均為實數．〔1〕求的極值；〔2〕設，假設對任意的，恒成立，求的最小值；〔3〕設，假設對任意給定的，在區間上總存在，使得成立，求的取值范圍．解析：令易得所以在上單調遞增，在上單調遞減所以當時，有極大值，極大值為無極小值時，易證單增，單減不妨設所以有恒成立即恒成立由題易知必須有單減求導整理得在恒成立易證右邊這個函數單調減所以有易知時，由題可知在上有兩根時，單調不合題意時，由易得所以函數在單減，在單增畫出簡圖如下由題要有兩個跟于是我們有容易得到時，所以顯然有綜上所述，19.設函數,其中.(I)當時,判斷函數在定義域上的單調性;(II)求函數的極值點;(III)證明對任意的正整數,不等式都成立.解：(I)函數的定義域為.，令，那么在上遞增，在上遞減，.當時，，在上恒成立.即當時,函數在定義域上單調遞增。〔II〕分以下幾種情形討論：〔1〕由〔I〕知當時函數無極值點.〔2〕當時，，時，時，時，函數在上無極值點。〔3〕當時，解得兩個不同解，.當時，，，此時在上有唯一的極小值點.當時，在都大于0，在上小于0，此時有一個極大值點和一個極小值點.綜上可知，時，在上有唯一的極小值點；時，有一個極大值點和一個極小值點；時，函數在上無極