考點17平面向量的概念及其線性運算1．平面向量的實際背景及基本概念（1）了解向量的實際背景.（2）理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義.（3）理解向量的幾何表示.2．向量的線性運算（1）掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.（2）掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.（3）了解向量線性運算的性質及其幾何意義.一、平面向量的相關概念名稱定義表示方法注意事項向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量或；模或平面向量是自由向量零向量長度等于0的向量，方向是任意的記作零向量方向是任意的單位向量長度等于1個單位的向量常用表示非零向量的單位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量與共線可記為與任一向量平行或共線共線向量平行向量又叫共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量的相反向量為二、向量的線性運算1．向量的加法、減法、數乘運算及其幾何意義、運算律2．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一的一個實數λ，使得.【注】限定a≠0的目的是保證實數λ的存在性和唯一性．考向一平面向量的基本概念解決向量的概念問題應關注以下六點：(1)正確理解向量的相關概念及其含義是解題的關鍵．(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關．(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數圖象移動混為一談．(6)非零向量a與的關系：是a方向上的單位向量．(7)向量與數量不同，數量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數，故可以比較大小.典例1設a0為單位向量，給出下列命題：①若a為平面內的某個向量，則a=|a|a0；②若a與a0平行，則a=|a|a0；③若a與a0平行且|a|=1，則a=a0.上述命題中，假命題的個數是A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a=?|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數是3.故選D.1．設都是非零向量，下列四個條件，使成立的充要條件是A． B．C．且 D．且方向相同考向二向量的線性運算平面向量線性運算問題的求解策略：(1)進行向量運算時，要盡可能地將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應邊成比例等性質，把未知向量用已知向量表示出來．(2)向量的線性運算類似于代數多項式的運算，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用．(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結果.典例2如圖,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點,BC=3A．13ABC．-13【答案】D【解析】由題意得，AF=BF【名師點睛】高考對向量加法、減法運算的考查，重在對加法法則、減法法則的理解，要特別注意首尾順次相接的若干向量的和為的情況.一般將向量放在具體的幾何圖形中，常見的有三角形、四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、梯形）、正六邊形等.在解決這類問題時，要注意向量加法、減法和共線（相等）向量的應用.當運用三角形加法法則時，要注意兩個向量首尾順次相接，當兩個向量共起點時，可以考慮用減法.2．已知的外心P滿足AP=13(A．12 B．C．-13典例3如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點，，則____________.【答案】2【解析】由平行四邊形法則，得，故λ=2.3．在中，N是AC邊上一點，且，P是BN上的一點，若，則實數m的值為A． B．C． D．考向三共線向量定理的應用共線向量定理的主要應用：(1)證明向量共線：對于非零向量a，b，若存在實數λ，使a=λb，則a與b共線．(2)證明三點共線：若存在實數λ，使，則A，B，C三點共線．【注】證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點.(3)求參數的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數的值．典例4已知兩個非零向量a與b不共線.（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a?b),求證:A,B,D（2）試確定實數k,使ka+b和a+kb共線.【答案】（1）證明見解析；（2）k=1或?1.【解析】（1）∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a?b∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a?b)=5(a+b∴AB,BD共線,又∵它們有公共點B,∴A,B,D三點共線.（2）∵ka+b與a+kb共線,∴存在實數λ,使得ka+b=λ(a+kb),∴(k?λ)a=(λk?1)b.∵a,b是兩個不共線的非零向量,∴k?λ=λk?1=0,∴k2?1=0,∴k=1或?1.【名師點睛】利用向量證明三點共線時,一般是把問題轉化為證明過同一點的兩條有向線段所在的向量共線.對于第（2）問,解決此類問題的關鍵在于利用向量共線的條件得出ka+b=λ(a+kb),再利用對應系數相等這一條件,列出方程組,解出參數.4．已知向量AB=a-kb,CB=2aA．10 B．-10C．2 D．-21．下列命題正確的是A． B．C． D．2．設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內任意一點，則等于A． B．C． D．3．如圖，已知AB是圓O的直徑，點C、D是半圓弧的兩個三等分點，AB=ADA．0 B．1C．-1 D．-4．已知正方形ABCD的邊長為1，AB

=a，BC

=b，AC

=c，則|a+b+c|等于A．0 B．C．2 D．35．已知向量是兩個不共線的向量，若共線，則的值為A． B．?2C． D．26．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F,若AC=a,A．14a+1C．23a+17．設向量=，=，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．若P為所在平面內的一點，且滿足PA+PB+PCA．P在的內部 B．P在的外部C．P在AB邊所在的直線上 D．P在AC邊所在的直線上9．在中,D在AB上,AD:DB=1:2,E為AC中點,CD、BE相交于點y∈R)A．12,13C．15,2510．設O在的內部，D為AB的中點，且，則的面積與的面積的比值為A．3 B．4C．5 D．611．已知向量a,b不平行,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,設t∈R，3a=c,2b=d,e=t(a+b),若C,D,E12．設D,E分別是的邊AB,BC上的點,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2為實數),則λ1+λ213．已知向量中任意兩個都不共線,且與共線,與共線,則向量________.14．若O是ΔABC所在平面內一點，且滿足|OB-OC15．如圖，在中，為上不同于，的任意一點，點滿足.若，則的最小值為________.1．（2017年高考新課標Ⅱ卷）設非零向量，滿足，則A．⊥ B．C．∥ D．變式拓展變式拓展1．【答案】D2．【答案】A【解析】取BC的中點D，連接AD,PD，則AP=AD+DP=12AB+12AC+3．【答案】B【解析】如圖，因為，所以，又B,P,N三點共線，所以，則.4．【答案】C考點沖關考點沖關1．【答案】D【解析】A中,兩個向量的模相等,但是方向不一定相同,所以不正確；B中,兩個向量不能比較大小,所以錯誤；C中,向量平行只能得到方向相同或相反,不能得到向量相等,所以錯誤；D中,如果一個向量的模等于0,則這個向量是0

.2．【答案】D3．【答案】D【解析】連接OC、OD、CD，由點C，D是半圓弧的三等分點，得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，且ΔOAC和ΔOCD均為邊長等于圓4．【答案】B【解析】由題意知：a+b=c，且5．【答案】A【解析】向量共線，則存在實數滿足：，據此可得：，解得.本題選擇A.6．【答案】C【解析】因為AB∥CD,所以DFAB=DEEB=7．【答案】A【解析】充分性：當時，，∴，∴成立，充分性成立；必要性：∵且，∴，解得，必要性不成立，故為充分不必要條件.8．【答案】D9．【答案】C【解析】因為AD:DB=1:2,E為AC中點，所以AD=13AB,AE=12AC.因為D、P、C三點共線，所以存在實數μ，使得DP=μDC=μ(AC-AD)=AP-AD10．【答案】B【解析】∵D為AB的中點，則，又，∴，∴O為CD的中點，又∵D為AB中點，∴，則.11．【答案】6【易錯分析】本題可以根據向量共線滿足的條件列出等式解決,但在得出等式后根據平面向量基本定理列式解決時,容易忽視平面向量基本定理的使用條件,出現漏解,漏掉了當a,b共線時,t可為任意實數這個解.考生應該注意向量共線與直線共線的區別,向量共線是指向量所在的直線平行或者重合,而直線共線是指它們重合.12．【答案】12【解析】由題意得DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(BA+AC)=?16AB+