第06講圓的基本性質考點定位精講講練1.圓的認識（1）圓的定義定義①：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．（2）與圓有關的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優弧，小于半圓的弧叫做劣弧．（3）圓的基本性質：①軸對稱性．②中心對稱性．2.垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．3.垂徑定理的應用垂徑定理的應用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數方法解決幾何問題即幾何代數解的數學思想方法一定要掌握．4.弧、弦、圓心角的關系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優弧或劣弧．（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關系三者關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉不變性，即：圓繞其圓心旋轉任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應用上述定理解決問題時，可根據需要，選擇其有關部分．5.圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉化．②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．考點一:圓的認識（2020秋?宜州區期末）下列4個說法中：①直徑是弦；②弦是直徑；③任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸；④弧是半圓；正確的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據弧的分類、圓的性質對各小題進行逐一分析即可．【解答】解：①直徑是最長的弦，故本小題說法正確；②弦是不一定是直徑，故本小題說法錯誤；③經過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸，故本小題說法正確；④半圓是弧，但弧不一定是半圓，故本小題說法錯誤．故選：．【點評】本題考查的是圓的認識，熟知軸對稱的性質以及弦的定義．注意熟記定理是關鍵．（2020秋?武安市期末）如圖，是圓弦的是A．線段 B．線段 C．線段 D．線段【分析】根據弦的定義確定答案即可．【解答】解：弦是圓上兩點間的的線段，圖中是弦，其他均不是，故選：．【點評】考查了圓的認識，了解弦的定義是解答本題的關鍵，難度不大．（2020秋?雨花區月考）對下列生活現象的解釋其數學原理運用錯誤的是A．把一條彎曲的道路改成直道可以縮短路程是運用了“兩點之間線段最短”的原理 B．木匠師傅在刨平的木板上任選兩個點就能畫出一條筆直的墨線是運用了“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”的原理 C．將自行車的車架設計為三角形形狀是運用了“三角形的穩定性”的原理 D．將車輪設計為圓形是運用了“圓上所有的點到圓心的距離相等”的原理【分析】利用兩點之間線段最短、兩點確定一條直線、三角形的穩定性和圓的性質可對四種生活現象進行解釋．【解答】解：、把一條彎曲的道路改成直道可以縮短路程是運用了“兩點之間線段最短”的原理，所以選項說法正確；、木匠師傅在刨平的木板上任選兩個點就能畫出一條筆直的墨線是運用了“兩點確定一條直線”的原理，所以選項的說法錯誤；、將自行車的車架設計為三角形形狀是運用了“三角形的穩定性”的原理，所以選項說法正確；、將車輪設計為圓形是運用了“圓上所有的點到圓心的距離相等”的原理，所以選項說法正確．故選：．【點評】本題考查了圓的認識：熟練掌握與圓有關的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了線段的性質．考點二：垂徑定理及應用（2021?南崗區模擬）如圖，的直徑垂直弦于點，且為半徑的中點，若，則直徑的長為A． B．6 C． D．【分析】連接，設的半徑為，則，根據垂徑定理求出，在中，由勾股定理得出方程，求出即可．【解答】解：連接，設的半徑為，則，，，，在中，由勾股定理得：，，解得：（負值舍去），即的直徑，故選：．【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理的應用，解此題的關鍵是能正確作出輔助線構造直角三角形，用了方程思想．（2021?碑林區校級模擬）如圖，經過圓心，于，若，，則所在圓的半徑為A．3 B．4 C． D．【分析】連接，設弧所在圓的半徑為，則，，根據垂徑定理求出，再在中，根據勾股定理得出方程，求出即可．【解答】解：如圖，連接，設弧所在圓的半徑為，則，，經過圓心，于，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，故選：．【點評】本題考查了勾股定理，垂徑定理的應用等知識；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．（2021?廣州模擬）如圖，拱橋可以近似地看作直徑為的圓弧，橋拱和路面之間用數根鋼索垂直相連，其正下方的路面長度為，那么這些鋼索中最長的一根的長度為A． B． C． D．【分析】設圓弧的圓心為，過作于，交于，連接，先由垂徑定理得，再由勾股定理求出，然后求出的長即可．【解答】解：設圓弧的圓心為，過作于，交于，連接，如圖所示：則，，，，即這些鋼索中最長的一根為，故選：．【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．考點三：弧、弦、圓心角的關系及圓周角定理（2021?浦東新區模擬）下列四個命題：①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等；②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．真命題的個數有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用圓的有關性質分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等，錯誤，是假命題，不符合題意；②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等，正確，是真命題，符合題意；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等，正確，是真命題，符合題意；④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，正確，是真命題，符合題意，真命題有3個，故選：．【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解圓的有關性質，難度不大．（2020秋?郁南縣期末）如圖，為半圓的直徑，點、為的三等分點，若，則的度數是A． B． C． D．【分析】求出，可得結論．【解答】解：點、為的三等分點，，，，，故選：．【點評】本題考查圓心角，弧，弦之間的關系，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（2021?泰安）如圖，四邊形是的內接四邊形，，，，，則的長為A． B． C． D．2【分析】延長、交于，先利用直角三角形的性質求得的長，然后再求得的長，從而求得答案．【解答】解：延長、交于，，，，，，在中，，在中，，，故選：．【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．（2021?南沙區一模）如圖，四邊形內接于，為延長線上一點．若，則的度數是A． B． C． D．【分析】首先利用鄰補角求得的度數，然后利用圓周角定理求得答案即可．【解答】解：，，，故選：．【點評】考查了圓周角定理的知識，解題的關鍵是了解同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，難度不大．一、單選題1．（2021·浙江九年級月考）如圖，在⊙O中，半徑r=10，弦AB=16，P是弦AB上的動點，則線段OP長的最小值是（）A．10 B．16 C．6 D．8【答案】C【分析】過點O作OC⊥AB于C，連接OA，根據垂徑定理的求得AC=8，由勾股定理求出OC=6，由垂線段最短得：當P與C重合時，OP最短為6即可．【詳解】解：過點O作OC⊥AB于C，連接OA，∴AC=AB=×16=8，∵⊙O的半徑r=10，∴OA=10，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OC==6，由垂線段最短得：當P與C重合時，OP最短=OC=6，故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及最短線段，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．2．（2021·浙江諸暨市暨陽初級中學九年級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，以點C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、AC于點D、點E，則弧BD的度數為（）A．52° B．26° C．64° D．128°【答案】A【分析】先利用直角三角形的兩銳角互余得出，再利用半徑相等和等腰三角形的性質得到，則根據三角形內角和定理可計算出，然后根據圓心角的度數等于它所對弧的度數求解即可．【詳解】解：，，，，，，的度數為．故選A．【點睛】本題考查了直角三角形的性質、等腰三角形的性質以及圓心角的性質，圓心角的度數等于它所對弧的度數是解題的關鍵．3．（2021·紹興市柯橋區楊汛橋鎮中學九年級二模）如圖，正方形ABCD的頂點A、B在⊙O上，頂點C、D在⊙O內，將正方形ABCD繞點B順時針旋轉α度，使點C落在⊙O上．若正方形ABCD的邊長和⊙O的半徑相等，則旋轉角度α等于（）A．36° B．30° C．25° D．22.5°【答案】B【分析】連接OA，OB，OG，由旋轉的性質可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α，先證明△OAB和△OBG都是等邊三角形，得到∠OBA=∠OBG=60°，再由∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OB，OG，由旋轉的性質可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α∵正方形ABCD的邊長和⊙O的半徑相等，∴OA=OB=OG=BG=AB，∴△OAB和△OBG都是等邊三角形，∴∠OBA=∠OBG=60°，∵∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，∠ABC=90°（正方形的性質），∴∠CBG=30°，∴α=30°，故選B．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質與判定，正方形的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．4．（2021·廣東九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BOC＝100°，則∠D的度數為（）A．25° B．50° C．40° D．80°【答案】C【分析】連接BD，由AB是直徑，得到∠ADB=90°，再由圓心角與圓周角的關系得到∠BDC=50°，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接BD，∵AB是⊙O直徑，∴∠BDA＝90°，∵∠BOC=100°∠CDB＝50°，∴∠ADC＝40°，故選C．【點睛】本題考查圓周角定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．5．（2021·廣東九年級期末）如圖；“圓材埋壁”是我國古代著名數學著作《九章算術》中的問題：“今有圓材；埋在壁中；不知大小；以鋸鋸之；深一寸；鋸道長一尺；問徑幾何”用幾何語言可表述為：CD為⊙O的直徑；弦AB垂直CD于點E；CE＝1寸；AB＝10寸；則直徑CD的長為（）A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸【答案】D【分析】根據垂徑定理和勾股定理求解．【詳解】解：連接OA，如圖所示，設直徑CD的長為2x寸，則半徑OA=OC=x寸，∵CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，∴AE=BE=AB=×10=5寸，根據勾股定理得x2=52+(x-1)2，解得x=13，CD=2x=2×13=26（寸）．故選：D．【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解決問題的關鍵．6．（2021·湖南長沙市·明德華興中學九年級開學考試）如圖，圓周角∠ACB的度數為48°，則圓心角∠AOB的度數為（）A．48° B．24° C．36° D．96°【答案】D【分析】同圓中，同弧所對的圓周角=圓心角的一半．【詳解】解：由題意得，圓周角∠ACB的度數為48°，圓心角∠AOB的度數為48°，故選：D．【點睛】本題考查圓周角定理，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．7．（2021·廣州市南武實驗學校九年級期末）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若它的一個外角∠DCE＝65°，則∠A的度數為（）A．112° B．68° C．65° D．52°【答案】C【分析】圓的內接四邊形內對角互補．【詳解】解：由題意得，∠A+∠BCD=180°，又∠DCE+∠BCD=180°，所以∠A=∠DCE=65°，故選：C．【點睛】本題考查圓的內接四邊形，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．8．（2021·四川省宜賓市第二中學校九年級一模）如圖，為的直徑，弦，垂足為，，，則的半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．無法確定【答案】C【分析】連接OA，由垂徑定理得AE=3，設OA=OC=x，根據勾股定理列出方程，進而即可求解．【詳解】連接OA，∵為的直徑，弦，∴AE=AB=3，設OA=OC=x，則OE=x-1，∴，解得：x=5，∴的半徑為5．故選C．【點睛】本題主要考查垂徑定理和勾股定理，添加輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵．9．（2021·全國）如圖，已知是的直徑，過點的弦平行于半徑，若的度數是，則的度數是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據平行線的性質和圓周角定理計算即可；【詳解】∵，，∵，∴．故選A．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、平行線的性質，準確計算是解題的關鍵．10．（2021·哈爾濱市蕭紅中學九年級三模）如圖，是的外接圓，，于點，，則的半徑為（）．A． B． C．6 D．12【答案】A【分析】根據圓周角定理求出，再根據垂徑定理和所對直角邊是斜邊的一半計算即可；【詳解】∵是的外接圓，，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴；故選A．【點睛】本題主要考查了圓周角定理和垂徑定理的應用，結合所對直角邊是斜邊的一半計算是解題的關鍵．11．（2021·紹興市柯橋區楊汛橋鎮中學九年級二模）如圖，這是一張從某大橋正側面拍攝的照片，大橋的主橋拱為圓弧型，橋面AB長為80米，且與水面平行，小王用計算機根據照片對大橋進行了模擬分析，在橋正下方的水面上取一點P，在橋面AB上取點C，作射線PC交弧（主橋拱）于點D，畫出了PC與PD關于AC長的函數圖象，下列對此橋的判斷不合理的是（）A．在橋拱正下方部分的橋面EF的實際長度約為50米．B．橋拱的最高點與橋面AB的實際距離約為18米．C．拍攝照片時，橋面離水面的實際高度約為11米．D．橋面上BF段的實際長度約20米．【答案】B【分析】結合函數圖像進行逐一分析判斷即可得到答案．【詳解】解：A、函數圖像中PC與PD函數圖像的交點即為橋拱與橋面的交點E、F，對應的橫坐標分別為1、6，根據橫坐標最大為8，AB=80米，∴橫坐標一個單位長度對應的長度是10米，∴EF=10×（6-1）=50米，故A不符合題意；B、如圖當D在最高點，作DH⊥AB于H，若DH=18m，則斜邊CD的長大于18m，即，即在函數圖像上，而由函數圖像可知，PC與PD的差值最大沒有達到1.8，因此橋拱的最高點與橋面AB的實際距離小于18米，故B符合題意；C、PC的縱坐標最低時，此時PC⊥AB，由函數圖像可知，此時正好在1.1處，即高度為11米，故C不符合題意；D、由函數圖像可知F的橫坐標為6，B的橫坐標為8，即F、B之間的距離為20，故D不符合題意；故選B．【點睛】本題主要考查了從函數圖像中獲取信息進行求解，解題的關鍵在于能夠準確讀懂函數圖像．12．（2020·沭陽縣懷文中學九年級月考）有下列說法：①直徑是圓中最長的弦；②等弧所對的弦相等；③圓中90°的角所對的弦是直徑；④相等的圓心角對的弧相等；⑤平分弦的直徑垂直于弦；⑥任意三角形一定有一個外接圓．其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據直徑的定義對①進行判斷；根據圓心角、弧、弦的關系對②④進行判斷；根據圓周角定理對③進行判斷；根據垂徑定理對⑤進行判斷；根據三角形外接圓的定義對⑥進行判斷．【詳解】解：①直徑是圓中最長的弦；故①正確，符合題意；②能夠重合的弧叫做等弧，等弧所對的弦相等；故②正確，符合題意；③圓中90°的圓周角所對的弦是直徑；故③錯誤，不符合題意；④在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等；故④錯誤，不符合題意；⑤平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦；故⑤錯誤，不符合題意；⑥任意三角形一定有一個外接圓；故⑥正確，符合題意；其中正確的有①②⑥，故選：B．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形外接圓的定義、直徑的定義理解，準確分析判斷是解題的關鍵．二、填空題13．（2021·全國九年級課時練習）如圖，是的弦，長為8，是上一個動點（不與、重合），過點作于點，于點，則的長為________．【答案】4【分析】先利用垂徑定理可得，，再根據三角形中位線定理，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，，∴是的中位線，∴．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，三角形形的中位線定理，得到是的中位線是解題的關鍵．14．（2021·湖南師大附中博才實驗中學九年級二模）如圖，是的直徑，點、是圓上兩點，且，則__________．【答案】27°【分析】由∠AOC=126°，可求得∠BOC的度數，然后由圓周角定理，求得∠CDB的度數．【詳解】解：∵∠AOC=126°，∴∠BOC=180°-∠AOC=54°，∵∠CDB=∠BOC=27°．故答案為：27°．【點睛】此題考查了圓周角定理及圓心角、弧的關系．注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．15．（2021·全國）如圖，是的弦，是上一點，交于點，連接，，若，，則的度數為________．【答案】【分析】設∠AOC=x°，根據圓周角定理得到∠B的度數，根據三角形的外角的性質列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：設∠AOC=x°，則∠B=x°，∵∠AOC=∠ODC+∠C，∠ODC=∠B+∠A，∴x=20°+30°+x，解得x=100°．故選A．【點睛】本題主要考查的是圓周角定理和三角形的外角的性質，掌握一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵．16．（2021·浙江九年級月考）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，若M是⊙O中弦CD的中點，EM經過圓心O交⊙O于點E，并且CD=8，EM=8，則⊙O的半徑為_________．【答案】5【分析】根據垂徑定理得EM⊥CD，則CM=DM=4，在Rt△COM中，由勾股定理得OC2=CM2+OM2，進而可求得半徑OC即可．【詳解】解：連接OC，如圖所示：∵M是⊙O弦CD的中點，CD=8，∴EM⊥CD，CM=DM=CD=4，設⊙O的半徑為x，在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2=CM2+OM2，即：x2=42+(8-x)2，解得：x=5，即⊙O的半徑為5，故答案為：5．【點睛】本題主要考查了垂徑定理的應用，勾股定理等知識；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．17．（2021·江蘇鹽城·景山中學九年級月考）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點E，∠C＝40°，∠AED＝100°，則∠D＝______．【答案】60°【分析】首先根據圓周角定理的推論，得∠C=∠ABD，再根據三角形外角的性質即可求得∠D的度數．【詳解】解：∵∠C=40°，∴∠C=∠B=40°．∵∠AED=100°，∴∠D=∠AED-∠B=100°-40°=60°．故答案是：60°．【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形的外角的性質，熟記圓周角定理是解題的關鍵．18．（2020·廣州市第七中學九年級期中）點A，B，S在圓上，若弦AB的長度等于圓半徑的倍，則的度數是____________．【答案】【分析】連接OA，OB，則OA=OB，又有弦AB的長度等于圓半徑的倍，可得，又在中，，從而得到是直角三角形，且，再由圓周角定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接OA，OB，則OA=OB，∵弦AB的長度等于圓半徑的倍，∴，∴，在中，，∴，∴是直角三角形，且，∵S在圓上，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓的基本性質，圓周角定理，勾股定理的逆定理，根據勾股定理逆定理得到是解題的關鍵．19．（2021·全國九年級課時練習）如圖是一條直徑為2米的圓形污水管道橫截面，其水面寬1.6米，則此時污水的最大深度為________米．【答案】0.4【分析】連接，過點作于點，根據垂徑定理求出AD，再根據勾股定理計算即可；【詳解】如圖，連接，過點作于點，∵，米，∴（米），∵圓形污水管道的直徑為2米，∴米，在中，根據勾股定理得，（米），∴（米）．故答案是0.4．【點睛】本題主要考查了垂徑定理的應用、勾股定理，準確計算是解題的關鍵．20．（2020·沭陽縣懷文中學九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在圖中畫出經過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的位置；（2）點M的坐標為；⊙M的半徑為；（3）點D（5，﹣2）與⊙M的位置關系是點D在⊙M；（4）若畫出該圓弧所在圓，則在整個平面直角坐標系網格中該圓共經過個格點．【答案】（1）見解析；（2）（2，0），2；（3）內部；（4）8【分析】（1）作線段AB，BC的垂直平分線交于點M，點M即為所求．（2）根據點M的位置寫出坐標即可，利用勾股定理求出半徑．（3）根據點與圓的位置關系判斷即可．（4）利用圖像法，判斷即可．【詳解】解：（1）如圖，點M即為所求．（2）M（2，0），MA＝＝．故答案為：（2，0），2．（3）點D（5﹣2）在⊙M內部．故答案為：內部．（4）如圖，滿足條件的點有8個．故答案為：8．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，坐標與圖形的性質，垂徑定理，點與圓的位置關系，三角形的外接圓與外心等知識，解題的關鍵是掌握線段的垂直平分線的性質．21．（2021·哈爾濱市蕭紅中學九年級三模）設直線與圓交于、兩點，為直線上一點，若圓的直徑為10，，，則的值為_______．【答案】3或【分析】作，則，根據勾股定理求得，根據點P在線段AB上和點P在線段AB的延長線上兩處分別計算即可；【詳解】作，∵，則，∵，∴，當點P在線段AB上時，；當點P在線段AB的延長線上時，；故答案是：3或．【點睛】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理和銳角三角函數的定義，準確計算是解題的關鍵．22．（2021·宜興市實驗中學九年級二模）如圖，點在以為直徑的半圓上，，，點在線段上運動，點與點關于對稱，于點，并交的延長線于點．當點從點運動到點時，線段掃過的面積是______．【答案】48【分析】首先根據對稱性確定線段EF掃過的圖形，然后探究出該圖形與△ABC的關系，就可求出線段EF掃過的面積．【詳解】解：∵AC是半圓的∴∵，，∴∵點D與點E關于AC對稱，點D與點F關于BC對稱，∴當點D從點A運動到點B時，點E的運動路徑AM與AB關于AC對稱，點F的運動路徑NB與AB關于BC對稱．∴EF掃過的圖形就是圖5中陰影部分．∴S陰影=2S△ABC=2×=AC?BC=6×8=48∴EF掃過的面積為48．故答案為：48．【點睛】此題主要考查了軌跡問題，圓周角定理的應用，以及軸對稱的性質和應用，要熟練掌握．23．（2021·西寧市教育科學研究院中考真題）如圖，是的直徑，弦于點E，，，則的半徑_______．【答案】【分析】設半徑為r，則，得到，由垂徑定理得到，再根據勾股定理，即可求出答案．【詳解】解：由題意，設半徑為r，則，∵，∴，∵是的直徑，弦于點E，∴點E是CD的中點，∵，∴，在直角△OCE中，由勾股定理得，即，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握垂徑定理和勾股定理進行解題．24．（2020·沭陽縣懷文中學九年級月考）如圖，平面直角坐標系中，分別以點A（4，6）、點B（6，8）為圓心，以2、6為半徑作⊙A、⊙B，M，N分別是⊙A、⊙B上的動點，P為x軸上的動點，則PM＋PN的最小值為__________________．【答案】【分析】作⊙A關于x軸的對稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N，交x軸于P，如圖，根據兩點之間線段最短得到此時PM+PN最小，再利用對稱確定A′的坐標，接著利用兩點間的距離公式計算出A′B的長，然后用A′B的長減去兩個圓的半徑即可得到MN的長，即得到PM+PN的最小值．【詳解】解：作⊙A關于x軸的對稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N，交x軸于P，如圖，則此時PM+PN最小，∵點A坐標（4，6），∴點A′坐標（4，﹣6），∵點B（6，8），∴A′B10，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝102﹣6＝108，∴PM+PN的最小值為108．故答案為：108．【點睛】本題考查了圓的綜合題：掌握與圓有關的性質和關于x軸對稱的點的坐標特征；會利用兩點之間線段最短解決線段和的最小值問題；會運用兩點間的距離公式計算線段的長；理解坐標與圖形性質．三、解答題25．（2021·浙江九年級月考）如圖，點P是⊙O內一定點．（1）過點P作弦AB，使點P是AB的中點（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若⊙O的半徑為13，OP=5，①求過點P的弦的長度m范圍；②過點P的弦中，長度為整數的弦有______條．【答案】（1）見解析；（2）①過點P的弦的長度m范圍為24≤m≤26；②4【分析】（1）連接OP并延長，過點P作AB⊥OP即可；（2）①過點P的所有弦中，直徑最長為26，與OP垂直的弦最短，由垂徑定理和勾股定理求出AB=24，即可得出答案；②過P點最長的弦為直徑26，最短的弦24，長度為25的弦有2條，即可得出結論．【詳解】解：（1）如圖1，連接OP并延長，過點P作AB⊥OP，則弦AB即為所求；（2）①過點P的所有弦中，直徑最長為直徑26，與OP垂直的弦最短，連接OA，如圖2所示：∵OP⊥AB，∴AP=BP===12，∴AB=2AP=24，∴過點P的弦的長度m范圍為24≤m≤26；②∵過P點最長的弦為直徑26，最短的弦24，長度為25的弦有兩條，∴過點P的弦中，長度為整數的弦共有4條，故答案為：4．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及作圖；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．26．（2021·河南省淮濱縣第一中學九年級期末）如圖，為等邊△ABC的外接圓，半徑為2，點D在劣弧上運動（不與點A，B重合），連接DA，DB，DC．求四邊形ADBC的面積的最大值．【答案】四邊形ADBC的面積的最大值為．【分析】根據旋轉的性質得到CD=CH，，推出點D，點B，點H三點共線，得到是等邊三角形，根據三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：如圖，將△ADC繞點C逆時針旋轉60°，得到△BHC，∴CD=CH，∠DAC=∠HBC，∵四邊形ACBD是圓內接四邊形，∴∠DAC+∠D