2.1

古典概型的概率計算公式自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習課標定位素養闡釋1.通過實例概括出古典概型的兩個基本特征,理解古典概型.2.掌握古典概型的概率計算公式.3.會用列舉法計算一些隨機事件所包含的樣本點數及其發生的概率.4.體會數學中解決實際問題思想,提升數學建模素養.

自主預習·新知導學一、事件的概率【問題思考】1.如何描述一個隨機事件發生的可能性?提示:概率.2.拋擲一枚質地均勻的硬幣,“出現正面向上”的可能性是多少?3.對于一個隨機事件A,我們通常用一個數P(A)(0≤P(A)≤1)來表示該事件發生的可能性的大小,這個數就稱為隨機事件A的概率.4.概率如何刻畫隨機事件?提示:概率度量了隨機事件發生的可能性的大小,是對隨機事件統計規律性的數量刻畫.二、古典概型【問題思考】1.試驗E1:拋擲一枚質地均勻的骰子,觀察骰子擲出的點數,試驗E2:拋擲一枚質地均勻的硬幣,觀察正面、反面出現的情況.在試驗E1,E2中,樣本點有怎樣的共性?提示:有限性和等可能性.2.(1)古典概型定義:一般地,若試驗E具有如下特征:①有限性:試驗E的樣本空間Ω的樣本點總數有限,即樣本空間Ω為有限樣本空間;②等可能性:每次試驗中,樣本空間Ω的各個樣本點出現的可能性相等.則稱這樣的試驗模型為古典概率模型,簡稱古典概型.(2)古典概型的概率公式:對古典概型來說,如果樣本空間Ω包含的樣本點總數為n,隨機事件A包含的樣本點個數為m,那么事件A發生的概率為3.向一個圓內隨機地投射一個點,觀察點落在圓內的不同位置,你認為這個情境適合用古典概型來描述嗎?為什么?提示:不適合,因為此試驗樣本空間的樣本點總數是無限的.

5.從編號為1,2,…,12的12道題目中,隨機抽1道題目,抽到編號大于8的題目的概率P=

.

解析:從編號為1,2,…,12的12道題目中,隨機抽1道題目,樣本點總數為12,事件“抽到編號大于8的題目”所含樣本點個數為4,所以【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)“在適宜條件下,種下一粒種子觀察它是否發芽”屬于古典概型,其樣本空間的樣本點是“發芽”與“不發芽”.(

×

)(2)古典概型中的任意兩個樣本點都是互斥的.(

√

)(3)從1,2,3,4,5中不放回地依次隨機取出兩個數,其和為5的概率是0.2.(

√

)(4)拋擲一枚均勻的骰子,觀察擲出的點數,擲出的點數是偶數的概率為

.(

√

)(5)對于任意事件A,滿足0≤P(A)<1.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

樣本點個數的求法【例1】

從含有2件正品a1,a2和1件次品b的3件產品中,按先后順序任意取出2件產品,每次取出后不放回,計算:(1)一共有多少種不同的結果?(2)取出的2件產品中恰有1件次品的結果有多少種?解:(1)按照題意,取產品的過程可用樹狀圖直觀表示,如圖.

因此樣本空間Ω={(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},包含6個樣本點,即一共有6種不同的結果.(2)由(1)可知,取出的2件產品中恰有1件次品的結果有(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2),共4種.列舉法是探求樣本點的常用方法,列舉時必須按照某一標準進行,要做到不重、不漏.【變式訓練1】

求下列各試驗中樣本點的個數,并指出包含哪些樣本點.(1)從字母a,b,c中任取2個字母;(2)從裝有大小、質地完全相同,且分別標有1,2,3,4,5的5個球的袋中任意取出2個球.解:(1)從3個字母中任取2個字母有3種等可能的結果,即樣本空間樣本點的個數為3,分別是(a,b),(a,c),(b,c).(2)從分別標有1,2,3,4,5的5個球中任意取出2個球,共包含10個樣本點,分別為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).探究二

古典概型的概念【例2】

(1)在區間[0,3]上任取一個數,求此數小于1的概率,問此試驗的概率模型是否為古典概型?為什么?(2)從1,2,3,4四個數中任意取出兩個數,求所取兩數之一是2的概率,此試驗的概率模型是古典概型嗎?試說明理由.解:(1)此試驗的概率模型不屬于古典概型.因為在區間[0,3]上任取一個數,區間[0,3]上的每個數被取到的可能性是相等的,具備等可能性.但試驗結果有無限多個,不滿足試驗結果的有限性.(2)此試驗的概率模型是古典概型.因為此試驗的樣本點總數為6,分別為(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),且每個樣本點的出現是等可能的,因此屬于古典概型.判斷一個試驗的概率模型是否為古典概型,關鍵是看它是否具備古典概型的兩個特征:(1)試驗的樣本空間的樣本點總數有限,即有限性;(2)每次試驗中,樣本空間的各個樣本點出現的可能性相等,即等可能性.【變式訓練2】

(多選題)下列試驗是古典概型的有(

).A.在公交車站候車不超過10min的概率B.口袋里有2個白球和2個黑球,這4個球除顏色外完全相同,從中任取一球,觀察顏色C.向一個圓面內隨機地投一個點,觀察該點是否落入圓內接正方形內D.向上拋擲一枚均勻的硬幣,觀察正面、反面出現的情況解析:用古典概型的兩個特征去判斷即可.對于選項A,因為10

min是個時間段,樣本點的總數有無限個,所以不是古典概型;對于選項B,因為有摸到白球、摸到黑球兩種可能的結果,且摸到白球與黑球的概率都是

,所以是古典概型;對于選項C,因為樣本空間的樣本點總數有無限個,所以不是古典概型;對于選項D,因為硬幣質地均勻,所以正面、反面出現的可能性相等,所以是古典概型.答案:BD探究三

古典概型的概率計算【例3】

同時擲兩枚均勻的骰子,計算:(1)一共有多少種不同的結果?(2)向上的點數之和是5的結果有多少種?(3)向上的點數之和是5的概率是多少?解:(1)用有序數對(x,y)來表示拋擲結果,可能結果如圖直觀表示,樣本空間Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6},共有36個樣本點,即有36種不同的結果.(2)由上圖不難看出,向上點數之和是5的結果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種.(3)記事件A表示“向上的點數之和為5”,由(2)知事件A包含的樣本點個數為4,根據古典概型的計算公式可得1.本例條件不變,求向上的點數之和不大于7的概率.解:記“向上的點數之和不大于7”為事件C,則C={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(6,1)},共有21個樣本點.所以2.本例條件不變,求向上的點數之和為3的倍數的概率.解:記“向上的點數之和為3的倍數”為事件D,則D={(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6)},共有12個樣本點.所以求古典概型概率的計算步驟(1)確定樣本空間中樣本點的總數n.(2)確定事件A中包含的樣本點數m.(3)代入公式

求值.【變式訓練3】

某商場舉行購物抽獎促銷活動,規定每名顧客從裝有四個編號分別為0,1,2,3,大小、質地完全相同的小球的抽獎箱中,每次隨機取出一個球記下編號后放回,連續取兩次.若取出的兩個小球的編號相加之和等于6,則中一等獎;若等于5,則中二等獎;若等于4或3,則中三等獎.求:(1)中三等獎的概率;(2)中獎的概率.解:從四個小球中有放回地隨機取球兩次,則樣本空間Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)},共有16個樣本點,且每個樣本點出現的可能性相等.(1)設“中三等獎”為事件A,即取出的兩個小球的編號相加之和等于4或3,則A={(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)},共含有7個樣本點,(2)設“中獎”為事件B.由(1)知事件“中三等獎”包含7個樣本點;事件“中二等獎”,即兩個小球的編號相加之和等于5,包含的樣本點有(2,3),(3,2),共2個;事件“中一等獎”,即兩個小球的編號相加之和等于6,包含的樣本點有(3,3),共1個.易

錯

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析因找不全樣本點致誤【典例】

已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標,試寫出所有樣本點.錯解

樣本點有(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6).以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標,集合N中的元素既可以作為點的縱坐標,也可以作為點的橫坐標,錯解中少了以下樣本點:(-4,-2),(-4,3),(5,-2),(5,3),(6,-2),(6,3).正解:樣本點共有12個,它們是(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6),(-4,-2),(-4,3),(5,-2),(5,3),(6,-2),(6,3).弄清題意,避免遺漏.隨

堂

練

習1.下列隨機試驗的數學模型屬于古典概型的是(

)A.在一定的條件下,移植一棵吊蘭,它可能成活,也可能不成活B.在平面直角坐標系內,從橫坐標和縱坐標都為整數的所有點中任取一個點C.某射手射擊一次,可能命中0環、1環、2環、…、10環D.四名同學用抽簽的方法選一人去參加一個座談會答案:D2.已知在200瓶飲料中,有4瓶已過保質期,從中任取一瓶,則取到的是已過保質期的飲料的概率是(

)A.0.2 B.0.02

C.0.1

D.0.01答案:B3.從長度分別為2,3,4,5的四條線段中任意取出三條,則以這三條線段為邊可以構成三角形的概率是

.

解析:從長度分別為2,3,4,5的四條線段中任意取出三條共有4種不同的取法,其中可以構成三角形的有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),共3種,故所求概率為4.為了加強大學生實踐、