學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考中考解直角三角形考點一、直角三角形的性質1、直角三角形的兩個銳角互余：可表示如下：NC=90°nZA+ZB=90°2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半4、勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為如那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方〔2〔2〕已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關系。〔3〕用于證明線段平方關系的問題。〔4〕利用勾股定理，作出長為nn的線段考點三、銳角三角函數的概念1、如圖，在4ABC中，NC=90°①銳角A的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記為sinA,即sinA=②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記為cosA,即cosA=③銳角A的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記為tanA,即tanA=/ /巴的對邊/ a的鄰邊A b c上△的鄰辿上B的區楊/A的對邊_a斜邊 c/A的鄰邊_b斜邊 c/A的對邊_a/A的鄰邊b勾：直角三角形較短的直角邊 股：直角三角形較長的直角邊 弦：斜邊勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有下面關系：a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形。考點二、直角三角形的判定1、有一個角是直角的三角形是直角三角形、有兩個角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形。〔經典直角三角形：勾三、股四、弦五〕用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：〔1〕確定最大邊〔不妨設為c〕；〔2〕假設c2=a2+b2,則4ABC是以NC為直角的三角形；假設a2+b2Vc2,則此三角形為鈍角三角形〔其中c為最大邊〕；假設a2+b2>c2,則此三角形為銳角三角形〔其中c為最大邊〕4.勾股定理的作用： 三〔1〕已知直角三角形的兩邊求第三邊。 斜通

④銳角A的鄰邊與對邊的比叫做NA的余切，記為cotA,即cot4=2、銳角三角函數的概念銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做NA的銳角三角函數3、一些特殊角的三角函數值三角函數30°45°60°sina12412正2cosa正2三212tana正31cota有1正34、各銳角三角函數之間的關系〔1〕互余關系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)；〔2〕平方關系：sin2A+cos2A=1〔3〕倒數關系：tanA?tan(90°—A)=1sinA〔4〕商〔弦切〕關系：tanA=—cosA5、銳角三角函數的增減性當角度在0°~90°之間變化時，〔1〕正弦值隨著角度的增大〔或減小〕而增大〔或減小〕；〔2〕余弦值隨著角度的增大〔或減小〕而減小〔或增大〕;〔3〕正切值隨著角度的增大〔或減小〕而增大〔或減小〕；〔4〕余切值隨著角度的增大〔或減小〕而減小〔或增大〕考點四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理論依據在Rt△ABC中，NC=90°,NA,NB,NC所對的邊分別為a,b,c〔1〕三邊之間的關系：a2+b2=c2〔勾股定理〕〔2〕銳角之間的關系：NA+NB=90°〔3〕邊角之間的關系：正弦sin,余弦cos,正切tanS=1^=1ch⑷面積公式：”1 5一 〔hc為c邊上的高)考點五、解直角三角形應用1、將實際問題轉化到直角三角形中，用銳角三角函數、代數和幾何知識綜合求解2、仰角、俯角、坡面知識點及應用舉例：(1)仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考鉛垂線鉛垂線h（2）坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（坡比）。用字母i表示，即i=7。坡度一般寫成1：m的形式，如hi=1：5等。把坡面與水平面的夾角記作a（叫做坡角），那么i=-=tana。L3、從某點的指北方向按順時針轉到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3,OA、OB、OC、OD的方向角分別是：45°、135°、225°。解直角三角形的基本類型及其解法公式〔總結〕1、解直角三角形的類型與解法已知、解法三角\類型已知條件解法步驟RSABCc/%/ 11,' a1/ IA bC-兩邊兩直角邊〔如a,b〕由tanA=a，求NA；NB=90°—A,c=4a2+b2b斜邊，一直角邊〔如c,a〕由SinA=a，求NA；NB=90°—A,b=Jc2-a2 -邊 -角一角邊和一銳角銳角，鄰邊〔如NA,b〕NB—90—A,a—b?SinA,c— 4cosAcosA銳角，對邊〔如NA,a〕NB—90°—A,b—二，c—。八tanA si^A斜邊，銳角〔如c,NA〕NB—90°—A,a—c?SinA,b—c?cosA2、測量物體的高度的常見模型1〕利用水平距離測量物體高度數學模型所用工具應測數據數量關系根據原理產1a2"^'側傾器皮尺a、8、水平距離atana— ,tan8一x x1 2I_tana?tan8tana+tan8直角三角形的邊角關系4^1tana— tan8——a+x x1_tana?tan8tan8—tana

2）測量底部可以到達的物體的高度數學模型所用工具應測數據數量關系根據原理皮尺鏡子目高@1水平距離a2水平距離a：ha aa=―，,h=13aa a3 2 2反射定律ai、鏡子/ha a2 3hha11皮尺標桿標桿高a1標桿影長a2物體影長a3ha aa―3,h—1~~3aa a1 2 2同一時刻物高與影長成正比a ~3 2\aah皮尺側傾器側傾器高a1水平距離a；傾斜角ah一atana= 1,a2h=a1+a2tana矩形的性質和直角三角形的邊角關系a_x_a2 .hiah仰角a俯角B水平距離a1tana=j,tan8=—a a1 1h=h1+h2=a1〔tana+tanB〕矩形的性質和直角三角形的邊角關系"ha 2i ..3〕測量底部不可到達的物體的高度〔1〕數學模型所用工具應測數據數量關系根據理論h1 a 8 x h仰角a俯角8高度atana=—,tan8=—X Xh=a+h=a+tanRa=a(1+tanR)i tan8 tan8矩形的性質和直:'"…a—?、!\X1 X ,-h皮尺側傾器俯角a俯角8高度tana= ,tan8=—X X.=a—h=a.h=atana,,tanatan8', tan8角三角形的邊角關系

測量底部不可到達的物體的高度〔2〕數字模型所用工具應測距離數量關系根據原理AJJz/h/ / i一、a一1Bh皮尺側傾器仰角a,仰角B水平距離a1側傾器高a2tana= 1— tanB=1a+x x.atanatanP??1tanP-tanaatanatanPh-a+h—a+—7： 2 1 2tanP-tana矩形的性質和直角三角形的邊角關a2ax1Ib—. h仰角a仰角Btana—,tanB—x xh tanatana—tanBtana—h,tanB—0、h—3°°a』,“la x高度ax x tana—tanB系jt*'_i<'” ,x-ah仰角a仰角B高度atana—,tanB—x xh—tanatabB—tana學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考第三部分真題分類匯編詳解2007-2012〔2007〕19.〔本小題總分值6分〕一艘輪船自西向東航行，在A處測得東偏北21.3。方向有一座小島C,繼續向東航行60海里到達B處，測得小島C此時在輪船的東偏北63.5°方向上.之后，輪船繼續向東航行多少海里，距離小島C最近？〔參考數據：sin21.3°22,tan21.3° ,sin63.5°^—,tan63.5°22〕5 10〔2008〕19.〔本小題總分值6分〕在一次課題學習課上，同學們為教室窗戶設計一個遮陽蓬，小明同學繪制的設計圖如下圖，其中，AB表示窗戶，且AB=2米，BCD表示直角遮陽蓬，已知當地一年中在午時的太陽光與水平線CD的最小夾角a為18.6°，最大夾角P為64.5。.請你根據以上數據，幫助小明同學計算出遮陽蓬中CD的長是多少米？〔結果保留兩個有效數字〕〔參考數據：sin18.6°;0.32,tan18.6°;0.34,sin64.5°;0.90,tan64.50;2.1〕第19題圖第19題圖〔2009〕19.〔本小題總分值6分〕在一次數學活動課上，老師帶領同學們去測量一座古塔CD的高度.他們首先從A處安置測傾器，測得塔頂C的仰角/CFE=21°,然后往塔的方向前進50米到達B處，此時測得仰角/CGE=37°,已知測傾器高1.5米，請你根據以上數據計算出古塔CD的高度.3 - 3 .… 9 … 3〔參考數據：sin37仁一，tan37仁一，sin21仁一,tan21仁一〕5 4 25 8

〔2010〕19.〔本小題總分值6分〕小明家所在居民樓的對面有一座大廈AB,AB=80米.為測量這座居民樓與大廈之間的距離，小明從自己家的窗戶C處測得大廈頂部A的仰角為37。，大廈底部B的俯角為48。.求小明家所在居民樓與大廈的距離CD的長度.〔結果保留整數〕tan48。x—10第19題圖tan48。x—10第19題圖〔參考數據：sin37。x-，tan37。x-,sin48。x-,5 4 10解：〔2011〕19.（6分）某商場準備改善原有樓梯的安全性能，把傾斜角由原來的40°減至35°.已知原樓梯AB長為5m,調整后的樓梯所占地面CD有多長？（結果精確到0.1m.參考數據：sin40°"0.64,cos40°"0.77,sin35°"0.57,tan35°"0.70）〔2012〕20.〔8分〕如圖.裝校教學豫式片的后面布一建筑物當光線燈地漸的夾雜是亂"時,教學摟在建筑物的堵上留下窩2米的世于匚￡;而當）t線與地面夾版處4曾時.教學櫻康/花池面上的蛛子F與斶的C肛門米的距第I瓦巴。在一條直然上）.求教學樓乂日的麻度：（2）學校要花小E之間掛「世彩隨iff#術出4E之間的距陽t精果保招禁教上的⑴（參考數機,,CO522'>■S附歷年真題標準答案：〔2007〕19.〔本小題總分值6分〕解：過C作AB的垂線，交直線AB于點D,得到Rt^ACD與RtABCD.設BD=x海里，4 — CD.一在Rt^BCD中，tan/CBD=——，.*.CD=x-tan63.5°.BDCBDC. 一一 CD在Rt^ACD中，AD=AB+BD=(60+x)海里，tan/A=——,AD.??CD=(60+x)?tan21.3°. .?.x-tan63.5°=(60+x>tan21.3°,答：輪船繼續向東航行15海里，距離小島C最近.22x=—(60+x).解得，x=15.5 6’〔2008〕解：19.〔本小題總分值6分〕設CD為x，在Rt^BCD中，/bdc=a=18.6。，?tan/BDC=BC，,BC=CD-tanZBDC=0.34x.CD2’在Rt△ACD中，/ADC=P=64.5。,AC.?tan/ADC=——，，AC=CD-tanZADC=2.1x.CD???AB=AC—BC，,2=2.1x—0.34x.答：CD長約為1.14米.〔2009〕19.〔本小題總分值6分〕解：由題意知CD±AD,EF//AD,??./CEF=90°,在Rt△CEF中,在Rt△CEG中,設CE=x,CEtan/CFE=——，EFCEtan/CGE=——，GE則GE=CEtan/CFEtan21°3CEtan/CGEtan37°第19題圖一~~ 8 _4x=37.5，,CD=CE+ED=37.5+1.5=39〔米〕x=37.5，,CD=CE+ED=37.5+1.5=39〔米〕.3 3答：古塔的高度約是39米. 〔2010〕19.〔本小題總分值6分〕解：設CD=x.在Rt△ACD中，tan37解：設CD=x.則4=AD，在Rt^