第2課時空間中直線、平面的平行一、選擇題1.已知直線l1的一個方向向量為v1=(1,2,3),直線l2的一個方向向量為v2=(λ,4,6),若l1∥l2,則λ=()A.1 B.2C.3 D.42.若直線m(在平面α外)的方向向量為a,平面α的法向量為u,則能使m∥α的是 ()A.a=(1,0,0),u=(-2,0,0)B.a=(1,-1,3),u=(0,3,1)C.a=(0,2,1),u=(-1,0,1)D.a=(1,3,5),u=(1,0,1)3.如果直線l的一個方向向量為a=(-2,0,1),且直線l上有一點P不在平面α內,平面α的一個法向量是b=(2,0,4),那么 ()A.直線l與平面α垂直B.直線l與平面α平行C.直線l在平面α內D.直線l與平面α相交但不垂直4.已知直線l的一個方向向量為m=(-2,-8,1),平面α的一個法向量為n=t,12,2,且l∥αA.1 B.-1C.2 D.-25.已知平面α的一個法向量是(2,3,-1),平面β的一個法向量是(4,λ,-2),若α∥β,則λ的值是 ()A.-310 B.-6C.6 D.6.平面α的一個法向量是n=12,-1,13,平面β的一個法向量是m=(-3,6,-2),則平面A.平行 B.重合C.平行或重合 D.垂直7.設α,β是不重合的兩個平面,α,β的法向量分別為n1,n2,l和m是不重合的兩條直線,l,m的方向向量分別為e1,e2,那么α∥β的一個充分條件是 ()A.l?α,m?β,且e1⊥n1,e2⊥n2B.l?α,m?β,且e1∥e2C.e1∥n1,e2∥n2,且e1∥e2D.e1⊥n1,e2⊥n2,且e1∥e28.(多選題)已知空間中兩條不同的直線l,m,兩個不同的平面α,β,則下列說法中錯誤的是 ()A.若直線l的一個方向向量為a=(1,-1,2),直線m的一個方向向量為b=(2,-2,4),則l∥mB.若直線l的一個方向向量為a=(0,1,-1),平面α的一個法向量為n=(1,-1,-1),則l∥αC.若平面α,β的法向量分別為n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),則α∥βD.若平面α經過三個點A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一個法向量,則u+t=19.(多選題)已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=1,E是PB的中點,F是PC的中點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則下列說法中正確的是 ()A.平面ADE的一個法向量是(0,-1,1)B.直線AE∥平面PCDC.直線FE∥平面PADD.直線DF∥平面PAB二、填空題10.已知平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=(-1,y,2),α∥β,則x+y=.

11.已知兩個不重合的平面α與平面ABC,若平面α的一個法向量為n1=(2,-3,1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),則平面α與平面ABC的位置關系是.

12.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在梯形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,∠PBC=30°,則直線CM與平面PAD的位置關系為.

三、解答題13.如圖,已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是棱BC,CC1,B1B的中點.證明:D1G與平面AEF不平行.14.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是PA,PD,CD的中點.證明:(1)PB∥平面EFG.(2)平面EFG∥平面PBC.15.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中點,點F在棱C1D1上,且D1F=λD1C1,若B1F∥平面A1BE,則λ=A.14 B.13C.12 D.16.如圖在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,M分別是BC,AE的中點,AD=AA1=1,AB=2.(1)若在線段CD1上存在一點N,使MN∥平面ADD1A1,試確定N的位置;(2)在(1)的條件下,試確定直線BB1與平面DMN的交點F的位置,并求BF的長.

答案1.B[解析]∵l1∥l2,∴v1∥v2,∴1λ=24=36,∴2.B[解析]若m∥α,則a⊥u,則a·u=0,對于A,a·u=-2,不滿足條件;對于B,a·u=0-3+3=0,滿足條件;對于C,a·u=1,不滿足條件;對于D,a·u=6,不滿足條件.故選B.3.B[解析]因為直線l的一個方向向量是a=(-2,0,1),平面α的一個法向量是b=(2,0,4),且a·b=-4+0+4=0,所以直線l在平面α內或與平面α平行,因為直線l上有一點P不在平面α內,所以直線l與平面α平行.故選B.4.B[解析]∵l∥α,∴m⊥n,∴m·n=-2t-4+2=0,解得t=-1,故選B.5.C[解析]因為α∥β,所以24=3λ=-1-6.C[解析]由平面α的一個法向量是n=12,-1,13,平面β的一個法向量是m=(-3,6,-2),可得m=-6n7.C[解析]對于A,l?α,m?β,且e1⊥n1,e2⊥n2,則α與β相交或平行,故A錯誤;對于B,l?α,m?β,且e1∥e2,則α與β相交或平行,故B錯誤;對于C,e1∥n1,e2∥n2,且e1∥e2,則n1∥n2,故α∥β,故C正確;對于D,e1⊥n1,e2⊥n2,且e1∥e2,則α與β相交或平行,故D錯誤.故選C.8.BCD[解析]對于A,b=2a,則a∥b,∴l∥m,故A中說法正確;對于B,a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,則a⊥n,∴l∥α或l?α,故B中說法錯誤;對于C,若n1=λn2(λ≠0),則(0,1,3)=λ(1,0,2),得0=λ,1=0,3=2λ,此方程組無解,∴α∥β不成立,故C中說法錯誤;對于D,AB=(-1,-1,1),BC=(-1,3,0),∵n=(1,u,t)是平面α的一個法向量,∴n·AB=-1-u9.AC[解析]由題圖得D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),E12,12,12,F0,12,12,所以DA=(1,0,0),DE=12,12,12,設平面ADE的法向量為n=(x,y,z),則DA·n=x=0,DE·n=12x+12y+12z=0,令z=1,得y=-1,x=0,所以n=(0,-1,1),故A正確.因為PD⊥AD,AD⊥CD,PD∩CD=D,又PD,CD?平面PCD,所以AD⊥平面PCD,所以平面PCD的一個法向量為DA=(1,0,0).又因為AE=-12,12,12,AE·DA=-12≠0,所以AE與DA不垂直,即AE與平面PCD不平行,故B不正確.易知平面PAD的一個法向量為DC=(0,1,0),又EF=-12,0,0,EF·DC=0,所以EF⊥DC10.0[解析]∵α∥β,∴u∥v,設u=λv,則x=-λ,1=λy11.平行[解析]因為n1·AB=0,n1·AC=0,AB∩AC=A,所以n1也是平面ABC的法向量,又平面α與平面ABC不重合,所以平面α與平面ABC平行.12.平行[解析]以點C為原點,CB,CD,CP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.因為PC=2,PC⊥BC,∠PBC=30°,所以BC=23,PB=4,則C(0,0,0),D(0,1,0),A(23,4,0),P(0,0,2),M32,0,32,所以DP=(0,-1,2),DA=(23,3,0),CM=32,0,32.設n=(x,y,z)為平面PAD的法向量,則DP·n=0,DA·n=0,即-y+2z=0,23x+3y=0,取y=2,得n=(-313.證明:以D為坐標原點,DA,DC,DD1的方向分別為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系設AD=2,則A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,2,1),A1(2,0,2),D1(0,0,2),G(2,2,1),所以EF=(-1,0,1),AE=(-1,2,0),D1G=(2,2,設平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則n·EF=-x因為D1G·n=2×2+2×1-1×2=4≠0,所以D1G與平面AEF14.證明:(1)∵平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD,∴AB,AP,AD兩兩垂直.以A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0),∴PB=(2,0,-2),FE=(0,-1,0),FG=(1,1,-1).設n=(x,y,z)為平面EFG的法向量,由n·FE=0,n·FG=0,得-y=0,x+又∵PB?平面EFG,∴PB∥平面EFG.(2)∵BC=(0,2,0),設平面PBC的法向量為m=(a,b,c),由m·BC=0,m·PB=0,得2b=0,2a-2c=0,令15.C[解析]如圖所示,以A為原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系.設正方體的棱長為1,則B(1,0,0),E0,1,12,D1(0,1,1),C1(1,1,1),A1(0,0,1),所以BA1=(-1,0,1),BE=-1,1,12.設n=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,則由n·BA1=0,n·BE=0,得-x+z=0,-x+y+12z=0,取z=2,得平面A1BE的一個法向量為n=(2,1,2).由D1C1=(1,0,0),D16.解:(1)如圖,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),E12,2,0,M34,1,0,所以DC=(0,2,0),設CN=λCD1=λ(0,-2,1)=(0,-2λ,λ)(0<λ<則DN=DC+CN=(0,2,0)+(0,-2λ,λ)=(0,2-2λ,λ),MN=DN-DM=-3由題意知DC=(0,2,0)是平面ADD1A1的一個法向量,所以MN⊥DC,即2(1-2λ)=0,解得λ=12因為MN?平面ADD1A1,所以當N為CD1的中點時,MN∥平面ADD1A1.(2)方法一:由已知,得點F在直線BB1上,因為直線BB1與z軸平行,可設F(1,2,t),t∈